Zoran Skoda sheaf on base

Neka je $X$ topološki prostor i $B$ baza topologije, tj. svaki otvoreni skup u $X$ je unija neke familije elemenata iz $B$.

1A) Pretpostavimo i da je presjek svaka dva elementa baze takodjer u bazi. Promotrimo podkategoriju $B'\subset Ouv_X$ koja je puna potkategorija od $Ouv_X$ čiji su objekti samo oni otvoreni skupovi koji su u $B$. Neka je zadan funktor $F: (B')^{op}\to Set$ tj. korespodencija lkoja svakom elementu $U$ u bazi pridružuje skup $F(U)$ i svakoj inkluziji $U\to V$ restrikciju $F(V)\to F(U)$, pri cemu za svaku familiju $\{U_\alpha\}_\alpha$ elemenata u bazi, TAKVOJ DA JE NJENA UNIJA $U$ takodjer element baze vrijedi snopovski uvjet, tj. $F(U)$ je ujednačitelj kao u definiciji snopa. Drugim riječima, prerezi imaju jedinstveno ljepljenje ako se podudaraju na svim duplim presjecima, pri čemu gledamo samo taj uvjet na bazi. Dokaži da tada postoji jedinstveno prosirenje funktora $F:(B')^{op}\to Set$ do snopa $\tilde{F}:Ouv_X^{op}\to Set$ na $X$.

1B) U 1A) mozemo oslabiti uvjet da je baza zatvorena na presjeke, no tada moramo gledati lokalniju varijantu (tako da uvjet nije strogo slabiji). Kako je presjek dva elementa baze otvoren, on je unija nekih elemenata baze. Dakle, umjesto ljepljenja kad se nesto slaže na dvostrukim presjecima, možemo tražiti slijedeći uvjet:

• ako je $U$ u bazi unija familije $\{U_\alpha\}_\alpha$ elemenata baze $B$ tada za svaku familiju $\{s_\alpha\in F(U_\alpha)\}_\alpha$ prereza takvih da za svaki par $\alpha,\beta$ i za svaki element $V\in B$ takav da je $V\subset U_\alpha\cap U_\beta$ vrijedi $s_\alpha|_V = s_\beta|_V$, tada postoji jedinstveni $s\in F(U)$ takav da $s|_{U_\alpha} = s_\alpha$.

Tada postoji jedinstveno proširenje $F$ na $\tilde{F}$ koji je snop na $X$.