Zoran Skoda
slika funkcije

Neka je f:ABf:A\to B funkcija. Slika funkcije ff je podskup f(A)Bf(A)\subseteq B koji se sastoji od svih elemenata u BB koji su oblika f(a)f(a) gdje je aAa\in A. Nekad se koristi i oznaka Im(f)Im(f). Dakle,

f(A)=Imf={f(a)|aA}B. f(A) = Im f = \{ f(a) | a\in A \}\subseteq B.

Ako je PAP\subseteq A podskup od AA i f:ABf:A\to B funkcija, tada definiramo novu funkciju f| P:PBf|_P : P\to B, suženje ff na PP (sinonim: restrikcija ff na PP) tako da na svakom elementu pPp\in P f| P(p)=f(p)f|_P(p) = f(p). Dakle pravilo za elemente u PP je isto, ali je f Pf_P definirano na manjoj domeni.

Slika f(P)f(P) nekog podskupa PAP\subseteq A po funkciji ff je naprosto slika (u gornjem smislu) restrikcije f| Pf|_P. Dakle,

f(P)=f| P(P)=Imf| P={f| P(p)|pP}={f(p)|pP}B. f(P) = f|_P(P) = Im f|_P = \{ f|_P(p) | p\in P\} = \{ f(p) | p\in P\} \subseteq B.

Očito vrijedi f()=f(\emptyset) = \emptyset.

Primijetite da za f:ABf: A\to B ponekad f(P)f(Q)f(PQ)f(P)\cap f(Q)\neq f(P\cap Q). Npr. neka je A={p,q}A = \{ p,q\}, P={p}P = \{p\}, Q={q}Q = \{q\}, B={1}B = \{1\} i ff je funkcija koja šalje oba elementa – i pp i qq u 11. Tada je očito PQ=P\cap Q = \emptyset i f(PQ)=f(P\cap Q) = \emptyset. Međutim, f(P)=f(Q)=f(PQ)={1}f(P) = f(Q) = f(P\cap Q) = \{1\}\neq \emptyset.

Praslika podskupa SBS\subseteq B po funkciji f:ABf:A\to B je podskup f 1(S)f^{-1}(S) od AA koji se sastoji od svih elemenata aAa\in A takvih da f(a)Sf(a)\in S. Dakle,

f 1(S)={aA|f(a)S}A. f^{-1}(S) = \{ a\in A | f(a)\in S\}\subseteq A.

Nekad se, u novije vrijeme, po uzoru na engleski jezik, koristi i termin inverzna slika.

Mada je notacija nalik na notaciju za inverznu funkciju, praslika ima smisla za sve funkcije, a ne samo za bijekcije. (Zapravo ta notacija nije slučajna, praslika je slika po inverznoj relaciji, što ima smisla uvijek.)

Ako je SS podskup za koji vrijedi f(A)SBf(A) \subseteq S\subseteq B tada definiramo kosuženje ili korestrikciju funkcije ff na SS kao funkciju s f| S:ASf|^S:A\to S definiranu s f| S(a)=f(a)f|^S(a) = f(a) za sve aAa\in A. Kako SS sadrži sliku funkcije tada promatranje dijela kodomene koji je van SS nije tako važno. Najčešće se korestrikcija čini na sliku S=f(A)S = f(A) pa će za korestrikciju slika biti isto što i kodomena. U takvim slučajevima, kad je početna kodomena neki podskup brojevnog pravca, neki kažu da je ta nova kodomena (tj. slika) prirodna kodomena funkcije ff. Mi nećemo upotrebljavati taj izraz jer je dovoljno razlikovati kodomenu i sliku, bez dodatnih mistifikacija.

Created on November 2, 2016 at 13:23:58. See the history of this page for a list of all contributions to it.