Zoran Skoda slika funkcije

Neka je $f:A\to B$ funkcija. Slika funkcije $f$ je podskup $f(A)\subseteq B$ koji se sastoji od svih elemenata u $B$ koji su oblika $f(a)$ gdje je $a\in A$. Nekad se koristi i oznaka $Im(f)$. Dakle,

$$f(A) = Im f = \{ f(a) | a\in A \}\subseteq B.$$

Ako je $P\subseteq A$ podskup od $A$ i $f:A\to B$ funkcija, tada definiramo novu funkciju $f|_P : P\to B$, suženje $f$ na $P$ (sinonim: restrikcija $f$ na $P$) tako da na svakom elementu $p\in P$ $f|_P(p) = f(p)$. Dakle pravilo za elemente u $P$ je isto, ali je $f_P$ definirano na manjoj domeni.

Slika $f(P)$ nekog podskupa $P\subseteq A$ po funkciji $f$ je naprosto slika (u gornjem smislu) restrikcije $f|_P$. Dakle,

$$f(P) = f|_P(P) = Im f|_P = \{ f|_P(p) | p\in P\} = \{ f(p) | p\in P\} \subseteq B.$$

Očito vrijedi $f(\emptyset) = \emptyset$.

Primijetite da za $f: A\to B$ ponekad $f(P)\cap f(Q)\neq f(P\cap Q)$. Npr. neka je $A = \{ p,q\}$, $P = \{p\}$, $Q = \{q\}$, $B = \{1\}$ i $f$ je funkcija koja šalje oba elementa – i $p$ i $q$ u $1$. Tada je očito $P\cap Q = \emptyset$ i $f(P\cap Q) = \emptyset$. Međutim, $f(P) = f(Q) = f(P\cap Q) = \{1\}\neq \emptyset$.

Praslika podskupa $S\subseteq B$ po funkciji $f:A\to B$ je podskup $f^{-1}(S)$ od $A$ koji se sastoji od svih elemenata $a\in A$ takvih da $f(a)\in S$. Dakle,

$$f^{-1}(S) = \{ a\in A | f(a)\in S\}\subseteq A.$$

Nekad se, u novije vrijeme, po uzoru na engleski jezik, koristi i termin inverzna slika.

Mada je notacija nalik na notaciju za inverznu funkciju, praslika ima smisla za sve funkcije, a ne samo za bijekcije. (Zapravo ta notacija nije slučajna, praslika je slika po inverznoj relaciji, što ima smisla uvijek.)

Ako je $S$ podskup za koji vrijedi $f(A) \subseteq S\subseteq B$ tada definiramo kosuženje ili korestrikciju funkcije $f$ na $S$ kao funkciju s $f|^S:A\to S$ definiranu s $f|^S(a) = f(a)$ za sve $a\in A$. Kako $S$ sadrži sliku funkcije tada promatranje dijela kodomene koji je van $S$ nije tako važno. Najčešće se korestrikcija čini na sliku $S = f(A)$ pa će za korestrikciju slika biti isto što i kodomena. U takvim slučajevima, kad je početna kodomena neki podskup brojevnog pravca, neki kažu da je ta nova kodomena (tj. slika) prirodna kodomena funkcije $f$. Mi nećemo upotrebljavati taj izraz jer je dovoljno razlikovati kodomenu i sliku, bez dodatnih mistifikacija.

category: zadarmat1, zadarmat3, zadarmat4