Zoran Skoda stat-020321

Događaji A i B su nezavisni ako je

P(A i B) = P(A) P(B)

Nemoguć događaj P(A) = 0

Siguran događaj P(A) = 1

Suprotan događaj $P(A^c) = 1 - P(A)$ (kao komplementni skup)

Međusobno isključivi događaji = ako se desi jedan, onda je nemoguće da se desi drugi, npr. disjunktni A presjek B je prazan skup (ili šire da je P(A i B) = 0) P(A|B) = 0 i P(B|A) = 0

Uvjetna vjerojatnost (ne samo za nezavisne, dapače zanimljivije kad nisu nezavisni događaji)

P(A | B) = vjerojatnost da se desi A kad znamo da se desilo B

$$P(A | B) = \frac{\sharp pov}{\sharp mog} = \frac{n(A i B)}{n(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

P(A i B) = n(A i B)/n(U)

P(B) = n(B)/n(U)

P(A i B) = P(A|B) P(B)

Primjer. Igraću kocku bacamo 4 puta. Kolika je vjerojatnost da će zbroj biti barem 22.

Skupovi ishoda sa zbrojem 22, 23 i 24 su disjunktni događaji

$\sharp$ mogućih (svi su jednako vjerojatni) je 6 x 6 x 6 x 6 = 1296

n(22) = n(5566 s porecima) + n(4666 s porecima) = 6+4 = 10

P(22) = 10/1296

n(23) = n(5666 s porecima) = 4

P(23) = 4/1296

n(24) = n(6666) = 1

P = (10+4+1)/1296

5566 poredamo na 4 povrh 2 načina 4x3/2x1 = 6

5566, 5656, 5665, 6556, 6565, 6655

4666 na kojem je mjestu 4, na 4 načina, 4 izaberi 1

U 32 (52) su 4 boje karti (herc, karo, tref, pik) od svake boje ima 8 (13)

7 8 9 10 J Q K A skala

7 8 9 10 dečko dama kralj as

Ako izvučemo ruku od 5 karti, koja je vjerojatnost da su barem 4 herčevi ?

broj mog = 32 izaberi 5 = $\binom{32}{5} = \frac{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 201376$

broj pov = n(hhhhs) + n(hhhhh) = (8 izaberi 4)(24 izaberi 1) + (8 izaberi 5) = 1680 + 56 = 1736

$$P = \frac{\sharp mog}{\sharp pov} = \frac{1736}{201376} = 0.00862$$

Koja je vjerojatnost da će u ruci biti dva različita para (istih karti po skali) i jedna sama

$\sharp$ mog = 201376

$\sharp$ pov = 28 * 6 * 6 * 24 = 24192

koja dva para po skali (8 izaberi 2)

u prvom paru koje su dvije boje (4 izaberi 2)

u drugom paru boje (4 izaberi 2)

peta karta, jedna od preostalih 24 karte koje su 7 8 9 10 K A

P = 0.120133

Koja je vjerojatnost da će u ruci biti dva susjedna para (i jedna sama) (pjaks)

broj mog = 201376

broj pov = 7 * 6 * 6 * 24 = 6048

P = 6048/201376 = 0.03003337…

{ susjedni parovi } je u bijekciji s {karta koja je viša od neke karte} (koja bi joj dakle bila susjedna)

boje više karte (4 izaberi 2)

boje niže karte (4 izaberi 2)

peta karta 24 mogućnosti

U dućanu cipela su crne, bijele i obojane cipele, i neke su visoke, neke niske cipele. Tablica inventara u dućanu je slijedeća

$$\array{ & C & B & O & | & sum\\ V & 23 & 26 & 17 & | & 66\\ N & 19 & 2 & 16 & | & 37\\ sum & 42 & 28 & 33 & | & 103\\ }$$

P(C) = 42/103

P(V) = 66/103

P(C|V) = 23/66 (postotak onih C koji su V)

P(V|C) = 23/42

P(C i V) = 23/103

P(C i V | C ili V) = 23/(66+42)

P(C i N) = 19/103

P(N) = 37/103

P(C|N) = 19/37 = (19/103)/(37/103)

$$\array{ P(C|V)\cdot P(V) + P(C|N)\cdot P(N) &=& (23/66) \cdot 66/103 + (19/37)\cdot 37/103 \\ &=& 23/103 + 19/103 = 42/103 = P(C) }$$

Zapravo, to nije slučajno,

$$P(C) = P(C \cap V) + P(C \cap N) = P(C|V)\cdot P(V) + P(C|N)\cdot P(N)$$

$P(C) = P(C|V)\cdot P(V) + P(C|N)\cdot P(N)$ (formula totalne vjerojatnosti)

zato što su V i N komplementarni događaji

kanali za neki događaj – 2 ili više podskupa toga događaja koja su međusobno isključiva, a zajedno čine sve moguće puteve da se taj događaj desi Primijetimo da

$$P(B|A)\cdot P(A) = P(A\cap B) = P(A | B)\cdot P(B)$$

Neka je $B_1$ jedan od slučajeva/kanala/puteva, $B_1,\ldots,B_n$ su disjunktni kanali (putevi), a njihova unija ima vjerojatnost $1$ (svi su mogući slučajevi u barem jednom kanalu). Tada je formula totalne vjerojatnosti

$$P(A) = P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2) + \ldots + P(A\cap B_n)$$

pa vrijedi formula totalne vjerojatnosti

$$P(A) = P(A|B_1)\cdot P(B_1) + P(A|B_2)\cdot P(B_2)+\ldots+P(A|B_n)\cdot P(B_n)$$

Kako je $P(B_1\cap A) = P(A|B_1)P(B_1)$, to se dakle formula

$$P(B_1|A) = \frac{P(B_1\cap A)}{P(A)}$$

može napisati kao

$$P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1)P(B_1) }{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\ldots+P(A|B_n)\cdot P(B_n)}$$

To je Bayesova formula gdje se uvjetna vjerojatnost $P(B_1|A)$ za jedan put dobije pomoću obratnih vjerojatnosti svih puteva i obratnih uvjetnih vjerojatnosti za sve puteve.