Zoran Skoda stat-181220

John se testira na ebolu i pri tome nema nikakav poseban razlog za testiranje u odnosu na ostalu populaciju. Ukoliko je osoba stvarno pozitivna na ebolu (zaražena), test će to potvrditi s vjerojatnošću od 98%, a pogriješiti u 2% slučajeva. Ukoliko osoba nije pozitivna onda test griješi u 3% slučajeva, tj. u 3% imamo lažni pozitiv. U općoj populaciji gdje se John testira samo je 0.01% stvarno inficiranih.

Treba li John biti zabrinut ako je test pokazao pozitivan rezultat ?

Označimo događaje:

• PO pozitivan na testu
• NE negativan na testu
• Z zaražen
• NZ nije zaražen

P(PO|Z) = 0.98

P(NE|Z) = 0.02

P(PO|NZ) = 0.03

P(NE|NZ) = 0.97

P(Z) = 0.0001

treba ako je P(Z|PO) velika ne treba ako je mala, tj. P(NZ|PO) je velika

P(Z|PO) = P(Z i PO)/P(PO)

= P(PO|Z)P(Z)/(P(PO|Z)P(Z)+P(PO|NZ)P(NZ))

= (0.98 x 0.0001)/(0.98 x 0.0001 + 0.03 x 0.97)

= 0.000098/(0.000098+0.029100)

= 0.000098/0.029198

= 0.003356 = 0.3 %

Poissonova razdioba, neki primjer

$m$ koliko puta se neki događaj desi u danom intervalu

lambda $\lambda$ označava prosječno koliko je događaja u tom intervalu

$$\lambda = r \cdot t$$

r prosjek u jediničnom intervalu, t duljina intervala

$$P(m) = exp(-lambda)lambda^m/m!$$

U prosjeku na nebu iznad Johnove kuće u sat vremena prođu 3 aviona. Danas je baš brojio cijelo popodne i u 3 i pol sata je primijetio 8 aviona. Je li taj broj neobičan u smislu da se desi jako rijetko ? Točnije, koja je vjerojatnost da zaista u 3 i pol sata prođu točno 8 aviona ?

$$P(8) = exp(-10.5) \times 10.5^8 / 8! = 0.1009$$

dakle, = oko 10 %

r = 3/sat

t = 3.5 sata

lambda $\lambda = 3 \times 3.5 = 10.5$

Testiranje hipoteza hi-kvadrat testom (pišemo i $\chi^2$-test)

populacija, npr. milijun ljudi, ili svi auto koji se proizvedu u nekoj tvornici

uzorak dio populacije na kojem radimo neka mjerenja, ispitivanja

Gledamo neka statistička obilježja (statističke veličine) i želimo zaključivati o cijeloj populaciji na osnovu gledanja uzorka.

Postavljamo hipotezu i gledamo kolika je vjerojatnost da podaci nisu protivni toj hipotezi. Prva hipoteza koju želim potvrditi zove se nul hipoteza, no zapravo mi gledamo aha pokušaj dokazati da moja nul hipoteza ne valja (alternativna hipoteza) i ta vjerojatnost mora biti jako mala. (without reasonable doubt – jako mala vjerojatnost da nije – u statistici se zove p-vrijednost (p-value))

Statističar R. Fisher je uzimao 0.05, što se i dalje najčešće koristi, a uzimaju se i 0.01, 0.0033 i još neke vrijednosti kao standardne u nekim primjenama. Takvu graničnu vrijednost obično zovemo alfa (statistička značajnost/zamjetnost) i ona se zada unaprijed. Npr. kontrola kvalitete. Znači hoćemo da je p manji od unaprijed zadane norme (granične prihvatljive vrijednost alfa $\alpha$).

Očekivanje = za uzorak je ocijenjen srednjom vrijednošću

$\sum_{i=1}^k f_i x_i/ n$ gdje je $n = \sum_{i = 1}^k f_i$.

Primjer. U nekoj školi dijele poklon pakete po razredima. Paketa nema dovoljno. Ravnateljica izvlači tko će dobiti paket tako da stavi imena učenika u neku kutiju i nasumce izvlači tko će dobiti poklon paket.

p za jednog učenika ispada 23/70

A B C 20 učenika 32 18 ukupno 70

fi 8 9 6 dobilo paket 23 paketa

ei 20x23/70 32x23/70 18x23/70

ei 6.57 10.51 5.91

$$(6.57-8)^2/6.57 = 0.3112$$

$$(10.51-9)^2/10.51 = 0.2169$$

$$(6-5.91)^2/5.91 = 0.0014$$

hi-kvadrat $\chi^2 = 0.3112 + 0.2169 + 0.0014 = 0.5295\lt 5.991$

znači smatramo da je unutar slučajnosti, tj. da je značaj odstupanja jako mala (p < 0.05).

broj stupnjeva slobode = 3-1 = 2

Jesmo li sigurni sa statističkom zamjetnošću od 5% da ravnateljica nije gledala u kutiju i bila pristrana prema jednom od razreda ?

Nul hipoteza (nije kriv)

Alternativna hipoteza (sumnjamo!)