Zoran Skoda stat-191120

Zapis dijela lekcije 19.11.2020.

UVJETNA VJEROJATNOST

A = događaj čija nas uvjetna vjerojatnost zanima

B = događaj kojeg pretpostavljamo da će se desiti

Znači sav svijet je unutar B.

P(A) obična vjerojatnost

P(A ako znamo da je B) = P(A | B) = n(A i B)/n(B)

P(A) = n(A)/n(ukupno) (relativna frekvencija ako mjerimo konačno mnogo puta)

P(A i B) = n(A i B)/n(ukupno)

pa kombiniramo u

$$P(A | B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{n(A \cap B)/n(ukupno)}{n(B)/n(ukupno)} = \frac{n(A\cap B)}{n(B)}$$

Primjer. Pretpostavimo da su događaji

A = događaj da je sutra kiša B = događaj da je sutra manje od 10 stupnjeva Celzijusa

Ukupno mjereno 25 puta što se desi u studenom.

10 dana je niti A niti B P(neA i neB)=10/25

5 dana je A a nije B P(A i neB)=5/25

6 dana je B a nije A P(neA i B)=6/25

4 dana je i manje od 10 stupnjeva i pada kiša P(A i B)=4/25

vjerojatnost od A P(A) = P(A i neB)+P(A i B) = 9/25

vjerojatnost od B n(B)=10, P(B) = 10/25

vjerojatnost od A ako B

P(A|B)= n(A i B)/n(B) = 4/10

P(A | B) = P(A i B)/P(B) = (4/25)/(10/25) = 4/10

P(kiša ako manje od 10 stupnjeva) = 4/10

   P(B | A) = 4/9

BAYESOVA formula

Totalna vjerojatnost ako ima više mogućnosti (kanali)

$B_1, B_2, B_3$ su međusobno isključivi događaji

i zajedno su sve: $B_1$ ili $B_2$ ili $B_3$ se mora desiti

$$P(A) = P(B_1)\cdot P(A|B_1) + P(B_2)\cdot P(A|B_2) + P(B_3)\cdot P(A|B_3)$$

$$P(A|B_1) = \frac{P(A\cap B_1)}{P(B_1)},\,\,\,\, P(A\cap B_1)= P(A|B_1)\cdot P(B_1).$$

$$P(B_1|A) = P(A\cap B_1)/P(A)$$

$$P(B_1|A) = P(B_1)\cdot P(A|B_1)$$

podijeljeno sa

$$P(B_1)\cdot P(A|B_1) + P(B_2)\cdot P(A|B_2) + P(B_3)\cdot P(A|B_3)$$

i omjer je Bayesova formula!

Tvornica cipela. Proizvode se dvije vrste cipela, visoke i niske. I kod visokih cipela je vjerojatnost da je cipela s greškom je 5%. Kod niskih cipela je vjerojatnost 3%. U dućanu je 45 visokih cipela i 35 niskih cipela iz te tvornice. Znamo da je Martin ušao u dućan i kupio cipelu s greškom. Pretpostavljamo da je kupio cipelu nasumce. Koja je vjerojatnost da je ta cipela visoka ?

Tri osnovna događaja:

uzeta visoka cipela V

uzeta niska cipela N

uzeta cipela s greškom G

P(G|V) = 0.05, P(V)=45/80, P(G|N) = 0.03, P(N)=35/80

PITANJE: Nađi P(V|G)

V i N su dva međusobno isključiva kanala 

Bayesova formula

$$P(V|G) = \frac{P(G|V)P(V)}{P(G|V)P(V)+P(G|N)P(N)}$$

$$P(V|G) = \frac{P(V \cap G}{P(G)}$$

$$P(V\cap G) = 0.05\cdot 45/80$$

$$P(G) = 0.05\cdot 45/80 + 0.03\cdot 35/80$$

$$\array{ P(V|G) &=& \frac{0.05\cdot 45/80}{0.05\cdot 45/80+0.03\cdot 35/80}\\ &=& 5\cdot\frac{45/8}{5\cdot 45/8+3\cdot 35/8}\\ &=& \frac{225/8}{(225+105)/8}\\ &=& 225/330}$$

Milan posjećuje svoju baku na selu. Na selu ima pasa koji grizu. Ima dva načina da posjeti baku, jedan je preko brda, a drugi je dolinom. Ako ide preko brda, vjerojatnost da sretne psa je 20%, a ako ide dolinom onda je 40%. Milan posjeti baku svake nedjelje, i svake treće nedjelje od toga ide dolinom. Jedne nedjelje nasumce i mi dođemo kod Milanove bake, kad ono dolazi Milan sav uspuhan da ga je ganjao pas. Kolika je vjerojatnost da je Milan išao dolinom ?

G sreo psa/ganjao pas D dolinom B brdom

P(D)=1/3

P(B)=2/3

P(G|B)=0.2

P(G|D)=0.4

D i B su kanali/staze

Pitanje: P(D|G)=?

P(D|G) = P(D i G)/P(G)

P(D i G) = P(D)\cdot P(G|D) = (1/3)\cdot 0.4=2/15

P(G) = (1/3)\cdot 0.4+(2/3)\cdot 0.2 = 2/15+2/15=4/15

P(D|G)=(2/15)/(4/15)= 2/4 = 0.05 = 50%

SLUČAJNA VELIČINA

Veličina koja zavisi od ishoda eksperimenta, odnosno zavisi od slučajnog događaja.

Bacanje kocke. Bacamo kocku 2 puta i gledamo zbroj

Z = b1 + b2 ovisi o dva bacanja

Ishodi: (1,1),(1,2),(1,3),…,(2,1),(2,2),…,(6,6)

36 ishoda

kocka je fer (pravedna igra!) ako je svih 6 brojeva u svakom bacanju jednako vjerojatno, pa onda i svih 36 kombinacija

Z ovisi o tome koji je ishod

Koliko je Z u prosjeku ?

ZBROJITI po svim slučajevima

$P(ishod)\cdot Z(ishod) = E[Z]$ (expectation)

           matematičko očekivanje ili matematička nada

1/36\cdot 2 <– (1,1)

Z = 2 u 1 slučaju (1,1)

3 u 2 slučaja (1,2), (2,1)

4 u 3 slučaja (1,3),(2,2),(3,1)

5 ima u 4 slučaja (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

6 u 5 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)

7 u 6 (1,6),…,(6,1)

8 u 5 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

9 u 4

10 u 3

11 u 2

12 u 1 (6,6)

$2\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 3$ itd.

2 + 6+ 12+20 +30+42+40+36+30+22+12= 252

prosjek je E[X]=252/36 = 7

$E[X^2]-E[X]^2$ varijanca

$E[(X-E[X])^2]$ isto varijanca

$X - E[X]$ je odstupanje od očekivanja

$(X - E[X])^2$ je kvadratno odstupanje od očekivanja

$E[(X-E[X])^2]$ je onda očekivanje (ili prosjek) kvadratnog odstupanja od očekivanje

Korijen od varijance je standardno odstupanje.

---

Matematička nada veličine broj crnih kuglica koje izvučem ako nasumce izvučem 2 kuglice iz urne od 5 kuglica u kojoj su 3 crne i 2 bijele kuglice ?

$$\array{ X & P(X)\\ 0 \cdot & \binom{2}{2}/\binom{5}{2} = 0\cdot 1/10 = 0\\ 1 \cdot & \binom{3}{1}\cdot \binom{2}{1}/\binom{5}{2}= 1\cdot 3\cdot 2/10=0.6 \\ 2 \cdot & \binom{3}{2}/\binom{5}{2} = 2\cdot 3/10 = 0.6 }$$

zbroj E[X] je 0+0.6+0.6=1.2 crne kuglice u prosjeku

$$\array{ \binom{5}{2} = \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1} = 10\\ \binom{2}{2} = \frac{2\cdot 1}{2\cdot 1} = 1\\ \binom{3}{2} = \frac{3\cdot 2}{2\cdot 1} = 3 }$$

Komplicirani problem s kartama

U ruku smo stavili slučajni odabir 4 karte od 32. 4 boje puta 8 po skali = 32.

dajemo bodove: svakom trefu (to je boja) dajemo 1 bod i svakom svakom asu dajemo jedan bod

Nađi očekivanje ukupnog broja bodova od slučajne karte.

X – slučajna veličina – broj bodova

ukupno mogućih (32 izaberi 4) je

$$\binom{32}{4} = \frac{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=4\cdot 31\cdot 10\cdot 29=124\cdot 290=35960$$

X je od 0 do 5. Od 32 karte imamo At (as tref), 3 druga asa (A), 7 drugih trefova (t) i 21 ostala karta (0). Ti brojevi 3,7,21 se često pojavljuju dolje.

$X = 5$

At, A, A,A -> $1\cdot \binom{3}{3} = 1$ slučaj

At, A, A,t -> $\binom{3}{2}\cdot 7= 21$

At, A, t, t -> $3\cdot \binom{7}{2} = 63$

At, t,t,t -> $\binom{7}{3} = \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1} = 35$

ukupno 1+21+63+35= 120

vjerojatnost 120/35960

doprinos očekivanju $5\cdot 120/35960$

$X=4$

At,A,A,0 -> $\binom{3}{2}\cdot 21 = 63$

At,A,t,0 -> $3\cdot 7\cdot 21 = 441$

At,t,t,0 -> $\binom{7}{2}\cdot 21 = 441$

A,A,t,t -> $\binom{3}{2}\cdot\binom{7}{2} = 63$

A,t,t,t -> $3\cdot\binom{7}{3} = 105$

A,A,A,t -> $1\cdot 7 = 7$

t,t,t,t -> $\binom{7}{4} = \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 35$

A,A,A,A -> 0 načina( jedan bi morao biti At)

ukupno 63+441+441+63+105+7+35=1155

vjerojatnost 1155/35960

doprinos očekivanju $4\cdot 1155/35960$

$X=3$

A,A,A,0 –> $\binom{3}{3}\cdot\binom{21}{1} = 1\cdot 21=21$

A,A,t,0 –> $\binom{3}{2}\cdot 7\cdot 21 = 441$

A,t,t,0 –> $3\cdot\binom{7}{2}\cdot 21 = 3\cdot 21\cdot 21 = 1323$

t,t,t,0 –> $\binom{7}{3}\cdot 21 = 735$

At,A,0,0 –> $\binom{3}{1}\cdot\binom{21}{2} = 3\cdot 210 = 630$

At,t,0,0 –> $\binom{7}{1}\cdot\binom{21}{2} = 7\cdot 210 = 1470$

ukupno 21+441+1323+735+630+1470=4620

vjerojatnost 5061/35960

doprinos očekivanju $3\cdot 5061/35960$

$X=2$

At,0,0,0 $\binom{21}{3}=\frac{21\cdot 20\cdot 19}{3\cdot 2\cdot 1}=70\cdot 19=1330$

A,t,0,0 $\binom{3}{1}\cdot\binom{7}{1}\cdot\binom{21}{2}= 4410$

A,A,0,0 $\binom{3}{2}\cdot\binom{21}{2}=630$

t,t,0,0 $\binom{7}{2}\cdot\binom{21}{2}=21\cdot 210=4410$

ukupno 1330+4410+630+4410=10780

vjerojatnost 10780/35960

doprinos očekivanju $2\cdot 10780/35960$

$X=1$

A,0,0,0 –> $\binom{3}{1}\cdot\binom{21}{3}= 3\cdot \frac{21\cdot 20\cdot 19}{3\cdot 2\cdot 1}=3\cdot 1330=3990$

t,0,0,0 –> $\binom{7}{1}\cdot\binom{21}{3}= 7\cdot 1330$

ukupno $10\cdot 1330 = 13300$

doprinos očekivanju $1\cdot 13300/35960$

$X=0$ nula bodova

0 0 0 0 (4 prazne od 21 karte) $\binom{21}{4} = 5985$

vjerojatnost je 5985/35960

doprinos očekivanju $0\cdot 5985/35960=0$

Ukupno

Ukupan broj slučajeva za 0,1,2,3,4 i 5 bodova je

120+1155+4620+10780+13300+5985=35960

što je točno $\binom{32}{4}$, dakle sve smo slučajeve pravilno pobrojili!

Očekivanje je zbroj doprinosa

$$E[X] = \frac{5\cdot 120+4\cdot 1155+3\cdot 4620+2\cdot 10780+1\cdot 13300+0\cdot 5985}{35960} = \frac{53940}{35960} = 1.5$$

Rezultat je neobično jednostavan! Prosječno skupimo jedan i pol bod.

OPASKA: (7 izaberi 4) = (7 izaberi 3) jer je 3+4=7, a izabrati 4 je isto što izostaviti odabrana 3.