Zoran Skoda stat-PDO-predznanje

Studenti ovog studija osjećaju da imaju rupe u predznanju, zapravo to je više neka nesigurnost z matematičkog školovanja. Nekad je to samo psihološka nesigurnost jer u ovom kolegiju se koristi zapravo vrlo malo matematike, van osnovne aritmetike (uključujući s decimalnim brojevima) i navika korištenja kalkulatora, tablica i pedantnosti u označavanju i korištenju oznaka. Ovdje ćemo staviti popis nekih općih znanja i nekih čestih grešaka i neodumica.

Brojevni sustavi i aritmetika

Podrazumijevamo da studenti koriste cijele i decimalne brojeve. Kad kažemo cijeli broj mislimo na brojeve 0,1,2,… zajedno s negativnim. Ukoliko je pozitivan broj ono što imamo, onda se negativan tumači kao gubitak. To objašnjava operacije na cijelim brojevima. Na primjer kako zbrojiti dobitak i gubitak: tako da ih oduzmemo, ako je dobitak veći onda od dobitka oduzmemo gubitak i dobijemo manji dobitak, na primjer $4 + (-3) = +1$, ako je gubitak veći onda od gubitka oduzmemo dobitak, $-5+(+3) = -2$, dobici se međusobno zbrajaju, gubici se međusobno zbrajaju.

Kod decimalnih brojeva za nas nisu bitne teorijske razlike između beskonačnih i konačnih jer računamo uvijek da u konačnom rezultatu čuvamo više značajnih decimalnih mjesta nego je u početnim podacima, ili možda jednu znamenku više. Tako na primjer u broju 864.23 imamo pet decimalnih mjesta, pa ako računamo 9.8%, a posto znači jedan stoti dio to znači da gledamo broj $(9.8/100)\cdot 864.23 = 9.8 * 864.23 = 84.69454$ gdje imamo čak 7 mjesta, a ako je konačni rezultat dosta bi bilo reći $84.695$ gdje smo zaokružili na 5 decimalnih mjesta. No, to nije toliko bitno za kolegij, a u diplomskom ćete takve detalje dogovoriti s mentorom. Važno je znati značenje decimalne brojke. Recimo broj $21.423 = 2\times 10 + 1\times 1 + 4/10 + 2/100 + 3/1000$. Dakle ako je znamenka na $n$-tom mjestu nalijevo od decimalne točke onda se njena vrijednost množi s $10^{n-1} = 10\times 10 \times\ldots\times 10$ (desetica se množi (n-1) puta), a ako je zdesna na $m$-tom mjestu onda se dijeli s $10$ točno $m$ puta.

Važno je paziti na mjesto decimalne točke. Makar možete koristiti kalkulatore treba vidjeti i od oka kako veliki broj očekujemo da ne dobijemo grubu pogrešku. Prije svega, treba biti siguran kako množiti s potencijama od 10, dakle 1, 10, 100 itd. i 1/10 = 0.1, 1/100 = 0.01, 1/1000 = 0.001 itd. Recimo $100 \cdot 0.0003 = 0.03$ - tu smo pomaknuli decimalnu točku za dva mjesta ulijevo jer svako množenje s $10$ pomakne jednu znamenku ulijevo, a dijeljenje s $10$ udesno.

Recimo ako množimo

$$\array{ 24.32\cdot 12.65 &=&\frac{2432}{100}\cdot\frac{1265}{100} = = \frac{2432\cdot 1265}{10000} \\ &=& \frac{3076480}{1000} = 3076.480 = 3076.48 }$$

Primijetite da nula na kraju decimalnog broja, ako je iza decimalne točke, nema značenje u matematici kad radimo s egzaktnim brojevima. Ako radimo ili unašamo približno kao što je to u statističkim tablicama, međutim, nula na kraju znači da smo je izračunali, tj označava točnost našeg računa. Ako je nema, onda valjda nismo provjeravali tako sitnu popravku.

Udio je omjer nečega u cjelini. Recimo ako je udio brašna u kruhu 0.48 ti znači da kad podijelimo težinu brašna s težinom kruha kojeg dobijemo onda je to 0.48. Udjele, kao i vjerojatnosti, obično pišemo u postocima ili u promilima. Postotak znači koliko stotih dijelova, dakle 0.48 = 48%, a promili koliko tisućitih dijelova. 48% znači 48 stotih dijelova, pa možemo čitati 48 posto ili 48 postotaka, a i pisati 48/100 ili $48\times\frac{1}{100}$.

Jako treba paziti s razlomcima. Razlomak znači da dijelimo. Recimo 24/4 (pišemo i $\frac{24}{4}$ i čitamo 24 kroz 4) je isto kao i da podijelimo 24:4 odnosno 24 cijela na 4 jednaka dijela. Prvu brojku u razlomku zoveo brojnikom, a drugu nazivnikom. Razlomke množimo naprosto tako da pomnožimo brojnik s brojnikom i nazivnik s nazivnikom. Na primjer, $\frac{4}{5}\times\frac{6}{7} = \frac{4\times 6}{5\times 7} = \frac{24}{35}$. Ako imamo pet puta više nečega i dijelimo na pet puta više ljudi dobit ćemo isti rezultat. To znači da ako brojnik i nazivnik pomnožimo istim brojem, njegova vrijednost se neće promijeniti (to zoveo proširivanje razlomaka). Ako brojnik i nazivnik podijelimo istim brojem, njegova vrijednost se također neće promijeniti. Dakle, ako i brojnik i nazivnik podijelimo brojem $3$ vidimo da je $9/6 = 3/2$. Međutim u matematici moramo jasno vidjeti da imamo ta dva broja, brojnik i nazivnik, a ne neku hrpu brojeva iz koje nasumce izaberemo dva broja. Na primjer,

$$\frac{9+1}{6}\neq \frac{3}{2}$$

Zašto tu ne možemo skratiti 9 i 6 ? Zato što 9 nije brojnik, brojnik je 9+1. Dakle razlomak je $10/6=5/3$.

Druga je greška da neki studenti zamijene u računima razlomke s binomnim koeficijentima. Binomni koeficijenti su za mnoge od vas novi pojam i uvest će se i motivirati na početku kolegija.

Na primjer binomni koeficijent 3 povrh 2 (ili “3 izaberi dva”)

$$\binom{3}{2} = \frac{3\cdot 2}{2\cdot 1} = 3 \neq \frac{3}{2}$$

Kod binomnih koeficijenata nema kraćenja u simbolu, npr.

$$3 = \binom{3}{2} \neq \binom{6}{4} \neq \frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 5$$

su različiti. Ako računamo binomne koeficijente tako ga napišemo kao umnožak istog broj brojeva u brojniku i u nazivniku razlomka kojeg dobijemo, onda je bolje da tih brojeva nije mnogo pa je dobro koristiti identitet

$$\binom{n}{m} = \binom{n}{n-m},$$

jer na koliko načina možemo od $n$ ljudi izabrati $m$ koji će nas predstavljati, pa na onoliko način na koji možemo izabrati $n-m$ koji nas neće predstavljati. Na primjer $\binom{7}{2} = \frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}$ je jednak

$$\binom{7}{7-2} = \binom{7}{5} = \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}.$$

Ovaj drugi omjer je kompliciraniji pa je bolje koristiti prvi. Makar je lako vidjeti da su isti i računski jer se onih 3 brojeva viška u brojniku i nazivniku, a to su 5, 4 i 3 naprosto skrate.

U matematici općenito treba paziti na zagrade i na hijerarhiju operacija. Tako u izrazu

$$2 + 3\times 4 = 2 + 12 \neq 5 + 12 = (2 + 3)\times 12$$

Pravilo je ovakvo: ako zagrade postoje najprije računamo ono što je unutar zagrada (iznutra prema van ako ima više nivoa zagrada). Ako nema zagrada onda prvo množimo, a tek onda zbrajamo. Kažemo da je množenje operacija višeg reda u odnosu na zbrajanje. Potenciranje je pak operacija višeg reda s obzirom na oboje. Tako je $2^3 = 2\times 2\times 2 = 8$, $2^6 = 64$ i

$$2^3 \cdot 2 = 8\cdot 2 = 16 \neq 2^{3\cdot 2} = 2^6 = 64$$

U izrazu $2\cdot (3 + 5)$ po pravilima je $2\cdot 8 = 16$, no vrijedi i pravilo distribucije $2\cdot (3+5) = 2\cdot 3 + 2\cdot 5 = 6+10 = 16$. Lakše je ionako bilo $2\cdot 8$, međutim što ako jednu od tih brojki ne znamo i promatramo kao varijablu, npr. $2\cdot (x+5) = 2\cdot x + 10$. To je ponekad korisno (na primjer kod sređivanja jednadžbe pravca).

Simboličke sume

U ovom kolegiju se ponekad koriste simboli sume

$$\sum_{i = 1}^5 x_i = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5$$

dakle broj $i$ se mijenja od 1 do 5 i svi ti brojevi se zbroje. Nekad pišemo samo $\sum_i x_i$ kad nam nije važno jer znamo da su “granice” sumiranja $i = 1$ (donja granica) i $i = 5$ ili spominjemo sumu radi diskusije, a da nam točne vrijednosti granica nisu važne, makar znamo da su one tu.

Potencije se pojavljuju recimo u binomnoj razdiobi.

Funkcije i grafovi funkcija

Korisno je moći se referirati na pojam skupa nečega kao kolekcije, skupine, množine nekih objekata. Dakle nazvati neki skup znači reći koji su objekti u toj kolekciji, a koji nisu. Za one koji jesu kažemo da su elementi skupa. Skupove je korisno skicirati grafički (Vennovi dijagrami). Moguće događaje u vjerojatnosti gledat ćemo kao skupine/skupovi mogućnosti, o tome ćemo dosta pričati.

Ponekad se koriste i funkcije. To znači da smo kao funkciju $f$ zadali pravilo da simbolu $f(x)$ kad god fiksiramo $x$ odredili neku funkcijsku vrijednost $f(x)$. Pri tome podrazumijevamo da $x$ ne može biti bilo što nego nešto iz određenog područja dozvoljenih argumenata (kažemo i područje definicije funkcije ili domena). Kad znamo $x$ onda je vrijednost $f(x)$ jednoznačno određena, ako je $x$ is područja definicije funkcije. Nekad pišemo i $f : x\mapsto f(x)$ i čitamo funkcija $f$ šalje $x$ u $f(x)$, primijetite da strelica počne okomitom crticom. Pišemo i simbol $f:A\to B$ da naznačimo da je $A$ skup svih mogućih argumenata (domena), a $B$ skup svih mogućih vrijednosti funkcije (neke su možda i neiskorištene). Ako su jedno i drugo brojevi onda možemo sve parove tipa $(a,f(a))$ nacrtati na grafu, to znači da je koordinata na osi $x$ jednaka $a$, a na osi $y$ jednaka $b$. Napose, trebalo bi, radi crtanja linije regresije znati crtati grafove funkcija koje se računaju $x\mapsto k\cdot x + l$ gdje su $k$ i $l$ brojevi. To je jednadžba pravca, koja se nekad piše u obliku

$$y - y_A = \frac{y_B - y_A}{x_B- x_A} (x - x_A)$$

gdje su $A(x_A,y_A)$ i $B(x_B,y_B)$ dvije točke na pravcu dane koordinatama u zagradama.

Podrazumijeva se da studenti mogu koristiti kalkulator za evaluaciju još nekih funkcija koje postoje na kalkulatorima.

Posebno nam je od koristi eksponencijalna funkcija $exp: x\mapsto exp(x)$. Nekad pišemo $e^x$ umjesto $exp(x)$. Eksponencijalna funkcija pojavljuje se u normalnoj razdiobi koju učimo u ovom kolegiju. Učit ćemo i novu funkciju $\Phi$ kumulativne vjerojatnosti za jediničnu normalnu razdiobu čije vrijednosti ćemo čitati iz tablica.