Zoran Skoda stat-test-300121

Ovdje su grupe A i B s dijelom rješenja. Testove bez rješenja nađite na adresi https://www2.irb.hr/korisnici/zskoda/matstat20t1.pdf za grupe A i B (11 sati), te https://www2.irb.hr/korisnici/zskoda/matstat20t1CD.pdf za grupe C i D (16 sati).

Uvod u vjerojatnost i statistiku 30.01.20. grupa A

A1. U urni imamo 3 crne i 2 bijele kuglice.

a) Ako biramo jednu kuglu nasumce i nakon toga je vratimo u urnu i tako 4 puta, koja je vjerojatnost da će u ta 4 puta čak 3 puta biti izabrana BIJELA kuglica ?

b) ako nakon uzimanja NE vraćamo kuglicu u urnu i tako redom biramo 3 kuglice, koja je vjerojatnost da ćemo izvaditi 2 crne i jednu bijelu ?

Rješenje: a) Kako je svaki put prije izvlačenja ista pozicija s 3c2b to su sva tri izvlačenja nezavisna (kako vraćamo kuglicu ne znamo što je bilo izvučeno prošli puta). Dakle svaki puta da izvučemo crnu je vjerojatnost 3/5, a bijelu 2/5. To je binomna distribucija

$$P = \binom{4}{3}\left(\frac{3}{5}\right)^1\left(\frac{2}{5}\right)^3 = 4\cdot\frac{3\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5} = \frac{96}{625} = 0.1536$$

b) To je zbroj vjerojatnosti 3 disjunktna (međusobno isključiva) događaja (“kanala”), a to je da izvadimo ccb, cbc ili bcc.

$$P(ccb) = \frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3} = \frac{12}{60} = 0.2$$

jer najprije vučemo crnu, a tri su od 5 takve pa je vjerojatnost tri petine, onda ih je 2 od 4, a onda bijelu a to su 2 od 3. U slijedećem imamo tri crne od 5 kuglica a vućemo jednu, pa onda vućemo bijelu,a takve su 2 od 4 i na kraju crnu a takve su 2 od preostale 3 kuglice.

$$P(cbc) = \frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3} = 0.2$$

$$P(bcc) =\frac{2}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3} = 0.2$$

Ukupno $P = 0.2+0.2+0.2 = 0.6$

A2. Sastavljamo 4-slovnu riječ od 5 slova A, B,C, D, E s mogućim ponavljanjem. Bez obzira na smisao, svi redoslijedi su valjani, npr. AEED, EEAD, ABCD, EBBC, BBAC i različiti redoslijedi su različite riječi.

a) koliko ima različitih riječi ?

b) koliko ima različitih riječi u kojima se B pojavljuje točno jednom ?

c) Ako sastavimo nasumce riječ (sve su jednako vjerojatne), kolika je vjerojatnost da će sastavljena riječ imati slovo B točno jednom ?

R: a) pozicija je bitna pa na svakom mjestu imamo 5 mogućnosti, ukupno $5^4 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625$.

b) B se pojavi na jednom od 4 mjesta, u svakoj od tih mogućnosti imamo još tri preostala mjesta, a na svakom od ta tri mjesta može biti jedno od preostalih 4 slova. Dakle 4 mogućnosti za B, i $4^3$ za ostala tri mjesta pa je ukupno $4\cdot 4^3 = 256$ mogućnosti.

c) $P = \frac{\sharp pov\,\,b)}{\sharp mog\,\,a)} = \frac{256}{625}$

A3. a) Ako prosječno prođe cestom auto jednom u 3 minute, kakva je vjerojatnost da će proći 4 u zadane 3 minute ? b) Kolika je vjerojatnost da će proći točno 2 auta u danih 6 minuta ?

To je Poissonova razdioba. $r = 1/3$ auta po minuti, odnosno za 3 minutni period je $\lambda = 1/3\cdot 3 = 1$ auto, a $m = 4$, $m! = 24$. Dakle, $P = \frac{\lambda^m}{m!}exp(-\lambda)= \frac{1}{4!}exp(-1) = 0.0153283$

U dijelu b) je vrijeme duplo dulje pa je $\lambda$ dvaput veći, $\lambda = 1/3\cdot 6 = 2$, a $m = 2$. Dakle, $P =\frac{2^2}{2!}exp(-2) = 0.27067$ ili 27.067%

A4. Bacamo krivi novčić. Novčić je malo nesimetričan, pa u prosjeku u 60 posto slučajeva pada na kunu, a u 40 posto na stranu gdje se pak pokaže slavuj.

a) Ako u jednoj igri bacimo novčić 6 puta koja je vjerojatnost da će 4 puta pasti na kunu.

b) koja je vjerojatnost da se će najviše jednom (dakle 0 ili 1 puta) pasti na kunu ?

Ovdje imamo binomnu razdiobu s $p = P(K) = 0.6$ i $q = P(S) = 0.4$.

a) $\binom{6}{4}\cdot 0.6^4 \cdot 0.4^2 = 15\cdot 0.1296\cdot 0.16 = 0.31104$

Sjetimo se da je $\binom{6}{4}=\binom{6}{2} = \frac{6\cdot 5}{2\cdot 1} = 15$

b) To je zbroj vjerojatnosti za ta dva međusobno isključiva slučaja

$$P = \binom{6}{0}\cdot 0.6^0\cdot 0.4^6 +\binom{6}{1}\cdot 0.6^1\cdot 0.4^5$$

$$P = 1\cdot 1\cdot 0.004096 + 6\cdot 0.6\cdot 0.002048 = 0.0114688$$

A5. Šestero ljudi igra tombolu gdje ima 15 srećki, a dvije dobivaju. a) Ako svako uzima jednu srećku, koja je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene ? b) ako je od 6 ljudi pola žena, kolika je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene i to da ih u oba slučaja izvuku žene ?

Rješenje. Sva izvlačenja su jednako vjerojatna. Ukupno ima $\binom{15}{6}$ mogućnosti tombole za ekipu 6 ljudi, gdje nam poredak nije bitan (koji čovjek koju) ili $\binom{15}{6}6!$ ako nas zanima i tko je dobio. Od toga kombinacije koje izvuku dvije nagrade od dvije i 4 prazne srećke od 13 je $\binom{13}{4}\cdot\binom{2}{2}$ ili množimo s 6! ako nas zanima tko je dobio koju srećku. Primijetimo da je $\binom{2}{2} = 1$.

Dakle pod a) je vjerojatnost

$$P_a = \frac{\binom{13}{4}\binom{2}{2}}{\binom{15}{6}}$$

$$P_a= \frac{\frac{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$$

Dvostruki razlomak kratimo unakrsno, pa ostane samo

$$P_a = \frac{6\cdot 5}{15\cdot 14} = \frac{1}{7} = 0.142857$$

To smo mogli i tako da nas ne zanimaju uopće gubitne srećke jer one ionako popunjavaju rupe. Tako brojimo samo gdje idu srećke pa je mogućih (15 izaberi 2), a povoljnih (5 izaberi 2) i kad podijelimo dobijemo

$$P_a = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{15}{2}} = \frac{1}{7}$$

Pod b) tu vjerojatnost samo pomnožimo s uvjetnom vjerojatnošću $P(z|d)$ da ako su dvije od 6 dobitne da to dobiju žene kojih je 3 od 6 ljudi. To se može izračunati na razne načine. Na primjer možemo reći da prvo gledamo gdje ide prva od dobitnih srećki, a ta ide među 3 od 6, dakle 50% šanse, a druga ide među 2 od 5, dakle 40% šanse

$$P(z|d) = 0.5\cdot 0.4 = 0.2$$

pa je $P_b = 0.2\cdot 0.142857 = 0.0285714$.

Mogli smo rješavati dio b) i odjednom, na primjer da nas uopće ne zanima što dobiju muškarci i samo riješimo kao pod a) ali gledamo samo 3 žene, pa je

$$P_b = \frac{\binom{13}{1}\binom{2}{2}}{\binom{15}{3}} = \frac{13}{\frac{15\cdot 14\cdot 13}{3\cdot 2\cdot 1}} = \frac{1}{5\cdot 7} = 1/35 = 0.0285714$$

A6. Iz tvornice kaputa izlazi puno škart robe. U prosjeku je jedan od 4 tanjih kaputa s greškom i jedan od 6 debljih kaputa s greškom.

a) ako smo nasumce kupili kaput (podrazumijevamo da je na izboru bio jednak i veliki broj tankih i debelih kaputa) i on ima grešku, koja je vjerojatnost da je to zapravo deblji kaput ?

b) ako smo nasumce kupili dva kaputa, koja je vjerojatnost da ni jedan par nema grešku ?

Ovdje pretpostavljamo da a priori debljih i tanjih kaputa ima jednako mnogo pa su i jednake nasumce vjerojatnosti njihovog biranja.

Ovo je zadatak s Bayesovom formulom! Prvo označimo događaje. G kaput ima grešku, kupili smo tanji T, kupili smo deblji D. Uvjetne vjerojatnosti su

P(G|T) = 1/4 = 0.25, i P(G|D) = 1/6 = 0.1667

a kako su T i D apriori jednako vjerojatni to je $P(T)=P(D)=0.5$.

a) Zanima nas

$$P(D|G) = \frac{P(D\cap G)}{P(G)} = \frac{P(G|D)\cdot P(D)}{P(G|D)\cdot P(D)+P(G|T)\cdot P(T)}$$

$$P(D|G) = \frac{1/6\cdot 0.5}{1/6\cdot 0.5+1/4\cdot 0.5} = 0.4$$

b) Ovdje nema Bayesa, samo dva nezavisna događaja $P(D)^2 = 0.4\cdot 0.4 = 0.16$

A7. U grupi je 5 djece visina 102, 106, 108, 116 i 123 cm. Nadji medijan, srednju vrijednost, varijancu (srednje kvadratno odstupanje) i standardnu devijaciju.

$$\array{ x_1 &102 &-9 &81\\ x_2 &106 &-5 &25\\ x_3 &108 &-3 &9\\ x_4 &116 & 5 &25\\ x_5 &123 &12 &144\\ \sum &555 &0.0 &284\\ \sum/n &111 && 56.8\\ }$$

srednja vrijednost 111

varijanca $Var_x = 56.8$

standardna devijacija $\sigma = \sqrt{Var_x}=7.54$

Medijana 108

A8. Tri puta mjerimo dvije slučajne veličine, $x$ i $y$ i nalazimo ove parove vrijednosti $(x,y)$: $(3.3, 1.7)$, $(4.3, 1.3)$, $(5.5, 0.9)$. Nadji kovarijancu $\mathrm{Cov}(x,y)$ i jednadžbu pravca linearne regresije.

Srednja vrijednost od X je 4.37, od Y je 1.30, a kovarijanca je -0.29.

Koeficijent regresije -0.3626

Regresija

(y - 1.30) = -0.3626 (x - 4.37)

y = - 0.3626 x + 2.884

statistika 30.1.2021. grupa T1B

B1. U urni imamo 3 zelene i 2 plave kuglice.

a) Ako biramo jednu kuglu nasumce i nakon toga je vratimo u urnu i tako 4 puta, koja je vjerojatnost da će u ta 4 puta točno dva puta biti izabrana zelena kuglica ?

b) ako nakon uzimanja NE vraćamo kuglicu u urnu i tako redom biramo 3 kuglice, koja je vjerojatnost da ćemo izvaditi 2 zelene i jednu plavu ?

Rj. a) ovdje su događaji nezavisni i svaki put ista početna pozicija pa imamo

$$P = \binom{4}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^2 \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 6\cdot \frac{9}{25}\frac{4}{25} = \frac{216}{625}$$

b) $P_b = P(zzp)+P(zpz)+P(pzz)$, dakle

$$P_b = \frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3}+ \frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3}+ \frac{2}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3} = \frac{3}{5} = 0.6,$$

ili 60%.

B2. Sastavljamo 4-slovnu riječ od 6 slova A, B,C, D, E, F s mogućim ponavljanjem. Bez obzira na smisao, svi redoslijedi su valjani, npr. AEFD, EEAD, ABCD, EBBC, BBFC i različiti redoslijedi su različite riječi.

a) koliko ima različitih riječi ?

b) koliko ima različitih riječi u kojima se pojavljuju i A i E točno po jedamput ?

c) Ako sastavimo nasumce riječ (sve su jednako vjerojatne), kolika je vjerojatnost da će sastavljena riječ imati slova A i E točno po jednom ?

a) $6^4 = 36\cdot 36 = 1296$

b) A je na jednom od 4 mjesta, E na jednom od preostala 3. Na svakom od preostala dva mjesta imamo 4 mogućnosti jer tamo smiju biti B,C,D,F (i mogu se ponavljati). Dakle, $4\cdot 3\cdot 4\cdot 4 = 192$

c) $192/1296$

B3. a) Ako prosječno prođe drumom u parku romobil jednom u 4 minute, kakva je vjerojatnost da će proći 3 u zadane 4 minute ? b) Kolika je vjerojatnost da će proći točno 2 romobila u danih 6 minuta ?

Poissonova distribucija a) $\lambda = 1$, $m = 3$, b) $\lambda = 6/4=1.5$, $m = 2$

$P = \frac{\lambda^m}{m!}exp(-\lambda)$

$P_a = \frac{1^3}{3!}exp(-1) = \frac{e^{-1}}{6} = 0.06131324$

$$P_b = \frac{1.5^2}{2!}exp(-1.5) = 0.2510214$$

B4. Bacamo igraću kocku 5 puta.

a) Koja je vjerojatnost da se šestica pojavi točno dva puta ?

b) Koja je vjerojatnost da se šestica pojavi barem 4 puta ?

Binomna razdioba s $p = 1/6$ u oba dijela zadatka.

$$P_a = \binom{5}{2}\frac{1}{6^2}\frac{5^3}{6^3} = 10\cdot\frac{125}{7776}=0.160751$$

$$P_b = \binom{5}{4}\frac{1}{6^4}\frac{5^1}{6^1}+\binom{5}{5}\frac{1}{6^5}$$

Ovdje je $\frac{5^0}{6^0}= 1/1$ pa s time nismo množili drugi sumand. Dakle,

$$P_b = \frac{5\cdot 1\cdot 5 +1\cdot 1}{7776} = \frac{26}{7776} = 0.00334362$$

B5. Šestero ljudi igra tombolu gdje ima 12 srećki, a dvije dobivaju. a) Ako svako uzima jednu srećku, koja je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene ? b) ako je od 6 ljudi 4 žene, kolika je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene i to da ih u oba slučaja izvuku žene ?

$$P_a = \frac{\binom{2}{2}\binom{10}{4}}{\binom{12}{6}}$$

$$P_a = \frac{1\cdot\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$$

$$P_a = \frac{6\cdot 5}{12\cdot 11} = \frac{5}{22} = 0.22727$$

$$P_b = P(z|d)\cdot P_a = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{6}{2}}\cdot P_a$$

$$P_b = \frac{\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}}{\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}}\cdot\frac{5}{22} = 1/11,$$

ili alternativno,

$$P_b = P(z|d)\cdot P_a =\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{22} = 1/11,$$

ili alternativno, da uopće ne marimo što muški dobiju, direktno

$$P_b = \frac{\binom{12}{2}\binom{2}{2}}{\binom{14}{2}} = 1/11$$

Usporedi s rješenjem za A5.

B6. Iz tvornice kravata izlazi puno škart robe. U prosjeku je jedan od 4 plavih kravata s greškom i jedan od 6 crvenih kravata s greškom.

a) ako smo nasumce kupili kravatu zapakiranu u kutiji i kravata ima grešku, koja je vjerojatnost da je to zapravo plava kravata ?

b) ako smo nasumce kupili dvije kravate u kutiji, koja je vjerojatnost da ni jedna nema grešku ?

Ovdje pretpostavljamo (jer drukčije nije rečeno) da se zelene i crvene kravate proizvode jednako često, nasumično.

Ovdje Bayesova formula, kao u A6. P(Pl) = P(C) = 0.5, P(G) da ima grešku. Uvjetne vjerojatnosti P(G|Pl) = 1/4, P(G|C) = 1/6, a u a) pitamo P(Pl|G). Dalje nastavi kao u A6.

B7. U grupi je 5 djece visina 99, 102, 104, 108 i 115 cm. Nadji medijan, srednju vrijednost, varijancu (srednje kvadratno odstupanje) i standardnu devijaciju.

Rješenje: isti zadatak kao A7, vidi gore.

$$\array{ x_1 &99 &-6.6 &43.56\\ x_2 &102 &-3.6 &12.96\\ x_3 &104 &-1.6 &2.56\\ x_4 &108 &2.4 &5.76\\ x_5 &115 &9.4 &88.36\\ \sum &528 &0.0 &153.20\\ \sum/n &105.6 && 30.64\\ }$$

srednja vrijednost 105.6

varijanca 30.64

standardna devijacija $\sigma = 5,535$

Medijana 104

B8. Tri puta mjerimo dvije slučajne veličine, $x$ i $y$ i nalazimo ove parove vrijednosti $(x,y)$: $(5.3, 1.6)$, $(4.3, 1.2)$, $(3.5, 0.8)$. Nadji kovarijancu $\mathrm{Cov}(x,y)$ i jednadžbu pravca linearne regresije.

Rješenje. srednja vrijednost od $\bar{x} = 4.367$,

$\bar{y} = 1.20$

$Cov(x,y)= 0.240$ kovarijanca

koeficijent regresije 0.4426

y - 1.2 = 0.4426 (x - 4.367)

y = 0.4426 x - 0.7328