Zoran Skoda statistika jedne slučajne veličine

U vjerojatnosti ne gledamo samo vjerojatnost nego i prosječne vrijednosti slučajnih veličina. Veličina je neki broj, u pripadnim mjernim jedinicama, koji zavisi od nečega, a to nešto nazivamo parametrom. Npr. temperatura ovisi o mjestu i vremenu gdje je mjerimo. Npr. jutros u Zadru na Novom Kampusu je izmjereno 7 stupnjeva Celzijusa. Dakle, temperatura je neka veličina koja zavisi o mjestu i vremenu.

Slučajna veličina (engl. random quantity) je veličina kod koje je barem jedan parametar slučajan, tj. to je veličina koja, između ostalog, zavisi o ishodu nekog slučajnog događaja. Npr. ako u eksperimentu mjerimo visine $h_1,h_2,h_3,h_4,h_5$ uzorka od petero djece u centimentrima, tada je recimo njihov zbroj $x = h_1 +h_2+h_3 +h_4+h_5$ u centimetrima primjer jedne slučajne veličine; taj zbroj ovisi o (jednom) uzorku pa je slučajan. Drugi primjer je zbroj $y = h_1^2+h_2^2+h_3^2+h_4^2+h_5^2$ kvadrata mjera djece u centimetrima kvadratnim. $x$ slučajna veličina koja može poprimiti vrijednosti $x_1, x_2, \ldots, x_n$ s nekim vjerojatnostima $p_1, p_2,\ldots, p_n$. Barem neka vrijednost se desi pa je ukupna vjerojatnost da se jedna od vrijednosti desi $p_1+p_2+\ldots+p_n = 1$.

Slučajna veličina je zadana kao pravilo kojim dobijamo broj u nekim jedinicima, a koji zavisi od ishoda eksperimenta. Dakle, slučajna veličina je apstraktno pravilo, a za konkretni eksperiment daje konkretnu vrijednost slučajne veličine. Npr. slučajna veličina “zbroj brojeva na kocki u svih 5 bacanja” za eksperiment 5 bacanje kocke u nekom konkretnom eksperimentu poprima konkretne vrijednosti od 5 (za svih 5 jedinica) do najviše 30 (svih 5 šestica).

Očekivanje $E(x)$ slučajne veličine $x$ je definirano kao

$$E(x) = x_1\cdot p_1 + x_2\cdot p_2 + \ldots + x_n\cdot p_n = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i.$$

Simbol $E$ se uvriježio zbog engleske riječi expectation.

Očekivanje je konstantna, radije nego zaista slučajna, veličina – ona je točno određena vrijednost koju gledamo kao svojstvo (karakteristiku) te veličine. Očekivanje konstantne veličine je jednako toj konstanti jer je vjerojatnost jedine njene vrijednost $1$. Dakle je i $E(E(x)) = E(x)$,

Očekivanju slučajne veličine se približava srednja vrijednost te veličine u nizu ponovljenih eksperimenata. Dakle, srednja vrijednost $\bar{x}$ neke slučajne veličine nakon mnogo ponavljanja eksperienta se postepeno sve bolje i bolje približava očekivanju te veličine. Naime ako se vrijednost $x_1$ pojavi $f_1$ puta, vrijednost $x_2$ pojavi $f_2$ puta, …, i vrijednost $x_n$ pojavi $f_n$ puta (drugim riječima frekvencija pojavljivanja vrijednosti $x_i$ u $i$-tom eksperimentu je $f_i$), tada je ukupno $f_1+f_2+\ldots + f_n$ puta vršeno mjerenje i srednja vrijednost ili aritmetička sredina je

$$\bar{x} = \frac{x_1 \cdot f_1 + x_2\cdot f_2 +\ldots+ x_n\cdot f_n}{f_1+f_2+\ldots+f_n}$$

i kako za veliki broj ponavljanja eksperimenta $\frac{f_i}{f_1+f_2+\ldots+f_n}\rightarrow p_i$ to je $\bar{x}\rightarrow E(x)$.

Možemo ponavljanja uključiti tako da novo ponavljanje $x_i$ pišemo kao da je neki novi $x_{i'}$ i gledamo samo one vrijednosti koje se pojave u eksperimentu. Tada će frekvencija biti uvijek $1$ (ili $0$ ali je ne računamo tada). Dakle, formula je tada

$$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$$

jer je $f_1+\ldots+f_n = 1+1+\ldots+1 = n$ u tom slučaju. Tu formulu interpretiramo (tumačimo) obično malo drukčije: $i$ obično nije $i$-ta mogućnost vrijednosti slučajen varijable $x$ nego izmjereni rezultat varijable $x$ u $i$-tom ponavljanju eksperimenta.

Ako je $\bar{x}$ srednja vrijednost i $x_i$ njena vrijednost u $i$-tom ponovljenom eskperimentu, tada je razlika $x_i - \bar{x}$ odstupanje ili devijacija od srednje vrijednosti $\bar{x}$. Neka odstupanja su pozitivni brojevi, a neka negativni. Ako se sva dostupanja statistički zbroje dobijemo nulu. Drugim riječima, srednja vrijednost odstupanja od srednje vrijednosti je nula, tj. $\overline{x - \bar{x}} = 0$. U terminima očekivanja, $E(x - E(x)) = 0$.

Kako se tako pozitivna i negativna odstupanja ponište, a nas ipak zanima koliko su vrijednosti odstupanja u prosjeku velike (po apsolutnoj vrijednosti) mi ih možemo pretvoriti u pozitivne tako da ih kvadriramo, izračunamo srednju vrijednost tih kvadrata, i onda korjenujemo. Tako ćemo dobiti na novi način usrednjeno odstupanje koje zovemo standardno odstupanje ili standardna devijacija veličine $x$, koju označavamo simbolom $\sigma_x$. Dakle, ako izvodimo eksperiment $n$ puta, tada je standardna devijacija slučajne veličine $x$ definirana izrazom

$$\sigma_x = \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2 +\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$$

Izraz ispod znaka kvadratnog korijena nazivamo i varijancom $Var(x) = \sigma^2_x$. Jednako tako u terminima vjerojatnosti,

$$\sigma_x = \sqrt{(x_1-\bar{x})^2\cdot p_1 +(x_2-\bar{x})^2\cdot p_2 +\ldots+(x_n-\bar{x})^2\cdot p_n}$$

Vrijedi

$$Var(x) = E((x - E(x))^2) = E(x^2) - E(x)^2$$

dakle varijanca je razlika očekivanja kvadrata od $x$ i kvadrata očekivanja od $x$. Primijeti da su te dvije veličine različite. Kod rezultata dugog niza eksperimenata, umjesto apstraktnog očekivanja možemo pisati srednju vrijednost iz ostvarenih mjerenja, pa dobivamo $Var(x) = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$.

Primijetmo da taj izraz ne daje nulu. Npr. pretpostavimo da imamo dvije vrijednosti, $1$ i $5$, i svaka se pojavi jednom. Tada je srednja vrijednost $\frac{1+5}{2} = 3$, i kvadrat srednje vrijednosti je $3^2 = 9$, a srednja vrijednost kvadrata je $\frac{1^2 + 5^2}{2} = \frac{26}{2} = 13$ što je veće od $9$. Varijanca je u tom slučaju dakle $Var = 13-9 = 4$, pa je standardno odstupanje $\sigma = \sqrt{4} = 2$.

Puno primjera izračuna očekivanja, varijance i standardne devijacije tabličnom metodom napravljeni su na satu pa se studentima koji nisu bili na predavanjima preporuča da prepišu i prouče te primjere. Par primjera su tablično razrađeni na stranicama 1-16 prezentacije statpres2.pdf

Za slučaj proučavanja zavisnosti dviju slučajnih varijabli pogledaj stranicu linearna regresija.