Zoran Skoda teorem

Skup tvrdnji (aksioma) u nekom fiksiranom logičkom sustavu zaključivanja nazivamo aksiomatskom teorijom. Svaki sustav aksioma je napisan u nekom formalnom jeziku koji podrazumijeva moguće oznake, dozvoljenu sintaksu, skup dozvoljenih varijabli i konstanti, predikate i nad čime je moguća kvantifikacija. U formalnom jeziku kombinacije simbola čine formule. Sintaksa govori koje su formule dopuštene u formalnom jeziku. Samo neke dopuštene formule mogu imati vrijednost istinitosti u nekoj interpretaciji. Npr. formula $(\forall x)$ nema istinitu vrijednost u jeziku predikata, nego je nepotpuna, naime za svaki $x$ vrijedi što ? One formule koje imaju istinitosnu vrijednost u nekoj interpretaciji primitivnih objekata teorije (tj. objekata koje supstituiramo za varijable u interpretaciji) zovemo rečenicama. Općenito u matematici, formula je kraći zapis nekog matematičkog ili logičkog zaključivanja ili sintaktičkog izražavanja, no u formalnoj logici to je samo neki izraz, isječak jezika u kojem je proces zaključivanja formaliziran i ne mora biti zapravo korak samog zaključivanja.

Ako je dan neki skup aksioma i pravila zaključivanja, svaka tvrdnja koja sintaktički slijedi iz aksioma primjenom pravila zaključivanja naziva se teoremom u širem smislu. Slijed primjena pravila zaključivanja kojima dolazimo do teorema zovemo dokaz (u formalnom smislu). U praksi zapisujemo samo dio tih zaključivanja ako je ostatak očit. To je dokaz u praktičnom smislu. Kontradikcija ili proturječje je tvrdnja tipa $P\wedge \neg P$ gdje je $P$ neki sud u jeziku te teorije. Aksiomatska teorija je proturječna (sinonimi: proturječiva, nekonzistentna) ako je proturječje teorem u toj teoriji. Teorija je neproturječna ili konzistentna ako proturječje nije teorem u toj teoriji. Teorija je potpuna ako za svaki sud $P$ koji je napisan u jeziku teorije vrijedi ili $P$ ili $\neg P$. Teorija je odlučiva ako postoji algoritamska procedura pomoću koje možemo za svaki sud $P$ odrediti da li vrijedi $P$ ili $\neg P$. Matematički smislene teorije trebaju biti neproturječne.

U matematičkoj praksi teoremima u užem smislu (ili poučcima) često nazivamo samo važne teoreme u formalnom (širokom) smislu. Pomoćne teoreme koji služe kao koraci u dokazivanju važnijih nazivamo leme. Korolari ili posljedice su teoremi koji lagano slijede iz već dokazanih većih teorema. Propozicije (u prijevodu nešto kao “tvrdnje”, stavke) su neki važni teoremi, ali koji nisu toliko važni da ih nazivamo teoremima u užem smislu u kontekstu nekog matematičkog teksta.

Interpretacija teorije nastaje tako da se svaka konstanta u teoriji zamjeni nekim realnim objektom, svaka varijabla postane oznaka za proizvoljni element nekog skupa, svaki predikat se zamjeni relacijom, jednakost jednakošću objekata. Svi aksiomi moraju vrijediti kao istine u toj interpretaciji. Ako je zaključivanje valjano tada bi i svi teoremi te teorije trebali vrijediti u toj interpretaciji. Ukoliko je teorija neproturječiva i potpuna tada u interpretaciji vrijede samo teoremi te teorije i ništa drugo. Ukoliko teorija nije potpuna tada neke rečenice u jeziku teorije vrijede u jednoj interpretaciji, a ne vrijede u drugoj. Npr. ako gledamo aksiomatiku planimetrije bez aksioma o paralelama (tzv. apsolutna planimetrija) tada postoje njene interpretacije u kojima taj aksiom vrijedi (euklidska planimetrija) i one u kojima taj aksiom ne vrijedi (neeuklidska planimetrija).

category: zadarmat1