Zoran Skoda
topološki prostor

Topološka struktura ili topologija na skupu XX je porodica τ\tau podskupova od XX takva da

(i) ,Xτ\emptyset, X\in \tau

(ii) U 1,U 2τU 1U 2τU_1,U_2\in\tau\implies U_1\cap U_2\in \tau

(iii) Neka je AA neki skup indeksa i {U α} αA\{U_\alpha\}_{\alpha\in A} neka porodica podskupova u XX. Ako U ατU_\alpha\in \tau za svaki αA\alpha\in A. tada αU ατ\cup_\alpha U_\alpha \in \tau.

Topološki prostor je uređeni par (X,τ)(X,\tau) skupa XX i topološke strukture τ\tau na njemu. Kad znamo o kojem τ\tau je riječ, tada kažemo/pišemo neformalno da je XX topološki prostor. Riječ topologija odnosi se ne samo na topološku strukturu nego i na granu matematike koja se (uglavnom) bavi topološkim prostorima. Često u topologiji kažemo jednostavno prostor misleći na topološki prostor.

Elemente od τ\tau nazivamo otvorenim skupovima, a elemente od XX točkama topološkog prostora XX. Skup je zatvoren u topologiji τ\tau ako je njegov komplement u XX otvoren. Dakle prazni skup, cijeli XX su i otvoreni i zatvoreni skupovi. Kako prema (ii) presjek svaka dva otvorena skupa je otvoren, to po indukciji presjek konačno mnogo otvorenih skupova je otvoren i konzekventno, po de Morganovim zakonima, unija konačno mnogo zatvorenih skupova je zatvorena. Unija bilo koje porodice otvorenih skupova je prema (iii) otvorena, dakle presjek bilo koje neprazne porodice zatvorenih skupova je zatvoren. Dakle dobro je definirano zatvorenje podskupa ZXZ\subset X kao Z¯X\bar{Z}\subset X koji je najmanji me]u svim zatvorenim skupovima koji sadrže ZZ kao podskup, a to je upravo presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže ZZ (uvijek postojij barem jedan zatvoreni skup koji sadrži ZZ, naime sam XX.

Otvorena okolina točke xx je bilo koji otvoreni skup UxU\ni x. Okolina točke xx je bilo koji skup VV takav da postoji otvoreni UU takav da je VUxV\supset U\ni x.

Točka xXx\in X je gomilište podskupa ZXZ\subset X ako svaka otvorena okolina od xx sadrži bar jednu točku u ZZ. Npr. svaka točka od ZZ je gomilište. No mogu postojati i neke druge točke. Lako se pokaže da je zatvorenje od ZXZ\subset X skup svih gomilišta skupa XX. Derivat od ZZ je skup svih gomilišta od ZZ koji nisu točke u ZZ.

Ako je ZXZ\subset X i (X,τ X)(X,\tau_X) topološki prostor, tada postoji jedinstvena topologija τ Z\tau_Z na ZZ takva da je skup UZU\subset Z otvoren u ZZ (tj. Uτ ZU\in \tau_Z) onda i samo onda ako postoji otvoren skup Vτ XV\in \tau_X takav da je U=VZU = V\cap Z. Kažemo da je τ Z\tau_Z topologija inducirana topologijom τ X\tau_X i da je (Z,τ Z)(Z,\tau_Z) topološki potprostor prostora (X,τ X)(X,\tau_X).

Neka je {(X α,τ α)} αA\{(X_\alpha,\tau_\alpha)\}_{\alpha\in A} porodica topoloških prostora. Tada Kartezijev produkt skupova αAX α\prod_{\alpha\in A} X_\alpha ima tzv. Tihonovljevu topologiju?.

Created on October 27, 2011 at 19:54:43. See the history of this page for a list of all contributions to it.