Zoran Skoda topološki prostor

Topološka struktura ili topologija na skupu $X$ je porodica $\tau$ podskupova od $X$ takva da

(i) $\emptyset, X\in \tau$

(ii) $U_1,U_2\in\tau\implies U_1\cap U_2\in \tau$

(iii) Neka je $A$ neki skup indeksa i $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ neka porodica podskupova u $X$. Ako $U_\alpha\in \tau$ za svaki $\alpha\in A$. tada $\cup_\alpha U_\alpha \in \tau$.

Topološki prostor je uređeni par $(X,\tau)$ skupa $X$ i topološke strukture $\tau$ na njemu. Kad znamo o kojem $\tau$ je riječ, tada kažemo/pišemo neformalno da je $X$ topološki prostor. Riječ topologija odnosi se ne samo na topološku strukturu nego i na granu matematike koja se (uglavnom) bavi topološkim prostorima. Često u topologiji kažemo jednostavno prostor misleći na topološki prostor.

Elemente od $\tau$ nazivamo otvorenim skupovima, a elemente od $X$ točkama topološkog prostora $X$. Skup je zatvoren u topologiji $\tau$ ako je njegov komplement u $X$ otvoren. Dakle prazni skup, cijeli $X$ su i otvoreni i zatvoreni skupovi. Kako prema (ii) presjek svaka dva otvorena skupa je otvoren, to po indukciji presjek konačno mnogo otvorenih skupova je otvoren i konzekventno, po de Morganovim zakonima, unija konačno mnogo zatvorenih skupova je zatvorena. Unija bilo koje porodice otvorenih skupova je prema (iii) otvorena, dakle presjek bilo koje neprazne porodice zatvorenih skupova je zatvoren. Dakle dobro je definirano zatvorenje podskupa $Z\subset X$ kao $\bar{Z}\subset X$ koji je najmanji me]u svim zatvorenim skupovima koji sadrže $Z$ kao podskup, a to je upravo presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže $Z$ (uvijek postojij barem jedan zatvoreni skup koji sadrži $Z$, naime sam $X$.

Otvorena okolina točke $x$ je bilo koji otvoreni skup $U\ni x$. Okolina točke $x$ je bilo koji skup $V$ takav da postoji otvoreni $U$ takav da je $V\supset U\ni x$.

Točka $x\in X$ je gomilište podskupa $Z\subset X$ ako svaka otvorena okolina od $x$ sadrži bar jednu točku u $Z$. Npr. svaka točka od $Z$ je gomilište. No mogu postojati i neke druge točke. Lako se pokaže da je zatvorenje od $Z\subset X$ skup svih gomilišta skupa $X$. Derivat od $Z$ je skup svih gomilišta od $Z$ koji nisu točke u $Z$.

Ako je $Z\subset X$ i $(X,\tau_X)$ topološki prostor, tada postoji jedinstvena topologija $\tau_Z$ na $Z$ takva da je skup $U\subset Z$ otvoren u $Z$ (tj. $U\in \tau_Z$) onda i samo onda ako postoji otvoren skup $V\in \tau_X$ takav da je $U = V\cap Z$. Kažemo da je $\tau_Z$ topologija inducirana topologijom $\tau_X$ i da je $(Z,\tau_Z)$ topološki potprostor prostora $(X,\tau_X)$.

Neka je $\{(X_\alpha,\tau_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ porodica topoloških prostora. Tada Kartezijev produkt skupova $\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$ ima tzv. Tihonovljevu topologiju?.