Zoran Skoda
uvjetna vjerojatnost

(Pogledajte i ovaj pdf)

Sjetimo se da je empirička vjerojatnost broj povoljnih ishoda (tj. onih koji odgovaraju specificiranom događaju) podijeljena s ukupnim brojem ishoda eksperimenta, kad je broj eksperimenata jako velik.

Ako nešto znamo o ishodu eksperimenta, to znači da smo se ograničili samo na neke ishode. Time se smanjuje i broj povoljnih ishoda (jer oni koji ne odgovaraju našem znanju nisu uključeni) i ukupni broj ishoda (iz istog razloga). Neka je AA neki događaj i znamo da se desio događaj BB. Vjerojatnost da se desi AA ako znamo BB se označava s P(A|B)P(A|B) i čita “vjerojatnost od AA ako BB”. Idemo to izračunati. Sada je broj povoljnih ishoda broj svih ishoda kod kojih se dešava i AA i BB (ako promatramo događaje kao skupove, onda je događaj da se desilo i A i B, presjek skupova ABA\cap B), a mogući su samo ishodi iz BB. Dakle, vjerojatno od AA ako znamo da je BB ispunjen je

P(A|B)=f ABf B=f AB/nf B/n=P(AB)P(B), P(A|B) = \frac{f_{A\cap B}}{f_{B}}= \frac{f_{A\cap B}/n}{f_{B}/n} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)},

odnosno

P(AB)=P(A|B)P(B)P(A\cap B) = P(A|B) P(B)

(značenje formule: da bi se desilo i AA i BB mora se desiti BB (vjerojatnost P(B)P(B)) i ako je taj BB dakle ispunjen, mora se još desiti AA, tj. P(A|B)P(A|B)).

Posljedica toga je tzv. Bayesova formula za uvjetnu vjerojatnost. Pretpostavimo da se događaj AA raspada na međusobno isključive slučajeve

A=A 1A 2A n, A = A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n,

gdje su dogadjaji isključivi, tj. A 1A 2=A_1\cap A_2 = \emptyset itd. Sada,

AB=(A 1A 2A n)B=(A 1B)(A 2B)(A nB), A\cap B = (A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n)\cap B = (A_1\cap B) \cup (A_2\cap B)\cup \ldots \cup (A_n\cap B),

i unija je ponovno disjunktna pa je

P(AB)=P(A 1B)+P(A 2B)++P(A nB), P(A\cap B) = P(A_1\cap B) + P(A_2\cap B) + \ldots + P(A_n\cap B),

dakle iz P(A iB)=P(B|A i)P(A i)P(A_i \cap B) = P(B|A_i)\cdot P(A_i) dobivamo tzv. formulu totalne vjerojatnosti

P(AB)=P(B|A 1)P(A 1)+P(B|A 2)P(A 2)++P(B|A n)P(A n) P(A\cap B) = P(B|A_1)\cdot P(A_1) + P(B|A_2)\cdot P(A_2) + \ldots + P(B|A_n)\cdot P(A_n)

Ako iz BB slijedi da se desio AA (ABA\cup B ili P(AB)=P(B)P(A\cap B) = P(B)),

P(A i|B)=P(A i|(BA))=P(A iBA)P(BA)=P(A iB)P(B) P(A_i | B) = P(A_i | (B\cap A)) = \frac{P(A_i\cap B\cap A)}{P(B\cap A)} = \frac{P(A_i\cap B)}{P(B)}

dakle dobivamo Bayesovu formulu

P(A i|B)=P(B|A i)P(A i)P(B|A 1)P(A 1)+P(B|A 2)P(A 2)++P(B|A n)P(A n) P(A_i | B) = \frac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+\ldots+P(B|A_n)\cdot P(A_n)}

Primjer. U stadu su bijele i crne ovce. Vjerojatnost da bijela ovca ima mlade u nekoj godini je 0.4, a za crnu ovcu je 0.35. Bijelih ovaca ima 10 i crnih ovaca ima 8. Ukoliko smo nasumce izabrali ovcu i vidimo da ona ove godine ime mlade, kolika je vjerojatnost da je to bijela ovca ?

Rješenje. P(ml|b)=0.4P(ml|b) = 0.4, P(ml|c)=0.35P(ml|c) = 0.35, P(b)=10/18P(b) = 10/18, P(c)=8/18P(c) = 8/18. Dakle,

P(b|ml)=P(mlb)P(ml)=P(ml|b)P(b)P(ml|b)P(b)+P(ml|c)P(c)=0.410/180.410/18+0.58/18=4/184/18+5/18=4/189/18=49=0.4444=44.44% P(b|ml) = \frac{P(ml\cap b)}{P(ml)} = \frac{P(ml|b)\cdot P(b)}{P(ml|b)\cdot P(b)+P(ml|c)\cdot P(c)} = \frac{0.4\cdot 10/18}{0.4\cdot 10/18 + 0.5\cdot 8/18} = \frac{4/18}{4/18+5/18} = \frac{4/18}{9/18} = \frac{4}{9} = 0.4444\ldots = 44.44\%

Last revised on December 20, 2018 at 07:07:47. See the history of this page for a list of all contributions to it.