Zoran Skoda zadaci iz stereometrije

$1.$ Zadana je uspravna četverostrana piramida kojoj je visina $h = 5$, a osnovica kvadrat stranice $a = 3$. Nadji duljinu 4 pobočna brida, površine pobočnih stranica i kut između visine i (bilo kojeg) pobočnog brida.

Uputa: pobočje čine četiri sukladna jednakokračna trokuta baze $a$ i kraka koji je ujedno pobočni brid $c$ kojeg trebamo odrediti. Nacrtamo presjek koji prolazi visinom piramide i pobočnim bridom. Nožište visine je upravo sjecište dijagonala kvadrata u bazi. Ako je stranica kvadrata $a$, tada je svaka njegova dijagonala po Pitagorinom teoremu $\sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ pa je pola dijagonale $a\sqrt{2}/2$. Pola dijagonale je upravo spojnica jednog od donjih vrhova s sjecićtem dijagonala baznog kvadrata. To je dakle kateta pravokutnog trokuta kojem je hipotenuza brid $c$, a druga kateta visina $h$ pa je $c = \sqrt{2a^2+h^2}$. Ujedno iz tog istog trokjuta vidimo da je tangens kuta između visine i bridne stranice po definiciji duljina donje katete $a\sqrt{2}$ podijeljena s duljinom katete $h$.

Površina pobočja je četverostruka površina bočnih trokuta. Svaki od njih je površina jednakokračnog trokuta sa stranicama $a,c,c$. Po Pitagori, visina $v_a^2 = c^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$, dakle svaki bočni trokut ima površinu $\frac{1}{2}a\cdot v_a = \frac{1}{2} a\cdot\sqrt{c^2 - a^2/4}$ gdje za $c$ treba uvrstiti rezultat od gore, tj. $h^2+a^2/2$ pa dobijemo $v_a = \sqrt{h^2 +a^2/2-a^2/4} = \sqrt{h^2+a^2/4}$.

Alternativno, $v_a$ se može dobiti preko poprečnog presjeka piramide kroz $v_a$ i $h$. U njemu uočimo pravokutni trokut koji je omeđen katetama $h$, $a/2$ i hipotenuzom $v_a$. Dakle, po Pitagorinom teoremu za taj trokut direktno slijedi $v_a = \sqrt{h^2+a^2/4}$.

$2.$ Zadana je kosa četverostrana piramida kojoj je osnovica pravokutnik stranica $a$ i $b$, a jedan od bridova je ujedno i visina piramide, tj. vrh piramide je točno nad jednim od vrhova osnovice, i visina je $h$. Nađi volumen i oplošje piramide.

Uputa: volumen je očito $V = abh/3$. Dva bočna trokuta $\Delta_1,\Delta_2$ kojima je zajednički brid visina piramide su oba pravokutni, i njihove površine su $P_{\Delta_1} = a h/2$, $P_{\Delta_2} = b h/2$, a hipotenuze su $\sqrt{a^2+h^2}$ i $\sqrt{b^2+h^2}$, to su ujedno dva pobočna brida piramide, uz $h$ i najduži brid $\sqrt{a^2+b^2+h^2}$ jer je zadnji hipotenuza presječnog pravokutnog trokuta kojemu je jedna kateta dijagonala osnovice $\sqrt{a^2+b^2}$, a druga kateta je $h$. Prema obratu Pitagorinog teorema izlazi da su i preostala dva trokuta pravokutna, jer su stranice od $\Delta_3$, $a$, $\sqrt{h^2+b^2}$ i $\sqrt{a^2+b^2+h^2}$, a stranice od $\Delta_4$ su $b$, $\sqrt{a^2+h^2}$ i $\sqrt{a^2+b^2+h^2}$. Izlazi da su površine $P_{\Delta_3} = a\sqrt{b^2+h^2}/2$ i $P_{\Delta_4} = b\sqrt{a^2+h^2}/2$ i ukupno oplošje piramide je

$$P = a b + a h/2 + b h/2 + a\sqrt{b^2+h^2}/2 + b\sqrt{a^2+h^2}/2$$

$3.$ Uspravni valjak je takav da se u njega da upisati sfera, koja dakle ima zajedničku središnju kružnicu i dira obje osnovice (u središtima osnovica). Nađi omjer volumena valjka i njemu upisane kugle te omjer oplošja valjka i oplošja njemu upisane sfere.

Uputa: visina valjka $h$ je očito jednaka dvostrukom polumjeru osnovice $r$, koji je ujedno i polumjer sfere. Dakle,

$$\frac{V_{valjak}}{V_{kugla}} = \frac{r^2 \pi\cdot 2 r}{\frac{4}{3}r^3\pi} = \frac{3}{2}$$

$$\frac{P_{valjak}}{P_{kugla}} = \frac{2 \cdot r^2 \pi + 2 r\cdot 2 r \pi}{4 r^2\pi} = \frac{3}{2}$$

Ovo je jedan od rijetkih slučajeva upisanih tijela kad se omjer volumena podudara s omjerom oplošja.

$4.$ U kocku je upisana kugla. Nađi omjer volumena i omjer oplošja kocke i kugle.

Uputa: polumjer $r$ kugle je očito polovica duljine stranice kocke $a$. Dakle,

$$\frac{V_{kocka}}{V_{kugla}} = \frac{a^3}{\frac{4}{3}\left(\frac{a}{2}\right)^3\pi} = \frac{6}{\pi}$$

$$\frac{P_{kocka}}{P_{kugla}} = \frac{6 a^2}{4 \left(\frac{a}{2}\right)^2\pi} = \frac{6}{\pi}$$

Ovo je također jedan od rijetkih slučajeva upisanih tijela kad se omjer volumena podudara s omjerom oplošja.