Zoran Skoda
zadaci iz stereometrije

1.1. Zadana je uspravna četverostrana piramida kojoj je visina h=5h = 5, a osnovica kvadrat stranice a=3a = 3. Nadji duljinu 4 pobočna brida, površine pobočnih stranica i kut između visine i (bilo kojeg) pobočnog brida.

Uputa: pobočje čine četiri sukladna jednakokračna trokuta baze aa i kraka koji je ujedno pobočni brid cc kojeg trebamo odrediti. Nacrtamo presjek koji prolazi visinom piramide i pobočnim bridom. Nožište visine je upravo sjecište dijagonala kvadrata u bazi. Ako je stranica kvadrata aa, tada je svaka njegova dijagonala po Pitagorinom teoremu a 2+a 2=2a 2=a2\sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} pa je pola dijagonale a2/2a\sqrt{2}/2. Pola dijagonale je upravo spojnica jednog od donjih vrhova s sjecićtem dijagonala baznog kvadrata. To je dakle kateta pravokutnog trokuta kojem je hipotenuza brid cc, a druga kateta visina hh pa je c=2a 2+h 2c = \sqrt{2a^2+h^2}. Ujedno iz tog istog trokjuta vidimo da je tangens kuta između visine i bridne stranice po definiciji duljina donje katete a2a\sqrt{2} podijeljena s duljinom katete hh.

Površina pobočja je četverostruka površina bočnih trokuta. Svaki od njih je površina jednakokračnog trokuta sa stranicama a,c,ca,c,c. Po Pitagori, visina v a 2=c 2(a2) 2v_a^2 = c^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2, dakle svaki bočni trokut ima površinu 12av a=12ac 2a 2/4\frac{1}{2}a\cdot v_a = \frac{1}{2} a\cdot\sqrt{c^2 - a^2/4} gdje za cc treba uvrstiti rezultat od gore, tj. h 2+a 2/2h^2+a^2/2 pa dobijemo v a=h 2+a 2/2a 2/4=h 2+a 2/4v_a = \sqrt{h^2 +a^2/2-a^2/4} = \sqrt{h^2+a^2/4}.

Alternativno, v av_a se može dobiti preko poprečnog presjeka piramide kroz v av_a i hh. U njemu uočimo pravokutni trokut koji je omeđen katetama hh, a/2a/2 i hipotenuzom v av_a. Dakle, po Pitagorinom teoremu za taj trokut direktno slijedi v a=h 2+a 2/4v_a = \sqrt{h^2+a^2/4}.

2.2. Zadana je kosa četverostrana piramida kojoj je osnovica pravokutnik stranica aa i bb, a jedan od bridova je ujedno i visina piramide, tj. vrh piramide je točno nad jednim od vrhova osnovice, i visina je hh. Nađi volumen i oplošje piramide.

Uputa: volumen je očito V=abh/3V = abh/3. Dva bočna trokuta Δ 1,Δ 2\Delta_1,\Delta_2 kojima je zajednički brid visina piramide su oba pravokutni, i njihove površine su P Δ 1=ah/2P_{\Delta_1} = a h/2, P Δ 2=bh/2P_{\Delta_2} = b h/2, a hipotenuze su a 2+h 2\sqrt{a^2+h^2} i b 2+h 2\sqrt{b^2+h^2}, to su ujedno dva pobočna brida piramide, uz hh i najduži brid a 2+b 2+h 2\sqrt{a^2+b^2+h^2} jer je zadnji hipotenuza presječnog pravokutnog trokuta kojemu je jedna kateta dijagonala osnovice a 2+b 2\sqrt{a^2+b^2}, a druga kateta je hh. Prema obratu Pitagorinog teorema izlazi da su i preostala dva trokuta pravokutna, jer su stranice od Δ 3\Delta_3, aa, h 2+b 2\sqrt{h^2+b^2} i a 2+b 2+h 2\sqrt{a^2+b^2+h^2}, a stranice od Δ 4\Delta_4 su bb, a 2+h 2\sqrt{a^2+h^2} i a 2+b 2+h 2\sqrt{a^2+b^2+h^2}. Izlazi da su površine P Δ 3=ab 2+h 2/2P_{\Delta_3} = a\sqrt{b^2+h^2}/2 i P Δ 4=ba 2+h 2/2P_{\Delta_4} = b\sqrt{a^2+h^2}/2 i ukupno oplošje piramide je

P=ab+ah/2+bh/2+ab 2+h 2/2+ba 2+h 2/2 P = a b + a h/2 + b h/2 + a\sqrt{b^2+h^2}/2 + b\sqrt{a^2+h^2}/2

3.3. Uspravni valjak je takav da se u njega da upisati sfera, koja dakle ima zajedničku središnju kružnicu i dira obje osnovice (u središtima osnovica). Nađi omjer volumena valjka i njemu upisane kugle te omjer oplošja valjka i oplošja njemu upisane sfere.

Uputa: visina valjka hh je očito jednaka dvostrukom polumjeru osnovice rr, koji je ujedno i polumjer sfere. Dakle,

V valjakV kugla=r 2π2r43r 3π=32 \frac{V_{valjak}}{V_{kugla}} = \frac{r^2 \pi\cdot 2 r}{\frac{4}{3}r^3\pi} = \frac{3}{2}
P valjakP kugla=2r 2π+2r2rπ4r 2π=32 \frac{P_{valjak}}{P_{kugla}} = \frac{2 \cdot r^2 \pi + 2 r\cdot 2 r \pi}{4 r^2\pi} = \frac{3}{2}

Ovo je jedan od rijetkih slučajeva upisanih tijela kad se omjer volumena podudara s omjerom oplošja.

4.4. U kocku je upisana kugla. Nađi omjer volumena i omjer oplošja kocke i kugle.

Uputa: polumjer rr kugle je očito polovica duljine stranice kocke aa. Dakle,

V kockaV kugla=a 343(a2) 3π=6π \frac{V_{kocka}}{V_{kugla}} = \frac{a^3}{\frac{4}{3}\left(\frac{a}{2}\right)^3\pi} = \frac{6}{\pi}
P kockaP kugla=6a 24(a2) 2π=6π \frac{P_{kocka}}{P_{kugla}} = \frac{6 a^2}{4 \left(\frac{a}{2}\right)^2\pi} = \frac{6}{\pi}

Ovo je također jedan od rijetkih slučajeva upisanih tijela kad se omjer volumena podudara s omjerom oplošja.

Last revised on June 5, 2019 at 12:18:57. See the history of this page for a list of all contributions to it.