Zoran Skoda zadaci vj 1

$$\binom{n}{m} = \frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m(m-1)\cdots 2\cdot 1} = \frac{n!}{(n-m)!m!}$$

$$\binom{5}{3} = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1} = 10$$

Problem s bacanjem kocke

Bacamo kocku 5 puta.

a) kolika je vjerojatnost da prvih 3 puta bude 6-ica, a da ni jednom nakon toga ne bude 6-ica

$$P = \frac{\sharp POV}{\sharp MOG}$$

$\sharp$ mogućih 6 x 6 x 6 x 6 x 6

$\sharp$ povoljnih 1 x 1 x 1 x 5 x 5

rezultat: $\frac{5\cdot 5}{6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6} = \frac{25}{36\cdot 216} = 0.003215$, dakle oko 0.32 posto.

b) kolika je vjerojatnost da točno 3 puta bude 6-ica

$\sharp$ mogućih 6x6x6x6x6=7776

$\sharp$ povoljnih $1\cdot 1 \cdot 1\cdot 1\cdot 5 \cdot \binom{5}{3}$

(jer moramo pomnožiti s brojem $\sharp$ kojih 3 puta je 6-ica od 5)

$\binom{5}{3} = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1} = \frac{60}{6} = 10$

ili ovako: $\binom{5}{3} = \frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\dot 1} = 10$

Dakle 25 x (5 biram 3)=250

Vjerojatnost je 250/7776.

c) kolika je vjerojatnost da prvih 3 puta bude 6-ica, bez ikakvih drugih restrikcija

PRVI NAČIN: $\sharp$ mog = 7776

$\sharp$ povoljnih = 1x1x1x6x6

Vjerojatnost je dakle 36/7776.

DRUGI NAČIN: 4. i 5. bacanje su nezavisni od prva tri, a uvjet koji testiram za pripadnost događaju je samo u prva tri. Dakle brojim samo prva tri bacanja.

$\sharp$ mogućih je 6x6x6

$\sharp$ povoljnih je 1x1x1

rješenje je 1/216

Problem s kartama

4 boje (tref, pik, herc, karo) i 8 po skali (7 8 9 10 J Q K A) je 32 karte

Izaberemo 5 karti nasumce, kolika je vjerojatnost da su točno dvije od njih iste po skali ?

npr. 7tref, 8pik, 10tref, 10pik, Kherc

$\sharp$ mogućih ruku od 5 karti: 32 izaberi 5

32 x 31 x 30 x 29 x 28/ (5x4x3x2x1)

$\sharp$ povoljnih

koja je dupla (od koje po skali su dvije?) 8

koje boje ima ta dupla 4 izaberi 2 = 4x3/(2x1) = 6

koje tri preostale po skali su u ruci 7 izaberi 3 (ona koja je dupla mi nije na raspolaganju!) = 7x6x5/3x2x1 = 35

boje za tri različite karte 4 x 4 x 4 = 64

Sve zajedno: 8x6x35x64

P = omjer

Problem s dvije urne (bez vraćanja kuglica)

U dvije urne su bijele i crne kuglice. U prvoj urni 2 B 1 C, u drugoj urni 1 B 1C. Vadimo prvu kuglicu nasumce iz prve urne, pa onda drugu iz druge urne i treću kuglicu ponovno iz prve urne. (ne vraćamo kuglice)

a) kolika je vjerojatnost da su sve tri kuglice bijele? ?

prvi način (preko vjerojatnosti za svaki korak)

prvo izvlačenje, drugo, treće

(2/3)x(1/2)x(1/2) = 2/12 = 1/6 = 0.1666 = 16.66%

drugi način

$\sharp$ mogućih = 3 x 2 x 2

$\sharp$ povoljnih = 2 x 1 x 1

2/12

b) da su točno dvije kuglice bijele ?

poredak vađenja P(BBC)+P(BCB)+P(CBB) izvlačenja

P(BBC) = (2/3)(1/2)(1/2)=2/12

P(BCB) = (2/3)(1/2)(1/2)=2/12

P(CBB) = (1/3)(1/2)(2/2)=2/12

ukupno 6/12=50%

c) da su točno dvije crne ?

CBC nemoguće (1/3)(1/2)(0/2)=0

CCB (1/3)(1/2)(2/2)=2/12

BCC (2/3)(1/2)(1/2)=2/12

dakle 4/12=33.3%

Bacamo kocku 4 puta. Kolika je vjerojatnost da barem jednom bude 6-ica ?

PRVI NAČIN: barem jednom znači ili točno jednom ili točno dvaput ili točno tri put ili svih 4 puta 6-ica (zbroji sve vjerojatnosti) $\sharp$ mogućih = 6x6x6x6 1x (točno) $\sharp$ pov = 4 x 5 x 5 x 5

2x $\sharp$ pov = kad dva puta (4 izaberi 2) = 6 puta 5 x 5

3x $\sharp$ pov = (4 izaberi 3) = 4 puta 5

4x $\sharp$ pov = 1

DRUGI NAČIN: lakše je izračunati da se to NE desi, a onda je vjerojatnost 1 - P (suprotnog događaja)

suprotni događaj od barem 1 je ni jedan

broj nepovoljnih = 5 x 5 x 5 x 5 (nikad 6-ica)

P(suprotnog) = 5x5x5x5/6x6x6x6

P = 1 - P(suprotnog)

ili naši povoljni su svi osim ovih suprotnih povoljnih 5x5x5x5 a to je 6x6x6x6-5x5x5x5.