Zoran Skoda zadarmat1kol1sample

Sve zadatke treba riješiti bez uporabe kalkulatora. Ovdje je više zadataka nego će biti na testu.

$1$. a) Kolika je kardinalnost skupa $A\times B\times C$ ako skup $A$ ima $3$ elementa, skup $B$ ima $4$ elementa i skup $C$ ima dva elementa ?

b) Definiraj neku bijekciju izmedju skupa svih neparnih cijelih brojeva $\{\ldots,-5,-3,-1,1,3,5,\ldots\}$ i skupa svih neparnih prirodnih brojeva $\{1,3,5,\ldots\} = \{ 2 k - 1 \,|\, k\in\mathbb{N}\} = \{ 2s+1 \,|\, s\in\mathbb{N}_0\}$.

c) Definiraj neku bijekciju izmedju skupa svih prirodnih brojeva $\mathbb{N}$ i skupa svih prirodnih brojeva djeljivih s $3$.

$2$. Izračunaj kompoziciju triju permutacija skupa $\{4,5,6,7\}$ (gornji red je početno, a donji red u svakom stupcu završno stanje, tj. pridružujemo gornjem elementu donji element u istom stupcu):

$$\left(\array {4 & 5 & 6 & 7\\ 4 & 5 & 7 & 6 }\right)\circ \left(\array{ 4 & 5 & 6 & 7\\ 5 & 7 & 4 & 6 }\right)\circ \left(\array{ 4& 5 & 6 & 7\\ 6 & 5 & 4 & 7 }\right) =$$

$3$. a) Nadji Euklidovim algoritmom najveću zajedničku mjeru prirodnih brojeva $105$ i $120$.

b) Koristeći a) nadji najmanji zajednički višekratnik brojeva $105$ i $120$.

$4$. Na koliko načina možemo 3 svijeće, 2 lampiona i 2 kutije šibica poredati u krug ako predmete iste vrste medjusobno ne razlikujemo i ako se rotirani poredak smatra istim ?

$5$. Neka su $A = \{1,2,9\},B=\{2,3,5,6,7\},C=\{1,3,6,9\}$ skupovi.

a) Nadji simetričnu razliku $A\triangle B$.

b) Nadji skup $((B\cup C)\backslash A)\cap \{n\in\mathbb{N} | n\leq 5\}$.

$6$. Indukcijom po $n\in\mathbb{N}$ pokaži identitet

$$\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5} +\ldots +\frac{1}{(2n-1)\cdot (2n+1)} = \frac{n}{2n+1}$$

$7$. a) Koliko različitih riječi od 5 slova možemo sastaviti od nekih od slova $A,B,C,D,E,F$ ako se ni jedno slovo ne smije ponavljati ?

b) Isto pitanje ali ako se najviše jedno slovo može ponavljati i to najviše još jednom. Dakle $ABCDE$, $AABEC$, $EBCAA$ i $EABAC$ su različite dopustive riječi, a $BBDDE$ i $BDEDD$ su nedopustive.

$8$. a) Koliko različitih funkcija ima iz skupa $\{1,2,3,4\}$ u skup $\{a,b,c\}$ ?

b) Koliko od tih funkcija su injekcije (tj. nema ponavljanja vrijednosti) ?

c) Koliko od funkcija u a) su surjekcije (ovo je malo teže) ?

d) Da li postoji neka bijekcija izmedju gornja dva skupa ?

$9$. Izračunaj kao jednostavni razlomak (dakle oblika $p/q$ gdje su $p$ i $q$ cijeli brojevi)

$$\frac{\frac{2}{3} + \frac{-9}{2}}{\frac{2}{3} +\frac{4}{9}} =$$

$10$. Poredaj slijedeće racionalne brojeve po veličini:

$\frac{4}{5}, \frac{-3}{7}, \frac{3}{11},\frac{-1}{2},\frac{3}{4},\frac{-3}{5}$

Nemoj koristiti kalkulator!!

$11$. Napiši sve elemente skupa

$$\{ \frac{p}{q} \,|\, p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{N}, -3\leq p\lt q\leq 2\}$$

$12$. Napi\v{s}i bar dva različita racionalna broja po veličini strogo izmedju $\frac{3}{4}$ i $\frac{7}{8}$.

$13$. Napiši $6450$ kao umnožak prostih brojeva.

$14$. Napiši dekadski broj $(764)_{10}$ u bazi $4$ (tj. znamenke su $0,1,2,3$).

$15$. Ana zna svirati na violini i violi, Marko zna svirati violinu, Matija zna svirati harmoniku i violinu, a Lara zna svirati harmoniku, violu i usnu harmoniku. Svi četvero znaju i pjevati osim Matije.

a) Na koliko načina možemo urediti uloge u njihovom kvartetu tako da svatko od njih preuzme samo jednu ulogu (ili pjevača ili svira jedan odabrani instrument) ?

b) Na koliko načina možemo napraviti uloge u ansamblu gdje svatko obavezno svira (samo jedan instrument), a neki uz to i pjevaju ?

c) Na koliko načina možemo napraviti uloge u kojima nitko ne pjeva i gdje nikoja dva člana ne sviraju isti instrument ?

$16$. a) Koliko različitih ruka od 5 karata u ruci su moguća ako su dane 32 karte (4 boje i 8 različitih po skali u svakoj boji) ?

b) Koliko različitih ruka od 5 karata u ruci su moguća ako su točno $3$ iste po skali u ruci, a ostale dvije su bilo koje, samo ne identične po skali prvim trima (medjusobno mogu biti iste po skali) ?

c) Koliko od ruka u b) imaju te druge dvije karte medjusobno jednake po skali ?

Redoslijed karata u ruci se ne broji!

$17$. Neka su $P,Q,R$ nezavisni sudovi. Napiši tablicu istinitosti suda $(P\wedge R)\vee (Q\Leftrightarrow P)$.

$18$. a) Šahovska ploča je $8\times 8$ polja. Potez konja je pomak za dva u jedan smjer: bilo gore bilo dolje bilo lijevo bilo desno, pa nakon toga jedno polje u stranu okomito od početnog smjera, dakle kao malo slovo $L$ orijentirano ili reflektirano na bilo koju stranu. Pri tome figura ne smije skočiti van ploče. Npr. ako smo negdje oko sredine tada iz zadanog polja imamo 8 mogućnosti gdje skočiti, dok na rubu, u drugoj liniji od ruba i u uglovima ima manje mogućnosti. Možda vam ova slika može pomoći:

$$\array{ a &b &c &c &c &c &b &a \\ b &d &e &e &e &e &d &b \\ c &e &f &f &f &f &e &c \\ c &e &f &f &f &f &e &c \\ c &e &f &f &f &f &e &c \\ c &e &f &f &f &f &e &c \\ b &d &e &e &e &e &d &b \\ a &b &c &c &c &c &b &a }$$

b) Isti problem ako šahovska ploča ima $20\times 20$ polja. Koliko različitih konjićevih skokova ima (dakle pobrojite sve uređene kombinacije početnog i završnog polja koje odgovaraju konjićevom skoku) ?

$19$. Podijeli pismeno $2568$ sa $26$ s ostatkom.

$20$. a) Napiši $\frac{3}{7}$ kao beskonačni decimalni broj s periodičnim ponavljanjem znamenaka.

b) Napiši $0.1345345345345\ldots = 0.1\overset\cdot{3}4\overset\cdot{5}$ kao razlomak. Prikaži postupak.

$21$. Neka su funkcije $f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ dane formulama

$$f(n) = \left\lbrace\array{ n+2, &n\,\,\,\,\,paran \\ n+3, &n\,\,\,neparan.}\right.$$

i $g(n) = 2 n+1$ za sve $n\in\mathbb{N}$. Nadji funkcije $f\circ g$ i $g\circ f$.

category: zadarmat1