Zoran Skoda
zadarmat1kol1sample

Sve zadatke treba riješiti bez uporabe kalkulatora. Ovdje je više zadataka nego će biti na testu.

11. a) Kolika je kardinalnost skupa A×B×CA\times B\times C ako skup AA ima 33 elementa, skup BB ima 44 elementa i skup CC ima dva elementa ?

b) Definiraj neku bijekciju izmedju skupa svih neparnih cijelih brojeva {,5,3,1,1,3,5,}\{\ldots,-5,-3,-1,1,3,5,\ldots\} i skupa svih neparnih prirodnih brojeva {1,3,5,}={2k1|k}={2s+1|s 0}\{1,3,5,\ldots\} = \{ 2 k - 1 \,|\, k\in\mathbb{N}\} = \{ 2s+1 \,|\, s\in\mathbb{N}_0\}.

c) Definiraj neku bijekciju izmedju skupa svih prirodnih brojeva \mathbb{N} i skupa svih prirodnih brojeva djeljivih s 33.

22. Izračunaj kompoziciju triju permutacija skupa {4,5,6,7}\{4,5,6,7\} (gornji red je početno, a donji red u svakom stupcu završno stanje, tj. pridružujemo gornjem elementu donji element u istom stupcu):

(4 5 6 7 4 5 7 6)(4 5 6 7 5 7 4 6)(4 5 6 7 6 5 4 7)= \left(\array {4 & 5 & 6 & 7\\ 4 & 5 & 7 & 6 }\right)\circ \left(\array{ 4 & 5 & 6 & 7\\ 5 & 7 & 4 & 6 }\right)\circ \left(\array{ 4& 5 & 6 & 7\\ 6 & 5 & 4 & 7 }\right) =

33. a) Nadji Euklidovim algoritmom najveću zajedničku mjeru prirodnih brojeva 105105 i 120120.

b) Koristeći a) nadji najmanji zajednički višekratnik brojeva 105105 i 120120.

44. Na koliko načina možemo 3 svijeće, 2 lampiona i 2 kutije šibica poredati u krug ako predmete iste vrste medjusobno ne razlikujemo i ako se rotirani poredak smatra istim ?

55. Neka su A={1,2,9},B={2,3,5,6,7},C={1,3,6,9}A = \{1,2,9\},B=\{2,3,5,6,7\},C=\{1,3,6,9\} skupovi.

a) Nadji simetričnu razliku ABA\triangle B.

b) Nadji skup ((BC)\A){n|n5}((B\cup C)\backslash A)\cap \{n\in\mathbb{N} | n\leq 5\}.

66. Indukcijom po nn\in\mathbb{N} pokaži identitet

113+135++1(2n1)(2n+1)=n2n+1 \frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5} +\ldots +\frac{1}{(2n-1)\cdot (2n+1)} = \frac{n}{2n+1}

77. a) Koliko različitih riječi od 5 slova možemo sastaviti od nekih od slova A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F ako se ni jedno slovo ne smije ponavljati ?

b) Isto pitanje ali ako se najviše jedno slovo može ponavljati i to najviše još jednom. Dakle ABCDEABCDE, AABECAABEC, EBCAAEBCAA i EABACEABAC su različite dopustive riječi, a BBDDEBBDDE i BDEDDBDEDD su nedopustive.

88. a) Koliko različitih funkcija ima iz skupa {1,2,3,4}\{1,2,3,4\} u skup {a,b,c}\{a,b,c\} ?

b) Koliko od tih funkcija su injekcije (tj. nema ponavljanja vrijednosti) ?

c) Koliko od funkcija u a) su surjekcije (ovo je malo teže) ?

d) Da li postoji neka bijekcija izmedju gornja dva skupa ?

99. Izračunaj kao jednostavni razlomak (dakle oblika p/qp/q gdje su pp i qq cijeli brojevi)

23+9223+49= \frac{\frac{2}{3} + \frac{-9}{2}}{\frac{2}{3} +\frac{4}{9}} =

1010. Poredaj slijedeće racionalne brojeve po veličini:

45,37,311,12,34,35\frac{4}{5}, \frac{-3}{7}, \frac{3}{11},\frac{-1}{2},\frac{3}{4},\frac{-3}{5}

Nemoj koristiti kalkulator!!

1111. Napiši sve elemente skupa

{pq|p,q,3p<q2} \{ \frac{p}{q} \,|\, p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{N}, -3\leq p\lt q\leq 2\}

1212. Napi\v{s}i bar dva različita racionalna broja po veličini strogo izmedju 34\frac{3}{4} i 78\frac{7}{8}.

1313. Napiši 64506450 kao umnožak prostih brojeva.

1414. Napiši dekadski broj (764) 10(764)_{10} u bazi 44 (tj. znamenke su 0,1,2,30,1,2,3).

1515. Ana zna svirati na violini i violi, Marko zna svirati violinu, Matija zna svirati harmoniku i violinu, a Lara zna svirati harmoniku, violu i usnu harmoniku. Svi četvero znaju i pjevati osim Matije.

a) Na koliko načina možemo urediti uloge u njihovom kvartetu tako da svatko od njih preuzme samo jednu ulogu (ili pjevača ili svira jedan odabrani instrument) ?

b) Na koliko načina možemo napraviti uloge u ansamblu gdje svatko obavezno svira (samo jedan instrument), a neki uz to i pjevaju ?

c) Na koliko načina možemo napraviti uloge u kojima nitko ne pjeva i gdje nikoja dva člana ne sviraju isti instrument ?

1616. a) Koliko različitih ruka od 5 karata u ruci su moguća ako su dane 32 karte (4 boje i 8 različitih po skali u svakoj boji) ?

b) Koliko različitih ruka od 5 karata u ruci su moguća ako su točno 33 iste po skali u ruci, a ostale dvije su bilo koje, samo ne identične po skali prvim trima (medjusobno mogu biti iste po skali) ?

c) Koliko od ruka u b) imaju te druge dvije karte medjusobno jednake po skali ?

Redoslijed karata u ruci se ne broji!

1717. Neka su P,Q,RP,Q,R nezavisni sudovi. Napiši tablicu istinitosti suda (PR)(QP)(P\wedge R)\vee (Q\Leftrightarrow P).

1818. a) Šahovska ploča je 8×88\times 8 polja. Potez konja je pomak za dva u jedan smjer: bilo gore bilo dolje bilo lijevo bilo desno, pa nakon toga jedno polje u stranu okomito od početnog smjera, dakle kao malo slovo LL orijentirano ili reflektirano na bilo koju stranu. Pri tome figura ne smije skočiti van ploče. Npr. ako smo negdje oko sredine tada iz zadanog polja imamo 8 mogućnosti gdje skočiti, dok na rubu, u drugoj liniji od ruba i u uglovima ima manje mogućnosti. Možda vam ova slika može pomoći:

a b c c c c b a b d e e e e d b c e f f f f e c c e f f f f e c c e f f f f e c c e f f f f e c b d e e e e d b a b c c c c b a\array{ a &b &c &c &c &c &b &a \\ b &d &e &e &e &e &d &b \\ c &e &f &f &f &f &e &c \\ c &e &f &f &f &f &e &c \\ c &e &f &f &f &f &e &c \\ c &e &f &f &f &f &e &c \\ b &d &e &e &e &e &d &b \\ a &b &c &c &c &c &b &a }

b) Isti problem ako šahovska ploča ima 20×2020\times 20 polja. Koliko različitih konjićevih skokova ima (dakle pobrojite sve uređene kombinacije početnog i završnog polja koje odgovaraju konjićevom skoku) ?

1919. Podijeli pismeno 25682568 sa 2626 s ostatkom.

2020. a) Napiši 37\frac{3}{7} kao beskonačni decimalni broj s periodičnim ponavljanjem znamenaka.

b) Napiši 0.1345345345345=0.13450.1345345345345\ldots = 0.1\overset\cdot{3}4\overset\cdot{5} kao razlomak. Prikaži postupak.

2121. Neka su funkcije f,g:f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{N} dane formulama

f(n)={n+2, nparan n+3, nneparan.f(n) = \left\lbrace\array{ n+2, &n\,\,\,\,\,paran \\ n+3, &n\,\,\,neparan.}\right.

i g(n)=2n+1g(n) = 2 n+1 za sve nn\in\mathbb{N}. Nadji funkcije fgf\circ g i gfg\circ f.

category: zadarmat1

Created on December 15, 2016 at 05:43:18. See the history of this page for a list of all contributions to it.