Zoran Skoda zadarmat1malitest

Primjeri zadataka za mali test

$1$. Neka je $\mathbf{N}$ skup prirodnih brojeva $\{1,2,3,\ldots\}$. Neka su funkcije $f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ dane formulama

$$f(n) = \left\lbrace\array{ n+3, &n\,\,\,\,\,paran \\ n+4, &n\,\,\,neparan.}\right.$$

i $g(n) = 2 n+1$ za sve $n\in\mathbb{N}$. Nadji funkcije $h = f\circ g$ i $k = g\circ f$.

$2.$ Neka su $P,Q,R$ nezavisni sudovi. Napiši tablicu istinitosti složenog suda koji je dan formulom

a) $(P \wedge Q)\Leftrightarrow (Q \vee R)$

b) $P \implies (\neg Q \vee (R\wedge P))$

$3.$ Dani su skupovi $A = \{1,2,3\}$, $B = \{a,b,c,d\}$, $C = \{a,b,1\}$.

Nađi i skiciraj Vennovim dijagramima

a) $(B\cap C)\triangle (A\cup C)$

b) $B\backslash C$

c) $B\cap (A\backslash C)$

d) napiši neku bijekciju $f$ iz $A$ u $C$ i nađi njoj inverznu funkciju

$4.$ Koliko ima bijekcija iz tročlanog skupa u tročlani skup ?

$5.$ a) Kolika je kardinalnost skupa $A\times B\times C$ ako skup $A$ ima $3$ elementa, skup $B$ ima $4$ elementa i skup $C$ ima dva elementa ?

b) Definiraj neku bijekciju izmedju skupa svih neparnih cijelih brojeva $\{\ldots,-5,-3,-1,1,3,5,\ldots\}$ i skupa svih neparnih prirodnih brojeva $\{1,3,5,\ldots\} = \{ 2 k - 1 \,|\, k\in\mathbb{N}\} = \{ 2s+1 \,|\, s\in\mathbb{N}_0\}$.

$6.$ Objasni kakva je razlika između unije i disjunktne unije.

$7.$ Koji su elementi (intenzivne) definicije ?

$8.$ Što je lema ?

$9.$ Raspiši pokratu $\exists ! x$ u terminima logičkih operacija, kvantifikatora i predikata jednakosti.

$10.$ Što je to predikat u logici ? Koja je hrvatska riječ za predikat ?

$11.$ Definiraj Kartezijev produkt dva skupa.

$12.$ Kad je neka funkcija injekcija ?

$13.$ Što je to graf funkcije ?

$14.$ Koja svojstva u logici predikata moraju biti ispunjena za predikat (operator) jednakosti $=$ ?

$15.$ Napiši primjer silogizma.

$16.$ Što je to kontrapozicija ?

$17.$ Objasni pravilo zaključivanja modus ponens.

$18.$ Kad kažemo da je aksiomatska teorija proturječna ?

$19.$ Objasni Russelov paradoks.

$20.$ Kada kažemo da je skup konačan ?

$21.$ Definiraj ekvipotentne skupove.

$22.$ Što znači da je neki skup prebrojivo beskonačan.

$23.$ Kada kažemo da su dva skupa jednaka ?

$24.$ Napiši simbolima: $A$ je podskup ili jednak skupu $B$.

$25.$ Jesu li skupovi $A$ i $B$ jednaki ili različiti

a) $A = \{ 1, 2\}$, $B = \{1, 1, 2\}$

b) $A = \{a,b\}$, $B = \{a,\{b\}\}$

c) $A = \emptyset$, $B = \{\}$

d) $A = \{\}$, $B = \{\{\}\}$

c) $A = \{1\}$, $B = A \cup \{ 1\}$

d) $A = \{1\}$, $B = A \backslash \{1\}$

e) $A = \{ 1\}$, $B = \{1\} \cap \emptyset$

f) $A = \{1\}\triangle{2}$, $B = \{1\}\cup \{2\}$

g) $A = \{1,\{1\}\}$, $B = \{\{1\},1\}$

$26.$ Definiraj uređeni par elemenata iz nekog skupa $S$

$27.$ Koliko elemenata ima partitivni skup skupa $W = \{ 1, 2, 5\}$

$28.$ Koliko elemenata ima presjek $\{n \in \mathbb{N}\,|\, n\lt 5\}\cap \{m\in\mathbb{N}\,|\,n\geq 2\}$ i nabroji ih.

$29.$ Koliko elemenata ima Kartezijev produkt $A\times B\times C$ ako $A$ ima $5$, $B$ ima $3$ i $C$ ima dva elementa ?

$30.$ Što je to familija skupova ?

$31.$ Koji je simbol za egzistencijalni kvantifikator ?

$32.$ Objasni logičko pravilo negacija negacije je afirmacija.

$33.$ Što je to tautologija ?

$34.$ Napiši primjer ispravne formule u logici predikata koja nije rečenica, npr. gdje neke varijable nisu vezane.

$35.$ Što je to univerzalni skup ?

$36.$ Objasni na Vennovom dijagramu da je uvijek $(A\backslash B) \cup (A\cap B) = B\backslash A$.

$37.$ Što je to svojstvo asocijativnosti za uniju ?

$38.$ Napiši primjer složenog izraza (operacije barem tri skupa) u jeziku teorije skupova u kojem je bitno staviti zagrade i primjer u kojem se zagrade mogu izbrisati

$39.$ Neka su dani skupovi $A$ i $B$. Definiraj simbolički u jeziku skupova, podskup skupa $A$ čiji elementi su svi oni elementi $x$ u $A$ koji zadovoljavaju predikat $P(x,y)$ za barem jedan element $y$ iz skupa $B$.

category: zadarmat1