Zoran Skoda zadarmat1zad1

Mat 1, 2015/16 Zadaća 1

Z1. Zadana su tri skupa prirodnih brojeva $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2,3,5,6\}$, $C = \{3,4,5\}$ i univerzalni skup $\mathbb{N}$.

a) Nacrtaj Vennov dijagram za gornja tri skupa.

Nađi slijedeće skupove

b) $(A\cap B)\backslash C$

c) $A\backslash (B\cap C)$

d) $A\cap (B\backslash C)$

e) $(A^c\cap B)^c$

Z2. Neka su za skupove iz Z1 dana preslikavanja $f:A\to B$, $f(1) = f(2) = 2$, $f(3) = 5$, $g:B\to C$, $g(2) = g(5) = 4$, $g(3) = 5$, $g(6) = 3$. Nađi kompoziciju $g\circ f$.

Z3. Neka su $P,Q,R$ sudovi, napiši istinitosnu tablicu sudova

a) $P\implies (Q\implies P)$

b) $(P\vee Q)\wedge (\neg P\vee R)$

c) $R\Leftrightarrow (P\Leftrightarrow Q)$

d) $(R\Leftrightarrow P)\Leftrightarrow Q$

Z4. Pokaži da za svaka dva suda $P$ i $Q$ vrijedi $(P\vee Q)^c\implies (P\wedge Q)$

Z5. Ako ne razlikujemo kuglice koje su iste boje, na koliko načina možemo

a) rasporediti 5 crnih i 2 bijele kuglice u jednu veliku i jednu malu kutiju

b) rasporediti 6 crnih kuglica u tri kutije (kutije razlikujemo)

Z6. a) Na koliko načina možemo 6 djece rasporediti u tri grupe tako da je u prvoj grupi dvoje ljudi.

b) Koliko načina iz a) zadovoljava dodatni uvjet da je u svakoj grupi barem jedan čovjek ?

Z7. Izračunaj omjer $1002!/1000!$

Z8. Pokaži matematičkom indukcijom da vrijedi $\sum_{i = 1}^n (2 i + 1) = n^2+2 n$ za svaki prirodni broj $n$.

Z9. Objasni zašto funkcija ima lijevi inverz onda i samo onda ako je injekcija.