Zoran Skoda zadarmat2 mjere

Trigonometrijske funkcije

Ako je kut $\alpha$ kut u pravokutnom trokutu nasuprot kateti $a$, onda je sinus tog kuta jednak omjeru nasuprotne katete i hipotenuze, a kosinus je omjer priležeće katete i hipotenuze. Primijetimo da je hipotenuza na jednom kraku kuta $\alpha$, na drugom kraku je priležeća kateta. Nekad se crta i “trigonometrijska” kružnica s centrom u vrhu kuta čiji je radijus duljina hipotenuze. Ako je radijus te kružnice $1$ kažemo da je to jedinična kružnica i tada su omjeri jednostavno duljina priležeće katete (kosinus) i duljina nasuprotne katete (sinus). Vidi stranicu trigonometrijske funkcije.

Ako su dva lika slična onda imaju proporcionalne stranice s koeficijentom $\lambda$, a odgovarajući kutevi su jednaki. Opseg je $\lambda$ puta veći, a površina $\lambda^2$ puta veća.

Površine u planimetriji

Površina je funkcija koja nekim podskupovima ravnine pridružuje pozitivni realni broj ili nulu, a da pri tome zadovoljava neke opće principe:

1. (aditivnost) Površina za složene likove (koji se daju rastaviti na dijelove s disjunktnom nutrinom) je zbroj površina dijelova

2. (invarijantnost) Međusobno sukladni podskupovi ravnine imaju jednake površine.

3. (normalizacija) Površina kvadrata stranice $1$ je $1$.

Površina pravokutnika sa stranicama $a$ i $b$ je $a\cdot b$.

Paralelogram se da razrezati tako da se jedan trokutni ćošak odreže i zalijepi na drugu stranu tako da dobijemo kvadrat čija stranica je visina početnog paralelograma. Dakle

$$P = a v_a$$

Trigonometrijski $v_a = b sin(\alpha)$ gdje je $\alpha$ kut između stranica $a$ i $b$.

Trokut je pola paralelograma pa je njegova površina $\frac{1}{2} a v_a$ ili $\frac{1}{2} b v_b$ ili $\frac{1}{2} c v_c$.

Visina na stranicu $b$ je stranica $c$ puta kosinus kuta između $b$ i $c$, ili stranica $a$ puta kosinus kuta između $a$ i $b$.

Površina kruga radijusa $r$ je $r^2 \pi$ gdje je $\pi = 3.14159...$ Ludolfov broj (jedan od transcendentnih brojeva).

Površina kriške kruga, tj. kružnog isječka je proporcionalna kutu. Ako je puni kut $2\pi$, a naš kut $\alpha$ radijana, onda je površina kružnog isječka jednaka omjer $\alpha/puni\,\,kut$ (u radijanima to je $\alpha/2\pi$) puta $r^2\pi$. U stupnjevima je puni kut $360^\circ$ pa je ta površina $\alpha/360 \cdot r^2\pi$ gdje je $\alpha$ u stupnjevima. Slično je opseg kružnice $2\pi$, a duljina odgovarajućeg luka je opet $\alpha/puni\,\,\,kut$ puta $2 r\pi$. Ako je zadan dijametar $d$ onda najprije napišemo $r = d/2$ i uvrstimo.

Opseg poligona je zbroj duljina stranica.

Postoji još Heronova formula za površinu trokuta kojem su dane duljine stranica $a,b,c$, a to je $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ gdje je $s$ poluopseg trokuta tj. $s = (a+b+c)/2$.

Volumeni i oplošja u stereometriji

Volumen kvadra je $a b c$. Kvadar je specijalni slučaj paralelepipeda, konveksnog tijela koje ima 6 četverokutnih stranica koje su dvije po dvije paralelne, dakle svaka od njih je paralelogram. Paralelepiped je poseban slučaj prizme, tijela koje ima dvije sukladne i paralelne stranice koje zovemo osnovice (ili baze), a ostali bridovi spajaju odgovarajuće vrove donje i gornje osnovice, takve bridove zovemo izvodnice, sve su izvednice jednako dugačke. Stranice koje nisu osnovice zajedno čine plašt prizme. Osnovica prizme može biti bilo koji ravninski lik. Volumen prizme je visina puta površina baze. Oplošje prizme je površina donje baze plus površina gornje baze plus površina plašta. Donja i gornja baza su jednake! Za prizmu kažemo da je uspravna ako je izvodnica okomita na bazu, dakle izvodnica je ujedno visina prizme.

Ako je baza prizme krug radijusa $r$ onda kažemo da je to valjak. Opet razlikujemo kosi valjak i uspravni valjak, prema tome da li su izvodnice ujedno i visine (tj. okomite) na bazu ili ne.

Volumen kugled radijusa $r$ je $4/3 r^3 \pi$, a oplošje kugle, tj. površina sfere je $r^2 \pi$.

Volumen piramide je površina baze puta visina piramide podijeljeno s $3$. Dakle piramida je efektivno jedna trećina prizme unutar koje je smještena i koja ima istu bazu i visinu. To je manje očito ali analogno faktu da je trokut pola paralelograma, a pravokutni trokut pola pravokutnika.

Oplošje piramide je površina baze plus površina plašta, a plašt se sastoji od nekoliko trokuta.

Volumen stošca kojemu je vrh gore je površina osnovice (to je površina kruga) puta visina podijeljeno s $3$, dakle stožac je jedna trećina valjka s istom visinom i s vrhom u središtu gornje osnovice.

Oplošje stošca je oplošje plašta plus površina baze. Ako je izvodnica uspravnog stošca $c$, a baza je radijusa $r$, tada možemo razmotati plašt tako da dobijemo kružni odsječak kojemu je radijus $c$, a luk je opseg baze, tj. $2 r\pi$. To znači da je to dio punog kruga radijusa $c$ koji odgovara omjeru $2 r\pi/2 c\pi$ (dakle kut je $(r/c) \cdot 2\pi$ radijana ili $(r/c)360^\circ$ stupnjeva). Dakle, površina plašta je $c^2\pi$ puta taj omjer, tj. ako se izmnoži $r c\pi$. Kod kosog stošca oplošje plašta je kompliciranije pa to ne radimo. Vidi video Tao of Chow: Finding the surface area and volume of a cone https://www.youtube.com/watch?v=WFMp3hqZ5nY Usporedi i video Surface area of pyramids and cones https://www.youtube.com/watch?v=k3Z2dgE9MHI i Volume of pyramids and cones https://www.youtube.com/watch?v=U4pAafm1imM Oznaka za površinu na engleskom govornom području je često A (area).

Kod uspravnog stošca nekad se razlikuje gore razmatrani kut razmotanog plašta i (manji) stvarni kut okomitog presjeka stošca $\gamma$ za koji vrijedi $r/c = sin(\gamma/2)$. Okomiti presjek uspravnog stošca (koji prolazi njegovim vrhom i okomit je na bazu) je jednakokračni trokut kojem je osnovica duljine $2 r$, a krakovi duljine $c$. Kod kosog stošca izvodnice nisu sve jednake duljine pa bi razmatranje bilo teže. Ako stošcu dosjećemo nekom plohom nos onda dobijemo krnji stožac. Slično, mogu se gledati i krnje piramide. Za njihov volumen uzmemo volumen cijelog manje volumen nosa, što je lako samo ako je uspravna piramida (stožac) i ako je odsječen nos paralelno s osnovicom.

Ako uspoređujemo dva slična tijela s koeficijentom sličnosti $\lambda\gt 1$ tada je oplošje većeg tijela $\lambda^2$ puta veće od oplošja manjeg tijela, a volumen većeg tijela $\lambda^3$ puta veće od volumena manjeg tijela. Svi odgovarajući kutevi su jednaki.

Eulerova formula

Promatrajmo ograničeni poliedar bez rupa u prostoru, tj. tijelo omeđeno ravnim plohama (može biti nekonveksno ali ne smije imati ručke). Ono ima $V$ vrhova, $S$ stranica i $B$ bridova. Na primjer, kvadar ima 6 stranica, 12 bridova, 8 vrhova. Tada vrijedi $V-B+S = 2$. To je Eulerova formula iz 18. stoljeća koju Grci nisu pogodili. Broj $2$ je tzv. Eulerova karakteristika poliedra i ona je jednaka za sve zatvorene poliedre bez rupa.

category: zadarmat2