Zoran Skoda zadarmat4 zadaci1

Grupa $A$ su studenti kojima prezime ime paran broj slova, a grupa $B$ oni kojima ima neparan. Ako piše iza broja zadatka A ili B onda je to samo za tu grupu, ako je AB rade i jedni i drugi.

1AB. Da li sve izometrije ravnine koje čuvaju oblik jednog nacrtanog pravilnog peterokuta čine grupu ? Objasni aksiom po aksiom.

2A. Podijeli pismeno polinome $6 x^4 + 3 x^3 + 2 x -1$ s $x^2 - x - 3$. Koji je ostatak ?

2B. Isto pitanje kao A, ali za polinome $6 x^4 - 2 x^2 + x + 2$ i $x^2 - 5 x + 3$.

3A. Jedna klasa primjera grupa bile su grupe permutacija (bijekcija skupa na samog sebe). Po Cayleyevom teoremu kojeg smo dokazali na satu svaka grupa je podgrupa neke grupe permutacija, naime permutacija same sebe. Kod konačnih skupova smo permutacije prikazivali kao npr. $(1 2 3)\to (3 1 2)$ smo pisali $\left(\array{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2}\right)$. Izračunaj kompoziciju permutacija

$$\left(\array{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4 & 2}\right)\circ\left( \array{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3}\right) \circ \left(\array{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 2 & 1 & 3}\right)$$

i to na dva načina tako da se asocijativnost vidi na tom primjeru.

3B. Isto za

$$\left(\array{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & 1 & 3}\right) \circ \left(\array{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 1 & 4}\right)\circ \left( \array{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4 & 2}\right)$$

4A. Izračunaj inverz od permutacije $\left(\array{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & 1 & 3}\right)$

4B. Izračunaj inverz od permutacije $\left(\array{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 2 & 3 & 1}\right)$

5A. Za svaki od slijedećih skupova napiši da li je grupa ili monoid ili polugrupa (može i više točnih rješenja) s obzirom na množenje

a) skup svih cijelih brojeva bez nule

b) skup svih kompleksnih brojeva

c) skup svih racionalnih brojeva bez nule

d) skup svih strogo pozitivnih cijelih brojeva

e) skup svih matrica realnih brojeva s dva retka i tri stupca

5B. Za svaki od slijedećih skupova napiši da li je grupa ili monoid ili polugrupa (može i više točnih rješenja) s obzirom na zbrajanje

a) skup svih strogo pozitivnih cijelih brojeva

b) skup svih racionalnih brojeva bez nule

c) skup svih kompleksnih brojeva čiji realni dio je cijeli

d) skup svih parnih brojeva bez nule

e) skup svih matrica realnih brojeva s dva retka i tri stupca

6AB. Da li svaki element u prstenu ima inverz s obzirom na množenje ?

7AB. Ako neka grupa ima 24 elementa da li može imati podgrupu od 22 elementa? Objasni zašto. Koliko podgrupa ima u grupi $G$ ako grupa $G$ ima 17 elemenata ?

8AB. Neka je $G$ grupa, a $H\subset G$ podgrupa i neka je $H$ komutativna, $G$ ne mora biti. Da li možemo zaključiti da je $H$ normalna podgrupa i zašto možemo ili ne možemo ?

9AB. Pokaži da je kompozicija homomorfizama grupa homomorfizam grupa. Da li svaki homomorfizam grupa ima inverzno preslikavanje ?

10A. Pomnoži ove kvadratne matrice

$$\left(\array{1 & 2 & -1\\ 0 & 8 & 9\\ 2& 3 & -1}\right)\left(\array{2 & 0 & -1\\ 8 & -3 & 7\\ 6 & 0 & 6}\right) =$$

10B. Pomnoži kvadratne matrice

$$\left(\array{2 & 0 & -1\\ 1 & 3 & 9\\ 3 & -2 & -2}\right)\left(\array{3 & 4 & -2\\ 5 & -1 & 2\\ 2 & -2 & 2}\right) =$$