Zoran Skoda zadarmat4 program

$2.$ OPIS PREDMETA prema akreditacijskom dokumentu iz 2016.

2.1. Ciljevi predmeta

Dobiti uvid u bogatstvo algebarskih struktura na skupovima i u njihovu izgradnju. Uvidjeti koja su svojstva standardnih algebarskih operacija temeljna.

2.2. Uvjeti za upis predmeta i ulazne kompetencije potrebne za predmet

Položeni ispiti iz kolegija Matematika 1, Matematika 2 i Matematika 3.

(napomena: nije formalizirano kao vezani kolegij s M3)

2.3. Ishodi učenja na razini programa kojima predmet pridonosi

• kritički vrednovati različite različite izvore znanja iz područja odgoja i obrazovanja
• definirati i primjeniti elementarne matematičke definicije, procedure i koncepte u metodičkom oblikovanju matematičkih sadržaja prema propisanom nastavnom planu i programu za niže razrede osnovne škole
• komunicirati matematički, logički zaključivati i argumentirati vlastite matematičke ideje u okviru elementarne matematike
• artikulirati i analizirati nastavni sat hrvatskog jezika, matematike, prirode i društva, tjelesne, likovne i glazbene kulture prema propisanom nastavnom planu i programu za niže razrede osnovne škole
• organizirati i provoditi različite izvannastavne i izvanškolske aktivnosti

2.4. Očekivani ishodi učenja na razini predmeta (4-10 ishoda učenja)

• naučiti strogo logički razmišljati i zaključivati.

• razlikovati i svrstavati razmatrane objekte, posebice, grupe, presten, polja i vektorske prostore

• pravilno tumačiti i koristiti pojam linearni operator

• uopćavati spoznaje o operacijama na razini algebarskih struktura

2.5 Sadržaj predmeta

• Grupa (grupoid; polugrupa; monoid; grupa; podgrupa; homomorfizam; izomorfizam; primjeri na brojevnim skupovima i geometrijskim transformacijama; permutacijske grupe; normalna podgrupa; kvocijentna grupa; direktni produkt grupa).

• Prsten (definicija; primjeri; prsten polinoma).

• Polje (tijelo; polje; primjeri na brojevnim skupovima).

• Vektorski prostor (definicija; primjeri; baza konačnodimenzionalnog vektorskog prostora).

• Linearni operator (definicija; primjeri; zapis linearnoga operatora iz $\mathbf{R}^m$ u $\mathbf{R}^n$).

Prema izvedbenom 2018

Nakon položenog ispita iz ovoga kolegija studenti će biti sposobni:

• promatrati i klasificirati skupove operacija simetrija, permutacija, brojevne sustave, skupove matrica, vektora i brojeva u aritmetici modulo p kao algebarske strukture i uočavati njihova apstraktna svojstva
• realizirati apstraktne algebarske strukture i vektorske prostore u više izomorfnih realizacija
• primjenjivati vektore i matrice u analitičkom pristupu geometriji u 2 i 3 dimenzije
• geometrijski interpretirati sustave linearnih jednadžbi i njihova rješenja
• koristiti dinamički softver geogebra i mathsage za crtanje, prezentacije i rješavanje geometrijskih i algebarskih problema

PREDAVANJA, 30 sati

28.2. 1+1/3 Pojam operacije simetrije, pojam grupe, primjeri. Pojam algebarske strukture. 1.3. 2 Magma, polugrupa i monoid. Polugrupa i monoid riječi na danom alfabetu. 8.3. 2 Grupe, Cayleyeva tablica grupe. Primjeri grupa simetrija poligona, poliedra i kristalografske grupe. Abelove grupe. Graf konačne grupe. 15.3. 2 Podgrupe i homomorfizmi, izomorfizmi, automorfizmi. Permutacije. Broj permutacija. Grupe permutacija. Cayleyev teorem. Centralne i normalne podgrupe. Susjedne klase grupe s obzirom na podgrupu. Lagrangeov teorem. 22.3. 2 Kvocijentna grupa. Slučaj Abelovih grupa. Djelovanja grupa. Prsteni. 29.3. 2 Komutativni i nekomutativni prsteni. Djelitelji nule, tijela i polja. Primjeri i kontraprimjeri. Prsteni kvadratnih matrica. Tijelo kvaterniona. 30.3. 2+2/3 Prezentacija softvera u algebri. Mathsage i geogebra. 5.4. 2 Brojevni sustavi kao primjeri algebarskih struktura s ponavljanjem definicija i konstrukcija brojevnih sustava N,Z,Q,R,C iz Matematike 1. Trigonometrijski zapis kompleksnog broja. n-ti korijen kompleksnog broja. 12.4. 2 Polinomi nad poljem. Operacije nad polinomima. Teorem o dijeljenju polinoma s ostatkom. Euklidov algoritam za zajedničku mjeru polinoma. Identiteti za polinome. Nultočke polinoma. Osnovni teorem algebre. Rastav polinoma na proste množitelje. Pojam algebarskog broja i transcendentnog broja. Binomna formula. 19.4. 2 Važni primjeri prstena: aritmetika ostataka modulo p, konačna polja, Booleovi prsteni i njihovo pojavljivanje (logika, skupovi, elektronički sklopovi). 26.4. 2 Vektori u 2 i 3 dimenzije kao razredi ekvivalencije usmjerenih dužina. Zbrajanje vektora i množenje sa skalarom. Duljina vektora, komponente vektora. Smjer i smisao vektora. Skalarni,vektorski i mješoviti umnožak vektora i njihova geometrijska interpretacija. Ovaj dio je velikim dijelom ponavljanje s kraja kolegija Matematika 2. Definicija vektorskog prostora nad poljem. Linearne kombinacije vektora. Linearna ljuska skupa vektora. 3.5. 2 Linearna nezavisnost skupa vektora, baza i dimenzija vektorskog prostora. Vektor reci i vektor stupci. Zapis vektora u bazi. Prostori vektor redaka i vektor stupaca. Vektori reci i stupci kao posebni slučaj matrica. Množenje matrice i vektora. Skalarni umnožak u više dimenzija. Vektorski potprostori. (10.5.) 0 Nema predavanja (nadoknada 23.3.). 17.5. 2 Koordinatni sustav u ravnini i prostoru s naglaskom na vektorski prikaz. Biranje ishodišta. Afini prostor. Pravci i ravnine u vektorskom pristupu. Paralelni i okomiti pravci. Okomica na ravninu. Udaljenost dva mimoilazna pravca. Volumen paralelepipeda. Jednadžba kružnice i kugle. Parametarska jednadžba krivulje. Presjek krivulja kao rješenje sustava jednadžbi. Kvalitativno ponavljanje aksiomatike stereometrije i diskusija osnovnih tipova izometrija u 2 i 3 dimenzije. 24.5. 2 Linearni operatori i njihova veza s matricama. Množenje matrica kao kompozicija linearnih operatora. Matrični prikaz i geometrijska interpretacija sustava linearnih jednadžbi. Geometrijska interpretacija rješenja sustava linearnih jednadžbi. (31.5.) 0 Praznik, tijelovo 5.6. 2 Izometrije prostora i ravnine u terminama matrica. Matrice rotacije. Dilatacije. Osna simetrija.

VJEŽBE

7.3. 1+1/3 Primjeri grupa i polugrupa. 14.3. 1+1/3 Primjeri grupa simetrija. 21.3. 1+1/3 Primjeri iz teorije grupa. Zadaci s permutacijama. 28.3. 1+1/3 Ponavljanje brojevnih sustava. Promatranje brojevnih sustava kao algebarskih struktura. Rekurzivne definicije u aritmetici. 4.4. 1+1/3 Kolokvij 11.4. 1+1/3 Trigonometrijski zapis kompleksnog broja, zadaci. Zadaci s polinomima. Simbolička algebra u sageu. 18.4. 1+1/3 Zadaci s polinomima, nastavak. 25.4. 1+1/3 Ponavljanje vektora iz Matematike 2 sa zadacima. Ponavljanje pojmova iz planimetrije i stereometrije. 2.5. 1+1/3 Ponavljanje sustava linearnih jednadžbi iz matematike 3. Geometrijska interpretacija. Koordinatni sustav u 2 i 3 dimenzije. (9.5.) 0 nema predavanja 16.5. 1 Vježbe geometrije u koordinatnom sustavu, često uz uporabu vektora. 23.5. 1 Linearne transformacije u bazi. Operacije s matricama. Vektorska prezentacija i linearne transformacije u računarskim grafičkim sustavima. 30.5. 1 Geometrijski primjeri s koordinatama. Primjene sa softverom. 4.6. 1 Analitička geometrija, zadaci. Izometrije u analitičkom pristupu.