Schreiber
Garben und Stacks

Notes for a course on sheaves and stacks building up to a little discussion of higher category theory and physics.

For more advanced material along these lines see the following Seminar on (∞,1)-categories and ∞-stacks.


  • Ort: Hörsaal H5 im Geomatikum

  • Termine:

    • Di, 12:00 - 14:00

    • Fr, 14:00 - 16:00

  • erster Termin: 7. April 2009

Inhalt

Garben und höhere Stacks sind verallgemeinerte Räume, die für grosse Teile der Mathematik, sowie zunehmend in der theoretischen Physik, eine grundlegende Rolle spielen.

Im engeren Sinne von sogenannten abelschen Garben und Stacks geht es dabei um moderne Konzepte der homologischen Algebra, und in jedem Fall geht es zentral um den Begriff von Kohomologie.

In dieser Veranstaltung wird die Theorie von Garben im Allgemeinen und die homologische Algebra von abelschen Garben insbesondere erarbeitet und in Bezug zu höheren Stacks gesetzt.

Das Vorgehen ist an dem Buch

orientiert und grob in drei Teile gegliedert

  • I kategorielle Grundlagen und mengenwertige Prägarben

  • II Geometrische Einbettung und Garben

  • III Garbenkohomologie und \infty-Stacks

Wir starten heuristisch mit der Frage nach den klassifizierenden Räumen von glatten Faserbündeln mit Zusammenhang, motivieren daraus den Begriff von Kategorien und die anderen zentralen Begriffe der Veranstaltung und schliessen zum Ende – nach Entwicklung der Konzepte und der benötigten Werkzeuge – mit der Antwort auf diese Frage und ihrer höheren Verallgemeinerungen in Form von differentieller (Deligne-)Kohomologie und der Klassifizierung von Bündeln und Gerben mit Zusammenhang.

Voraussetzungen

Die Veranstaltung sollte im Wesentlichen alle benötigten Grundlagen zur Verfügung stellen. Frühere Bekanntschaft mit Kategorien und homologischer Algebra wird Wiedererkennungseffekte begünstigen, aber nicht vorausgesetzt.

Skript

Eine Art Skript und weiteres Begleitmaterial zur Veranstaltung wird elektronisch zur Verfuegung gestellt.

Diese Seite selbst, mit Details zum Veranstaltungsablauf, liegt unter der Adresse

Eine nach Kapiteln geordnete Liste von verlinkten Sachbegriffen mit den in der Veranstaltung behandelten Inhalten und weiterfuehrendem Material ist unter

abgelegt. Diese Liste wird im Laufe der Veranstaltung erweitert werden, sollte aber bereits als Überblick nützlich sein.

Ein Abriss des Inhaltes der einzelnen Veranstaltungen ist jeweils unter den folgenden links zu finden:

Literatur

Die Veranstaltung orientiert sich in Ablauf und Inhalt grob an dem Buch

das eine vergleichsweise moderne Perspektive auf Garben bietet und insbesondere auf die Theorie abelscher Garben.

Die natürliche Begleitliteratur dazu ist das Buch

in dem nur mengenwertige Garben betrachtet werden, dafür aber deren Topos-theoretische Bedeutung analysiert wird.

Hier sind Kapitel I, II und III gut parallel zu Kashiwara-Schapiras Kapiteln 1, 2, 16 und 17 zu lesen. Die Darstellung in MacLane-Moerdijk ist etwas elementarer und daher gut zum Einstieg geeignet.

Elektronische Kopien dieser Bücher können auf Nachfrage zum privaten Gebrauch zur Verfügung gestellt werden.

Wir folgen

indem wir die Kategorie von Garben mittels der durch geometrische Einbettung gegebenen Homotopiekategorie definieren.

Für den 1-kategoriellen Kontext geben Kapitel V und VII in MacLane-Moerdijk die Diskussion von Garben per geometrischer Einbettung, und Kapitel 16 und 17 in Kashiwara-Schapira die Diskussion per Homotopiekategorie.

Daran schliesst sich natuerlich mit Theorem 1 in K. Brown’s alter Arbeit eine Überleitung zur Homotopiekategorie der \infty-Stacks und dann mittels Dold-Kan die Beschreibung von abelscher Garbenkohomologie an.

Termine

Im folgenden sind die Veranstaltungstermine aufgelistet mit den behandelten Themen, jeweils soweit bereits absehbar.

1) Di 7. April

Teil 0 – Überblick über zentrale Konzepte und Ziele der Veranstaltung

Fr 10. April

  • Karfreitag

2) Di 14. April

Teil I – kategorielle Grundlagen: mengenwertige Prägarben und Garben;

3) Fr 17. April

4) Di 21. April

5) Fr 24. April

6) Di 28. April

Fr 1. Mai

  • Maifeiertag, keine Veranstaltung

7) Di 5. Mai

Teil II – homologische Algebra: derivierte und triangulierte Kategorien

8) Fr 8. Mai

9) Di 12. Mai

10) Fr 15. Mai

11) Di 19. Mai

12) Fr 22. Mai

13) Di 26. Mai

14) Fr 29. Mai

Di 2. Juni

  • Pfingsferien, keine Veranstaltung

Fr 5. Juni

  • Pfingsferien, keine Veranstaltung

Di 9. Juni

  • keine Veranstaltung (Konferenz)

15) Fr 12. Juni

  • keine Veranstaltung (Konferenz)

16) Di 16. Juni

17) Fr 19. Juni

18) Di 23. Juni

19) Fr 26. Juni

20) Di 30. Juni

21) Fr 3. Juli

22) Di 7. Juli

23) Fr 10. Juli

24) Di 14. Juli

25) Fr 17. Juli

  • Anwendungen in formaler Hochenergiephysik?
Revised on June 7, 2012 11:40:23 by Urs Schreiber (131.130.238.217)