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Des Catégories Abéliennes
Bulletin de la Société Mathématique de France
90 (1962) 323-448
The article (based on a thesis, 1960) develops some of the central aspects of the theory of abelian categories canonized few years earlier by Alexander Grothendieck in Tohoku. Most important is an advanced theory of localization in the setting of abelian categories (extending ideas of Serre), and the applications to the study of rings and modules (where in V.2. also an alternative reconstructions via Gabriel filters is proposed), as well as of quasicoherent sheaves on schemes. It contains a remarkable reconstruction theorem: for any abelian category Gabriel introduces a spectrum whose points are (isomorphism classes of) indecomposable injectives (there is now a refinement using pure injectives, Ziegler spectrum). For a reasonable class of commutative schemes this gives a reconstruction of a scheme out of the abelian category of quasicoherent sheaves on the scheme (later extended to all schemes using different kind of spectra and in that generality known as the Gabriel-Rosenberg theorem). This article is one of the main precursors of a modern, categorically oriented, direction in noncommutative algebraic geometry.
TABLE DES MATIERES.
INTRODUCTION
CHAPITRE 1 : Quelques rappels sur les catégories.
Les univers de Grothendieck
Définition des catégories
Foncteurs
Catégories additives
Catégories abéliennes
Catégories avec générateurs et limites inductives exactes
Foncteurs adjoints
Equivalences de catégories
Catégories abéliennes ayant assez d’injectifs
CHAPITRE II : Foncteurs exacts à gauche et enveloppes injectives.
Catégories de foncteurs
Foncteurs exacts à gauche à valeurs dans une catégorie abélienne
Foncteurs exacts à gauche à valeurs dans les groupes abéliens
Catégories nœthériennes
Enveloppes injectives dans les catégories abéliennes
Catégories avec générateurs et limites inductives exactes
CHAPITRE III : La localisation dans les catégories abéliennes.
Catégories quotient
Propriétés du foncteur section
Catégories avec enveloppes injectives
Catégories avec générateurs et limites inductives exactes
Quelques exemples de sous-catégories localisantes
CHAPITRE IV : Catégories localement nœthériennes.
La dimension de Krull d’une catégorie abélienne
La structure des objets injectifs dans une catégorie localement nœthérienne
Modules pseudo-compacts
Dualité entre catégories localement finies et modules pseudo-compacts
CHAPITRE V : Applications à l’étude des modules.
Catégories de modules
La localisation
Le théorème de Goldie
Injectifs indécomposables et idéaux bilatères
Stabilité par enveloppes injectives
Extensions finies d’anneaux commutatifs nœthériens
La dimension de Krull de quelques anneaux
CHAPITRE VI : Applications à l’étude des faisceaux quasi cohérents.
Recollement de catégories abéliennes
Propriétés d’un recollement de catégories abéliennes
Préschémas et catégories abéliennes
BIBLIOGRAPHIE
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