Schreiber Sheaves and Stacks

Garben, Gerben, Stacks

Bedeutet dies, daß die Wörter auf Deutsch für 'sheaf' und 'gerbe' sind 'Garbe' und 'Gerbe'? Armen Deutschen! Ich habe oft gedacht, daß die Übersetzung zwischen Englisch und Französisch ist in dieser Sache ganz verkorkst, aber ich habe nie gedacht, über die Probleme auf Deutsch. —Toby

• Ort: Hörsaal H5 im Geomatikum

• Termine: Di, Do 10:00 - 12:00

• erster Termin: 7. April 2009

Inhalt

Der Begriff der Garbe ( sheaf ) ist an sich elementar und doch von fundamentaler Bedeutung und ein zentrales Begriffsmittel in diversen Bereichen der modernen Mathematik. Dies gilt insbesondere auch fuer seine natuerliche Verallgemeinerung zu stacks und hoeheren Stacks, die zunehmend Bedeutung als vereinheitlichendes Konzept in der Mathematik gewinnen, nicht zuletzt auch motiviert durch Entwicklungen in der mathematischen Physik.

Nach einfachen motivierenden Beispielen wird die Idee von Garben in dieser Veranstaltung in Ihrer natuerlichen kategoriellen Formulierung eingefuehrt. Dazu werden zu Beginn die notwendigen kategoriellen Grundlagen betrachtet und um das Yoneda Lemma herum Techniken in der Handhabung von Funktorkategorien und Praegarben. Die allgemeine Definition von Garben auf sites mittels sieves wird durch den Lawvere-schen Begriff von verallgemeinerten Raeumen natuerlich motiviert und in einer Reihe von Beispielen konkret gemacht.

Dazu werden diverse relevante Strukturen auf der Wertekategorie der Garben eingefuehrt, insbesondere additive, abelsche und derivierte Kategorien. Daraus entwickelt sich der Begriff der Garbenkohomologie, der eingehend und in Beispielen betrachtet wird.

An dieser Stelle steht der Begriff des Stacks schon im Raum. Um ihn konkret zu machen werden einfache grundlegende Konzepte von hoeheren Kategorien eingefuehrt und am Spezialfall von 2-Kategorien diskutiert. Wir schliessen mit Beispielen zu Stacks und einem Ausblick auf die Welt von $\infty$-Stacks.

• Ueberblick und Motivation

• Die allgemeine Idee von Garben

  • kategorielle Grundlagen

    • Kategorien und Funktoren

    • monoidale Kategorien

    • angereicherte Kategorien

  • Praegarben

    • das Yoneda-Lemma

    • Limites und Colimites

  • Garben

    • Topologien

    • Operationen auf Garben

• Garben mit Werten in speziellen Kategorien

  • abelsche Kategorien

  • Kategorien von Komplexen

  • derivierte Kategorien

  • triangulierte Kategorien

• hoehere Garben: Stacks

  • Garbenkohomologie

  • hoehere Kategorien und Funktoren

  • Stacks

Literatur

Der Kurs wird sich zu einem guten Teil an dem Buch

• Masakai Kashiwara, Pierre Shapira, Categories and Sheaves, Springer (2000)

orientieren.