Zoran Skoda
Kartezijev produkt skupova

Ako su AA i BB skupovi tada je njihov Kartezijev umnožak (ili Kartezijev produkt) skup

A×B={(a,b)|aA,bB}, A\times B = \{ (a,b) \,|\, a\in A, b\in B\},

dakle skup svih uređenih parova kojima je prvi element u paru iz prvog skupa, a drugi element u paru iz drugog skupa.

Općenitije, ako je nn prirodan broj i A 1,A 2,,A nA_1,A_2,\ldots,A_n skupovi tada je njihov Kartezijev umnožak skup svih nn-torki kojima je ii-ti element iz ii-tog skupa A iA_i. Pišemo

A 1×A 2××A n={(a 1,a 2,,a n)|a iA izasve1in}. A_1\times A_2\times \ldots \times A_n = \{ (a_1,a_2,\ldots, a_n) \,|\, a_i \in A_i \,\,za\,\,\,\, sve \,\,1\leq i \leq n\}.

Sjetimo se da je binarna relacija iz skupa AA u skup BB bilo koji podskup Kartezijevog produkta A×BA\times B. nn-arna relacija na skupu AA je bilo koji podskup Kartezijevog produkta nn kopija skupa AA, tj. A×A××A=A ×nA\times A\times \ldots \times A = A^{\times n}.

Ako su kardinaliteti skupova A 1,A 2,,A nA_1, A_2, \ldots, A_n redom c 1,c 2,ldots,c nc_1,c_2, ldots, c_n tada je po definiciji kardinalitet Kartezijevog umnoška kard(A 1×A 2××A n)kard(A_1\times A_2\times\ldots\times A_n) unnožak tih kardinalnih brojeva c 1c 2c nc_1\cdots c_2\cdots c_n. Ukoliko su svi ti skupovi konačni i neprazni, tj. njihov broj elemenata se može promatrati kao prirodni broj, tada je to običan umnožak tih prirodnih brojeva (sjetimo da se množenje prirodnih brojeva može definirati alternativno koristeći rekurziju kojom se svodi na zbrajanje). U praksi dakle ako nam je dano nn konačnih skupova A 1,A 2,,A nA_1, A_2, \ldots, A_n tada možemo odabrati po jedan element iz svakog od tih skupova na ukupno kard(A 1)kard(A 2)kard(A n)kard(A_1)\cdot kard(A_2) \cdots kard(A_n) načina.

Neka je {A j} jJ\{A_j\}_{j\in J} neka familija skupova indeksirana elementima ma kojeg skupa JJ. Tada je Kartezijev produkt jJA j\prod_{j\in J} A_j skup svih funkcija a:J jJA ja: J\to \cup_{j\in J} A_j takvih da a(j)A ja(j)\in A_j.

category: zadarmat1, zadarmat4

Last revised on November 5, 2017 at 23:09:41. See the history of this page for a list of all contributions to it.