Zoran Skoda Kartezijev produkt skupova

Ako su $A$ i $B$ skupovi tada je njihov Kartezijev umnožak (ili Kartezijev produkt) skup

$$A\times B = \{ (a,b) \,|\, a\in A, b\in B\},$$

dakle skup svih uređenih parova kojima je prvi element u paru iz prvog skupa, a drugi element u paru iz drugog skupa.

Općenitije, ako je $n$ prirodan broj i $A_1,A_2,\ldots,A_n$ skupovi tada je njihov Kartezijev umnožak skup svih $n$-torki kojima je $i$-ti element iz $i$-tog skupa $A_i$. Pišemo

$$A_1\times A_2\times \ldots \times A_n = \{ (a_1,a_2,\ldots, a_n) \,|\, a_i \in A_i \,\,za\,\,\,\, sve \,\,1\leq i \leq n\}.$$

Sjetimo se da je binarna relacija iz skupa $A$ u skup $B$ bilo koji podskup Kartezijevog produkta $A\times B$. $n$-arna relacija na skupu $A$ je bilo koji podskup Kartezijevog produkta $n$ kopija skupa $A$, tj. $A\times A\times \ldots \times A = A^{\times n}$.

Ako su kardinaliteti skupova $A_1, A_2, \ldots, A_n$ redom $c_1,c_2, ldots, c_n$ tada je po definiciji kardinalitet Kartezijevog umnoška $kard(A_1\times A_2\times\ldots\times A_n)$ unnožak tih kardinalnih brojeva $c_1\cdots c_2\cdots c_n$. Ukoliko su svi ti skupovi konačni i neprazni, tj. njihov broj elemenata se može promatrati kao prirodni broj, tada je to običan umnožak tih prirodnih brojeva (sjetimo da se množenje prirodnih brojeva može definirati alternativno koristeći rekurziju kojom se svodi na zbrajanje). U praksi dakle ako nam je dano $n$ konačnih skupova $A_1, A_2, \ldots, A_n$ tada možemo odabrati po jedan element iz svakog od tih skupova na ukupno $kard(A_1)\cdot kard(A_2) \cdots kard(A_n)$ načina.

Neka je $\{A_j\}_{j\in J}$ neka familija skupova indeksirana elementima ma kojeg skupa $J$. Tada je Kartezijev produkt $\prod_{j\in J} A_j$ skup svih funkcija $a: J\to \cup_{j\in J} A_j$ takvih da $a(j)\in A_j$.

category: zadarmat1, zadarmat4