Zoran Skoda adicijski teoremi

Promatrajmo ravninu s Kartezijevim koordinatnim sustavom $O\vec{i}\vec{j}$. Koordinate $(x_T,y_T)$ točke $T$ su ujedno komponente radijusvektora $\vec{O T} = x_T \vec{i} + y_T \vec{j}$. Rotacija je svaka izometrija ravnine koja čuva točno jednu točku $S$, središte rotacije, ili je identiteta. Svaka rotacija oko središta $S$ može se prikazati kao kompozicija dviju osnih simetrija oko osi koje se sijeku u središtu rotacije. Sama rotacija zavisi samo od središta i orijentirane mjere kuta među osima prve i druge osne simetrije. Svaka rotacija oko središta $S$ ima svojstvo da šalje svaki polupravac s vrhom u $S$ u neki drugi polupravac s vrhom u $S$, i uređeni kut koji čine ta dva polupravca, izvor i slika, ima istu mjeru i orijentaciju bez obzira koji polupravac uzeli kao izvorni. Tu orijentiranu mjeru kuta zovemo kut rotacije. Očito slijedi da je kompozicija rotacije za kut $\alpha$ s rotacijom za kut $\beta$ jednak rotaciji za $\alpha+\beta$ (pri tome, naravno, koristimo geometrijsku definiciju zbrajanja kuteva). Kut rotacije je dvostruk orijentiranoj mjeri kuta među (ma kojim) dvjema osima s obzirom na koje rotaciju ostvarujemo kao kompoziciju dviju osnih simetrija.

Rotacija za kut $\alpha$ u pozitivnom smislu oko točke $O$ je izometrija pa čuva kuteve i duljine. Dakle šalje i svaki paralelogram u sukladni paralelogram, pa prema pravilu paralelograma šalje zbroj vektora u zbroj rotiranih vektora (oko iste točke, za isti kut). Drugim riječima, rotacija oko točke $O$ je linearan operator na prostoru vektora iz točke $O$. Lako je vidjeti geometrijski da rotacija od $\vec{i}$ daje vektor $cos(\alpha)\vec{i} + sin(\alpha)\vec{j}$, a rotacija od $\vec{j}$ daje vektor $-sin(\alpha)\vec{i} + cos(\alpha)\vec{j}$. Dakle, $\vec{v} = v_x\vec{i} + v_y \vec{j}$ po linearnosti šalje u

$$\array{ \vec{v}' &=& v_x'\vec{i} + v_y'\vec{j} \\ &=& (v_x cos(\alpha) - v_y sin(\alpha))\vec{i} + (v_x sin(\alpha) + v_y cos(\alpha))\vec{j}. }$$

Taj rotirani vektor ako rotiramo dalje za $\beta$ moramo dobiti isti taj izraz ali $\alpha$ je zamijenjen za $\alpha+\beta$. S druge strane, rotacija za $\beta$ vektora $\vec{v}'$ daje

$$\vec{v}'' = (v_x' cos(\beta) - v_y' sin(\beta))\vec{i} + (v_x' sin(\beta) + v_y' cos(\beta))\vec{j}$$

$$v_x'' = v_x (cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)) - v_y(sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta))$$

$$v_y'' = v_x(sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)) + v_y''(cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta))$$

Uspoređivanjem proizlaze takozvane adicijske formule za sinus i kosinus

$$cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$$

$$sin(\alpha+\beta) = sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$$

Nije teško napisati i adicijske formule za razliku koristeći činjenicu da je kosinus parna funkcija ($cos(-\beta) = -cos(\beta)$), a sinus kotangense neparna funkcija, $sin(-\beta) = - sin(\beta)$. Dakle,

$$cos(\alpha-\beta) = cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$$

$$sin(\alpha-\beta) = sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$$

Dijeljenjem izraza dobivamo

$$tg(\alpha\pm\beta) = \frac{sin(\alpha)cos(\beta)\pm cos(\alpha)sin(\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)\mp sin(\alpha)sin(\beta)}$$

Ako brojnik i nazivnik podijelimo s $cos(\alpha)cos(\beta)$ dobivamo adicijski teorem za tangens

$$tg(\alpha\pm\beta) = \frac{tg(\alpha)\pm tg(\beta)}{1\mp tg(\alpha)tg(\beta)}$$

i slično izvedemo adicijsku formulu za kotangens

$$ctg(\alpha\pm\beta) = \frac{ctg(\alpha)ctg(\beta)\mp 1}{ctg(\beta)\pm ctg(\alpha)}.$$

I tu vidimo da se formule za (ko)tangens razlike mogu dobiti od formula za (ko)tangens zbroja koristeći da su tangens i kontangens neparne funkcije.

Sjetimo se da je naklon $k$ pravca $p$ u odnosu na os $x$ („koeficijent smjera pravca”) tangens kuta $\alpha$ među osi $x$ i tim pravcom, tj. kut za koji moramo zarotirati os $x$ oko točke presjeka s osi $x$ da bi dobili zadani pravac. Ako promatramo pravac $q$ koji je okomit na os $p$, njegov koeficijent smjera je dobiven dodatnom rotacijom za $\pm \pi/2$, a kotangens od $\pm\pi/2$ je $0$. Iz adicione formule za kotangens slijedi da je njegov naklon u odnosu na os $x$ (koeficijent smjera)

$$k' = tg(\alpha\pm\pi/2) = \frac{1}{ctg(\alpha\pm\pi/2)} = \frac{ctg(\pm\pi/2)+ctg(\alpha)}{ctg(\alpha)ctg(\pm\pi/2) -1} = \frac{ctg(\alpha)}{-1} = -\frac{1}{tg(\alpha)} = -\frac{1}{k}.$$

category: zadarmat2, zadarmat3, zadarmat4