Zoran Skoda
rotacija

Rotacija u ravnini oko točke OO je izometrija koja se dobije kao kompozicija
s p 1s p 2s_{p_1}\circ s_{p_2} dviju osnih simetrija u odnosu na par pravaca p 2p_2 pa onda p 1p_1 koji se sijeku u jedinstvenoj točki OO. Ukoliko su dva pravca q 1,q 2q_1, q_2 paralelna, tada je kompozicija s q 1s q 2s_{q_1}\circ s_{q_2} je translacija.

Neka je OpO p neki polupravac s vrhom OO. Rotacija ga tada šalje u neki drugi polupravac OqO q s vrhom OO. Kažemo da je ta rotacija rotacija oko OO za orijentirani kut čiji je predstavnik pOq\angle p O q. Mjera i orijentacija tog kuta ne zavise od izbora polupravca OqO q pa je on konstanta dane rotacije, koju zovemo kut rotacije. Rotacija oko OO za kut različit od 00 ima OO kao jedinstvenu fiksnu točku, a rotacija za 00 je identiteta.

Teorem. 2p 1Op 2=pOq2 \angle p_1 O p_2 = \angle p O q.

Centralna simetrija kao poseban slučaj rotacije (Matematika 2)

Centralna simetrija sa središtem simetrije OO je rotacija oko OO takva da je kut rotacije pOq=π\angle p O q = \pi ispruženi kut. Centralna simetrija se kao preslikavanje ravnine može karakterizirati svojstvom da šalje proizvoljnu točku ravnine AOA\neq O u jedinstvenu točku AA' takvu da je OO polovište dužine AA¯\overline{A A'}, a točka OO je jedinstvena fiksna točka tog preslikavanja.

Centralna simetrija šalje svaki pravac koji ne prolazi kroz točku OO u njemu paralelan pravac. To pomaže npr. da se dokaže da ako definiramo paralelogram kao četverokut kojem se dijagonale raspolavljaju tada su parovi njegovih nasuprotnih stranica međusobno paralelni.

Koordinatni opis rotacije

(Matematika 2,4)

Neka je u ravnini zadan pravokutni koordinatni sustav s ishodištem u središtu OO rotacije r θr_\theta za orijentirani kut θ\theta. Rotacija je izometrija pa šalje trokute u sukladne trokute. Ako je OA\vec{O A} orijentirana dužina s točkom u ishodištu s A(x A,y A)A(x_A,y_A) tada je možemo rastaviti kao OA=OP+PA\vec{O A} = \vec{O P} +\vec{P A} gdje je P(x A,0)P(x_A,0) projekcija točke AA na os xx. Rotacijom dakle dobijemo r(OP)+r(PA)=r(OA)r(\vec{O P}) + r(\vec{P A}) = r(\vec{O A}). Dakle da odredimo rotaciju od OA\vec{O A} dosta je odrediti rotaciju vektora u smjeru osi xx, OP=(x A,0)\vec{O P} = (x_A,0) i rotaciju vektora PA=(0,y A)\vec{P A} = (0,y_A) koji je u smjeru osi yy. Iz trigonometrije se lako vidi da r(x A,O)=(x Acosθ,x Asinθ)r(x_A,O) = (x_A cos\theta, x_A sin\theta), r(0,y A)=(y Asinθ,y Acosθ)r(0, y_A) = (-y_A sin\theta, y_A cos\theta). Dakle, r(x A,y A)=(x acosθy Asinθ,x Asinθ+y Acosθ)r(x_A,y_A) = (x_a cos\theta - y_A sin\theta, x_A sin\theta + y_A cos\theta).

Pretpostavimo da rotiramo za kut α\alpha pa onda za kut β\beta. To je isto kao da smo odjednom rotirali za α+β\alpha + \beta. Ako usporedimo transformacije općeg vektora (x A,y A)(x_A, y_A) najprije za α\alpha pa onda za β\beta s rotacijom za α+β\alpha +\beta dobijemo da su pripadni koeficijenti jednaki, tj. cos(α+β)=cos(α)cos(β)sin(α)sin(β)cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) i sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta). To su adicione formule za sinus i kosinus.

(Matematika 4)

U terminima množenja matrica možemo pisati

(a x a y)=(cosθ sinθ sinθ cosθ)(a x a y)\left(\array{ a_x' \\ a_y' }\right) = \left(\array{ cos\theta & - sin\theta \\ sin\theta & cos\theta } \right)\left(\array{ a_x \\ a_y }\right)

gdje su a xa_x i a ya_y koordinate vektora koji iz centra rotacije ide do neke točke, a a xa_x' i a ya_y' koordinate vektora koji iz centra rotacije ide do njene slike po rotaciji. To onda vrijedi za bilo koji centar. Npr. neka je centar S(2,3)S(2,3) i želimo rotirati točku T(4,0)T(4,0) oko nje za 30 30^\circ. Tada centar rotacije T(2,0)T(2,0) ostaje na svojem mjestu i (a x,a y)=(42,03)=(2,3)(a_x,a_y) = (4-2,0-3) = (2,-3), pa rotiranjem dobivamo

(a x a y)=(2cos(30 )(3)sin(30 ) 2sin(30 )+(3)cos(30 ))=(3+3/2 133/2)=(x T2 y T3).\left(\array{ a_x' \\ a_y' }\right) = \left(\array{ 2 cos(30^\circ) - (-3) sin(30^\circ) \\ 2 sin(30^\circ) + (-3) cos(30^\circ) }\right) = \left(\array{\sqrt{3} + 3/2\\1 - 3\sqrt{3}/2}\right) = \left(\array{x_T' - 2\\y_T' - 3}\right).

Dakle, rotirana točka je T(7/2+3,433/2)T'(7/2+\sqrt{3}, 4 - 3\sqrt{3}/2).

category: zadarmat2, zadarmat4

Last revised on July 1, 2019 at 08:41:02. See the history of this page for a list of all contributions to it.