Zoran Skoda rotacija

Rotacija u ravnini oko točke $O$ je izometrija koja se dobije kao kompozicija
$s_{p_1}\circ s_{p_2}$ dviju osnih simetrija u odnosu na par pravaca $p_2$ pa onda $p_1$ koji se sijeku u jedinstvenoj točki $O$. Ukoliko su dva pravca $q_1, q_2$ paralelna, tada je kompozicija $s_{q_1}\circ s_{q_2}$ je translacija.

Neka je $O p$ neki polupravac s vrhom $O$. Rotacija ga tada šalje u neki drugi polupravac $O q$ s vrhom $O$. Kažemo da je ta rotacija rotacija oko $O$ za orijentirani kut čiji je predstavnik $\angle p O q$. Mjera i orijentacija tog kuta ne zavise od izbora polupravca $O q$ pa je on konstanta dane rotacije, koju zovemo kut rotacije. Rotacija oko $O$ za kut različit od $0$ ima $O$ kao jedinstvenu fiksnu točku, a rotacija za $0$ je identiteta.

Teorem. $2 \angle p_1 O p_2 = \angle p O q$.

Centralna simetrija kao poseban slučaj rotacije (Matematika 2)

Centralna simetrija sa središtem simetrije $O$ je rotacija oko $O$ takva da je kut rotacije $\angle p O q = \pi$ ispruženi kut. Centralna simetrija se kao preslikavanje ravnine može karakterizirati svojstvom da šalje proizvoljnu točku ravnine $A\neq O$ u jedinstvenu točku $A'$ takvu da je $O$ polovište dužine $\overline{A A'}$, a točka $O$ je jedinstvena fiksna točka tog preslikavanja.

Centralna simetrija šalje svaki pravac koji ne prolazi kroz točku $O$ u njemu paralelan pravac. To pomaže npr. da se dokaže da ako definiramo paralelogram kao četverokut kojem se dijagonale raspolavljaju tada su parovi njegovih nasuprotnih stranica međusobno paralelni.

Koordinatni opis rotacije

(Matematika 2,4)

Neka je u ravnini zadan pravokutni koordinatni sustav s ishodištem u središtu $O$ rotacije $r_\theta$ za orijentirani kut $\theta$. Rotacija je izometrija pa šalje trokute u sukladne trokute. Ako je $\vec{O A}$ orijentirana dužina s točkom u ishodištu s $A(x_A,y_A)$ tada je možemo rastaviti kao $\vec{O A} = \vec{O P} +\vec{P A}$ gdje je $P(x_A,0)$ projekcija točke $A$ na os $x$. Rotacijom dakle dobijemo $r(\vec{O P}) + r(\vec{P A}) = r(\vec{O A})$. Dakle da odredimo rotaciju od $\vec{O A}$ dosta je odrediti rotaciju vektora u smjeru osi $x$, $\vec{O P} = (x_A,0)$ i rotaciju vektora $\vec{P A} = (0,y_A)$ koji je u smjeru osi $y$. Iz trigonometrije se lako vidi da $r(x_A,O) = (x_A cos\theta, x_A sin\theta)$, $r(0, y_A) = (-y_A sin\theta, y_A cos\theta)$. Dakle, $r(x_A,y_A) = (x_a cos\theta - y_A sin\theta, x_A sin\theta + y_A cos\theta)$.

Pretpostavimo da rotiramo za kut $\alpha$ pa onda za kut $\beta$. To je isto kao da smo odjednom rotirali za $\alpha + \beta$. Ako usporedimo transformacije općeg vektora $(x_A, y_A)$ najprije za $\alpha$ pa onda za $\beta$ s rotacijom za $\alpha +\beta$ dobijemo da su pripadni koeficijenti jednaki, tj. $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$ i $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$. To su adicione formule za sinus i kosinus.

(Matematika 4)

U terminima množenja matrica možemo pisati

$$\left(\array{ a_x' \\ a_y' }\right) = \left(\array{ cos\theta & - sin\theta \\ sin\theta & cos\theta } \right)\left(\array{ a_x \\ a_y }\right)$$

gdje su $a_x$ i $a_y$ koordinate vektora koji iz centra rotacije ide do neke točke, a $a_x'$ i $a_y'$ koordinate vektora koji iz centra rotacije ide do njene slike po rotaciji. To onda vrijedi za bilo koji centar. Npr. neka je centar $S(2,3)$ i želimo rotirati točku $T(4,0)$ oko nje za $30^\circ$. Tada centar rotacije $T(2,0)$ ostaje na svojem mjestu i $(a_x,a_y) = (4-2,0-3) = (2,-3)$, pa rotiranjem dobivamo

$$\left(\array{ a_x' \\ a_y' }\right) = \left(\array{ 2 cos(30^\circ) - (-3) sin(30^\circ) \\ 2 sin(30^\circ) + (-3) cos(30^\circ) }\right) = \left(\array{\sqrt{3} + 3/2\\1 - 3\sqrt{3}/2}\right) = \left(\array{x_T' - 2\\y_T' - 3}\right).$$

Dakle, rotirana točka je $T'(7/2+\sqrt{3}, 4 - 3\sqrt{3}/2)$.

category: zadarmat2, zadarmat4