Zoran Skoda
adjungirani funktor

Kažemo da je par funktora (F:CD,U:DC)(F:C\to D,U:D\to C) par adjungiranih funktora (ili da je FF lijevo adjungiran funktoru UU ili da je UU desno adjungiran funktoru UU) i pišemo FUF\dashv U, ako je na tom paru zadana struktura adjunkcije (ili naprosto adjunkcija), koja se može definirati na nekoliko ekvivalentnih načina, a najkorisnija su ova dva:

1) Zadane su prirodne transformacije η:Id CUF\eta:Id_C\to UF (jedinica adjunkcije) i ϵ:FUId D\epsilon:FU\to Id_D (kojedinica adjunkcije) tako da vrijede dvije tzv. trokutne relacije:

  • Za svaki cOb(C)c\in Ob(C), kompozicija
FcF(η c)FUFcϵ FcFc Fc \stackrel{F(\eta_c)}\to FUFc \stackrel{\epsilon_{Fc}}\to Fc

je izomorfizam id c:ccid_c:c\to c.

  • Za svaki dOb(D)d\in Ob(D), kompozicija
Udη UdUFUdU(ϵ d)Ud Ud\stackrel{\eta_{Ud}}\to UFUd\stackrel{U(\epsilon_d)}\to Ud

je izomorfizam id d:ddid_d:d\to d

2) Za svaki cOb(C)c\in Ob(C), za svaki dOb(D)d\in Ob(D) zadana je bijekcija

ϕ c,d:Hom D(Fc,d)Hom C(c,Ud)\phi_{c,d} : Hom_D(Fc,d)\stackrel\cong\to Hom_C(c,Ud)

tako da dϕ c,dd\mapsto \phi_{c,d} i cϕ c,dc\mapsto \phi_{c,d} čine prirodne transformacije funktora (tj. (c,d)ϕ c,d(c,d)\mapsto\phi_{c,d} je biprirodna transformacija). Drugim riječima, za svaki morfizam f:ccf:c\to c' u CC i morfizam g:ddg:d\to d' u DD, dijagrami

Hom D(Fc,d) ϕ c,d Hom C(c,Ud) Ff f Hom D(Fc,d) ϕ c,d Hom C(c,Ud)\array{ Hom_D(Fc',d)&\stackrel{\phi_{c',d}}\to &Hom_C(c',Ud)\\ \downarrow -\circ Ff&&\downarrow-\circ f\\ Hom_D(Fc,d)&\stackrel{\phi_{c,d}}\to &Hom_C(c,Ud) }

i

Hom D(Fc,d) ϕ c,d Hom C(c,Ud) g Ug Hom D(Fc,d) ϕ c,d Hom C(c,Ud)\array{ Hom_D(Fc,d)&\stackrel{\phi_{c,d}}\to &Hom_C(c,Ud)\\ \downarrow g\circ- &&\downarrow Ug\circ-\\ Hom_D(Fc,d')&\stackrel{\phi_{c,d'}}\to &Hom_C(c,Ud') }

komutiraju. Ovdje su g=Hom(Fc,g):hghg\circ -=Hom(Fc,g):h\mapsto g\circ h i g=Hom(c,Ug):nUgng\circ -=Hom(c,Ug):n\mapsto Ug\circ n funktori postkompozicije s gg i UgUg i f=Hom(f,Ud):kkf-\circ f=Hom(f,Ud):k\mapsto k\circ f i Ff=Hom(Ff,d):rrFf-\circ Ff=Hom(Ff,d):r\mapsto r\circ Ff funktori pretkompozicije s ff i FfFf.

Pokažimo kako dobiti ϕ c,d\phi_{c,d} ako znamo jedinicu η\eta i kojedinicu ϵ\epsilon adjunkcije. Recept je jednostavan: ϕ c,d(Fcfd):=U(f)η c\phi_{c,d}(Fc\stackrel{f}\to d):= U(f)\circ\eta_c, tj. kompozicija

cη cUFcU(f)Ud. c\stackrel{\eta_c}\to UFc\stackrel{U(f)}\to Ud.

To je zaista bijekcija jer ima inverz ψ c,d:Hom C(c,Ud)Hom D(Fc,d)\psi_{c,d}:Hom_C(c,Ud)\to Hom_D(Fc,d) dan s ψ c,d(cgUd):=ϵ dF(g)\psi_{c,d}(c\stackrel{g}\to Ud):=\epsilon_d\circ F(g), tj. kompozicijom

FcF(g)FUdϵ dd. Fc\stackrel{F(g)}\to FUd\stackrel{\epsilon_d}\to d.

Da su biprirodne transformacije ψ\psi i ϕ\phi međusobni inverzi, slijedi kratkim računom iz trokutnih relacija.

Kažemo da funktor FF ima lijevi adjungirani funktor ako postoji funktor UU koji mu je desno adjungiran (tj. postoji funktor UU i adjunkcija FUF\dashv U). Ako je neki funktor lijevo (desno) adjungiran nekom funktoru kažemo da je lijevi (desni) adjungirani funktor. Biti lijevi adjungirani funktor je dakle isto što i imati desni adjungirani funktor. Biti lijevi ili desni adjungirani funktor važna su svojstva koja (jedno ili drugo ili oba) imaju mnogi važni funktori u matematici.

Pogledaj također adjoint functor i wikipedia:adjoint functors.

Created on December 10, 2009 at 13:29:21. See the history of this page for a list of all contributions to it.