Zoran Skoda adjungirani funktor

Kažemo da je par funktora $(F:C\to D,U:D\to C)$ par adjungiranih funktora (ili da je $F$ lijevo adjungiran funktoru $U$ ili da je $U$ desno adjungiran funktoru $U$) i pišemo $F\dashv U$, ako je na tom paru zadana struktura adjunkcije (ili naprosto adjunkcija), koja se može definirati na nekoliko ekvivalentnih načina, a najkorisnija su ova dva:

1) Zadane su prirodne transformacije $\eta:Id_C\to UF$ (jedinica adjunkcije) i $\epsilon:FU\to Id_D$ (kojedinica adjunkcije) tako da vrijede dvije tzv. trokutne relacije:

• Za svaki $c\in Ob(C)$, kompozicija

$$Fc \stackrel{F(\eta_c)}\to FUFc \stackrel{\epsilon_{Fc}}\to Fc$$

je izomorfizam $id_c:c\to c$.

• Za svaki $d\in Ob(D)$, kompozicija

$$Ud\stackrel{\eta_{Ud}}\to UFUd\stackrel{U(\epsilon_d)}\to Ud$$

je izomorfizam $id_d:d\to d$

2) Za svaki $c\in Ob(C)$, za svaki $d\in Ob(D)$ zadana je bijekcija

$$\phi_{c,d} : Hom_D(Fc,d)\stackrel\cong\to Hom_C(c,Ud)$$

tako da $d\mapsto \phi_{c,d}$ i $c\mapsto \phi_{c,d}$ čine prirodne transformacije funktora (tj. $(c,d)\mapsto\phi_{c,d}$ je biprirodna transformacija). Drugim riječima, za svaki morfizam $f:c\to c'$ u $C$ i morfizam $g:d\to d'$ u $D$, dijagrami

$$\array{ Hom_D(Fc',d)&\stackrel{\phi_{c',d}}\to &Hom_C(c',Ud)\\ \downarrow -\circ Ff&&\downarrow-\circ f\\ Hom_D(Fc,d)&\stackrel{\phi_{c,d}}\to &Hom_C(c,Ud) }$$

i

$$\array{ Hom_D(Fc,d)&\stackrel{\phi_{c,d}}\to &Hom_C(c,Ud)\\ \downarrow g\circ- &&\downarrow Ug\circ-\\ Hom_D(Fc,d')&\stackrel{\phi_{c,d'}}\to &Hom_C(c,Ud') }$$

komutiraju. Ovdje su $g\circ -=Hom(Fc,g):h\mapsto g\circ h$ i $g\circ -=Hom(c,Ug):n\mapsto Ug\circ n$ funktori postkompozicije s $g$ i $Ug$ i $-\circ f=Hom(f,Ud):k\mapsto k\circ f$ i $-\circ Ff=Hom(Ff,d):r\mapsto r\circ Ff$ funktori pretkompozicije s $f$ i $Ff$.

Pokažimo kako dobiti $\phi_{c,d}$ ako znamo jedinicu $\eta$ i kojedinicu $\epsilon$ adjunkcije. Recept je jednostavan: $\phi_{c,d}(Fc\stackrel{f}\to d):= U(f)\circ\eta_c$, tj. kompozicija

$$c\stackrel{\eta_c}\to UFc\stackrel{U(f)}\to Ud.$$

To je zaista bijekcija jer ima inverz $\psi_{c,d}:Hom_C(c,Ud)\to Hom_D(Fc,d)$ dan s $\psi_{c,d}(c\stackrel{g}\to Ud):=\epsilon_d\circ F(g)$, tj. kompozicijom

$$Fc\stackrel{F(g)}\to FUd\stackrel{\epsilon_d}\to d.$$

Da su biprirodne transformacije $\psi$ i $\phi$ međusobni inverzi, slijedi kratkim računom iz trokutnih relacija.

Kažemo da funktor $F$ ima lijevi adjungirani funktor ako postoji funktor $U$ koji mu je desno adjungiran (tj. postoji funktor $U$ i adjunkcija $F\dashv U$). Ako je neki funktor lijevo (desno) adjungiran nekom funktoru kažemo da je lijevi (desni) adjungirani funktor. Biti lijevi adjungirani funktor je dakle isto što i imati desni adjungirani funktor. Biti lijevi ili desni adjungirani funktor važna su svojstva koja (jedno ili drugo ili oba) imaju mnogi važni funktori u matematici.

Pogledaj također adjoint functor i wikipedia:adjoint functors.