Zoran Skoda
aksiomi stereometrije

Stereometrija je geometrija prostora.

Aksiomi

U planimetriji primitivni objekti su točke i pravci.

U stereometriji primitivni objekti su točke, pravci i ravnine. Uz relaciju incidencije točaka i pravaca, uvodimo i incidenciju točaka s ravninama i pravaca s ravninama (točka leži u ravnini, pravac leži u/na ravnini). Ravnina će jednim od aksioma biti određena s tri nekolinearne točke, pa je možemo gledati i kao skup svih točaka koje su incidentne s njom.

Točke i pravci koji leže u istoj ravnini zadovoljavaju aksiome planimetrije kako smo ih naveli, ali umjesto funkcije udaljenosti definirane na ravnini, mi ćemo je definirati na prostoru EE, s istim svojstvima (i kao funkciju E×EE\times E\to \mathbb{R} je možemo suziti (restringirati) na svaku ravninu MEM\subset E dobivši funkciju M×MM\times M\to \mathbb{R}.

Tražimo također dodatne aksiome

S1 Za svaku ravninu postoji točka prostora koja ne leži na njoj.

S2 Ako dvije ravnine imaju zajedničku točku onda imaju i zajednički pravac.

S3 Ako dva različita pravca imaju zajedničku točku onda postoji jedinstvena ravnina na kojoj leže ta dva pravca.

Kako je svaki od tih pravaca određen presjecištem i još jednom točkom, slijedi da svake tri nekolinearne točke određuju jedinstvenu ravninu. U aksiomu S2 ne isključujemo da ravnine mogu biti i jednake. Zapravo, presjek dviju ravnina može biti prazan (paralelne ravnine), može biti jedan zajednički pravac (koji onda zovemo presječnicom tih ravnina) i konačno može biti cijela ravnina ako su dvijepočetne ravnine jedna te ista.

Aksiom I1 koji kaže da svake dvije točke u ravnini određuju jedinstveni pravac u ravnini koji je s njima incidentan ćemo pojačati tražeći da za svake dvije različite točke prostora postoji jedinstveni pravac u prostoru kroz te dvije točke (ne samo jedinstveni pravac u danoj ravnini u kojoj su te dvije točke).

Međusobni položaji pravaca i ravnina u prostoru, paralelnost i okomitost

Dva pravca koja se u prostoru ne sijeku zovemo mimoilaznim ili mimosmjernim. Mimoilazni pravci ne moraju biti paralelni. Dva su pravca ukrštena ako imaju točno jednu zajedničku točku. Dva pravca su jednaki, ukršteni ili mimoilazni. Poseban tip mimoilazni pravaca su paralelni pravci.

Dva su pravca u prostoru paralelna ako postoji ravnina koja sadrži oba pravca i u kojoj su ta dva pravca paralelna u smislu paralelnosti u ravnini (dva su pravca u ravnini paralelni ako se podudaraju ili se ne sijeku). Paralelnost u prostoru je relacija ekvivalencije.

Teorem. Ako je pp pravac u prostoru i TT točka van pravca pp tada postoji jedinstveni pravac koji sadrži TT i paralelan je s pp.

Skica argumenta. Zaista, izaberimo bilo koju točku PP na pravcu pp. Tada pravci pp i PTPT imaju zajedničku točku PP i samo nju. Prema S3 tada postoji jedinstvena ravnina koja sadrži pravce PTPT i pp. U toj ravnini postoji točno jedna paralela pp' s pp koja prolazi kroz TT. Pretpostavimo da postoji neka paralela pp'' od pp kroz TT koja nije u toj ravnini. Po definiciji paralelnosti u prostoru, postoji neka ravnina koja sadrži pp'' i pp pa sadrži i TT i PP, dakle to mora biti ona ista ravnina određena s PTPT i pp, što je kontradikcija.

Na osnovu tog teorema možemo definirati kut između dva pravca u prostoru. Ako su pravci jednaki kut između njih je 00. Ako su ukršteni, onda je to kut između ta dva pravca kao pravca u ravnini koja je određena s ta dva pravca. Ako su p,qp,q mimoilazni pravci tada uzmimo proizvoljnu točku ApA\in p i povucimo kroz AA paralelu qq' s pravcem qq. Kut između pp i qq je po definiciji kut između pp i qq' i on je dobro definiran u smislu da ne zavisi od odabira točke AA na pp.

Dvije ravnine u prostoru su paralelne ako se podudaraju ili se ne sijeku. Primijetite da analogna definicija ne vrijedi za pravce u prostoru.

Ako je presjek pravca i ravnine jedna točka onda je zovemo probodište pravca i ravnine.

Okomitost pravca na ravninu. Pravac pp je okomit na ravninu MM u prostoru ako je okomit na svaki pravac u ravnini MM (dovoljno je promatrati pravce koji prolaze kroz probodište pp i MM, kad je definicija okomitosti obična jer po S3 svaki takav pravac u MM i pp, kao ukršteni pravci, određuju jedinstvenu ravninu u kojoj se nalaze i okomitost možemo gledati u toj ravnini).

Ako je AA točka van ravnine MM tada postoji jedinstveni pravac kroz AA koji je okomit na MM i prolazi kroz AA. Taj pravac zovemo okomicom na MM kroz AA, a probodište tog pravca i MM je ortogonalna projekcija točke AA na MM. Ortogonalna projekcija točke koja je u MM je po definiciji sama ta točka. Ortogonalno projiciranje na zadanu ravninu MM je dakle funkcija s prostora EE na ravninu MM. Ortogonalna projekcija svakog pravca koji nije okomit na MM je pravac, a ortogonalna projekcija svakog pravca koji je okomit na MM je točka, probodište tog pravca i MM.

Teorem o tri okomice. Neka je pp pravac koji siječe ravninu MM u jednoj točki. Pravac qMq\subset M je okomit na pp akko je projekcija pravca pp na MM pravac okomit na qq.

Neka je presjek pravca pp i ravnine MM jedna točka AA. Kut između pravca pp i ravnine MM u prostoru je najveći od svih (šiljastih ili pravih) kuteva između pp i qq gdje je qq pravac u MM koji prolazi kroz probodište AA pravca pp i ravnine MM. Dokazuje se da je taj maksimum dosegnut za onaj pravac qq koji je ortogonalna projekcija pravca pp na MM, tj. kad je qq presječni pravac ravnine koja sadrži pp i normalu na MM kroz točku AA s ravninom MM. Drugim riječima, za sve ravnine MM' koje sijeku MM i prolaze kroz pp, kut između MpM'\cap p i pp dostiže maksimum točno kad je ravnina MM' okomita na MM. Kut između pravca i ravnine se može promatrati (i računati) i kao komplement kuta između pravca i okomice (normale) na tu ravninu.

Okomitost dviju ravnina. Ravnina MM je okomita na ravninu NN ako postoji pravac u MM koji je okomit na ravninu NN (dakle okomit na svaki pravac u ravnini NN). To je akko MM sa svakom svojom točkom AMA\in M sadrži i njenu okomitu projekciju na NN. Može se pokazati da je relacija okomitosti ravnina simetrična, MNM\perp N akko NMN\perp M.

Mjera kuta između dviju ravnina MM i MM' koje se sijeku u zajedničkom pravcu je najveća od mjera kuteva među pravcima MNM\cap N i MNM'\cap N za sve moguće ravnine NN koje sijeku i MM i MM'. Taj najveći kut se postiže upravo kad je NN ravnina koja je okomita i na MM i na MM'. Dakle kut između dviju ravnina zatvaraju presječnice ravnina MM i MM' sa ravninom NN koja je okomita na obje ravnine.

Vidi i stranicu analitička geometrija.

category: zadarmat2, zadarmat4

Last revised on September 21, 2017 at 14:01:25. See the history of this page for a list of all contributions to it.