Zoran Skoda analitička geometrija

Analitička geometrija je pristup geometriji preko koordinatizacije prostora. Dakle, točke imaju koordinate i razni skupovi točaka opisani su jednadžbama. U modernoj analitičkoj geometriji Euklidskog prostora koriste se vektori, tako da je to zapravo geometrijski jezik linearne algebre. Na ovoj stranici obrađujemo analitičku geometriju afinih objekata (točke, pravci i ravnine) te sferu. Opće krivulje i plohe se najčešće lokalno zadaju parametarski, vidi stranicu parametrizacije u geometriji. O projekcijama u analitičkoj geometriji vidi projekcije analiticki. Primjeri zadataka i procedura su dati na stranici analitički zadaci. Vidi i Horvatićevu knjigu, glavu 6, Elementi analitički geometrije u $E^3$, pdf i, po potrebi, glavu 5 o vektorima pdf.

Pravac u ravnini

Pravac u ravnini je opisan jednim uvjetom, dakle kao skup točaka $(x,y)$ u pravokutnom koordinatnom sustavu koje zadovoljavaju implicitnu jednadžbu pravca

$$A x + B y + C = 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A,B,C\in\mathbb{R},\,\,\, A\neq 0 \, ili \, B\neq 0.$$

Ukoliko cijelu jednadžbu pomnožimo s nekim brojem $H\neq 0$ dobivamo ekvivalentnu jednadžbu $H A x + H B y + H C = 0$.

Pravci za koje je $A = 0$ su oblika $B y + C = 0$, dakle $y = - C/B$, drugim riječima $y$ je konstanta. To su horizontalni pravci. Ako je i $C = 0$ pravac je os $x$, dana s $y = 0$.

Pravci za koje je $B = 0$ su oblika $A x + C = 0$, dakle $x = - C/A$, drugim riječima $x$ je konstanta. To su vertikalni pravci. Ako je i $C = 0$ pravac je os $y$, dana s $x = 0$.

Ako je $B\neq 0$, tj. ako pravac nije vertikalan, tada implicitnu jednadžbu možemo zamijeniti ekvivalentnim uvjetom

$$y = -\frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$$

što je u obliku $y = k x + l$ gdje su $k = -A/B$ i $l = -C/B$ realni brojevi. Jednadžba $y = k x + l$ je jednadžba pravca u eksplicitnom obliku i može se koristiti samo za pravce koji nisu vertikalni (tj. paralelni osi $y$). Broj $k$ zove se koeficijent smjera pravca i jednak je tangensu kuta naklona između tog pravca i osi $x$. Naziv koeficijent smjera je apstraktan i riječi naklon i nagib (engl. slope) odgovaraju bolje, barem prema njihovoj svakodnevnoj upotrebi. Naklon je omjer pomaka u vertikalnom smjeru i pripadnog pomaka u horizontalnom smjeru, kad se krećemo po pravcu (padini). Taj tangens se dobije i kao tangens kuta naklona kod točke $P$ u bilo kojem pravokutnom trokutu s vrhovima $P(x_1,y_1)$, $R(x_2,y_1)$, $Q(x_2,y_2)$ u kojem su točke $P, Q$ na pravcu s $x_1\neq x_2$. Dakle, naklon ili koeficijent smjera je omjer

$$k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Ako je $(x,y)\neq (x_1,y_1)$ ma koja druga točka na pravcu, ona mora zadovoljavati

$$\frac{y-y_1}{x-x_1} = k,$$

dakle

$$y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x - x_1)$$

Ta formula daje stoga jednadžbu pravca ako su zadane koordinate $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ dviju različitih točaka na pravcu.

Pravac koji je okomit na zadani pravac s naklonom $k$ ima naklon jednak $-1/k$ (minus recipročna vrijednost).

Vektor $\vec{a} = (a_x, a_y)$ je uzduž pravca $p$ akko se može predstaviti kao usmjerena dužina $\vec{P Q}$ gdje su $P$ i $Q$ na pravcu $p$. Ako su $A,B\neq 0$ tada možemo uzeti npr. točke $(0,-C/B)$ i $(-C/A,0)$ pa je jedan takav vektor $(-C/A,C/B)$ ili njegov višekratnik $(-B,A)$.

Vektor $\vec{n} = (n_x,n_y)$ je okomit na pravac $A x + B y + C = 0$ ako je okomit na svaki vektor uzduž tog pravca pa tako i na $(x_2-x_1,y_2-y_1)$, dakle skalarni umnožak $n_x (x_2-x_1) + n_y (y_2 - y_1) = 0$. To vrijedi npr. za $(n_x,n_y)$ koji je višekratnik od $(A,B)$ jer $A (x_2 - x_1) + B (x_2 - x_1) = 0$ jer možemo oduzeti identitete $A x_1 + B x_1 + C = 0$ i $A x_2 + B x_2 + C$ koji vrijede jer obje točke $(x_1, y_1)$ i $(x_2,y_2)$ leže na pravcu $p$. Da je $(A,B)$ okomit na pravac $A x + B y + C = 0$ možemo vidjeti i primijetivši da je skalarni umnožak $(A,B)\cdot (-B,A) = 0$, a već smo prije ustanovili da je $(-B,A)$ vektor uzduž smjera pravca $p$. Taj isti vektor je uzduž bilo kojeg paralelnog pravca. Dakle, ako je $A x + B y + C = 0$ jednadžba pravca tada su svi njemu paralelni pravci oblika $A x + B y + C' = 0$ gdje je $C'$ neka druga konstanta, a svi njemu okomiti pravci su oblika $-B x + A y + C'' = 0$ gdje je $C''$ još neka druga konstanta. U terminima koeficijenta smjera, paralelni pravci imaju isti koeficijent smjera, a okomiti pravci imaju koeficijente smjera koji su u odnosu $k' = -1/k$.

Ponekad se koristi parametarska jednadžba pravca na ravnini. Dakle, točke pravca se napišu u bijektivnoj korespodenciji s točkama na brojevnom pravcu $\mathbb{R}$, tj. parametrima $t \in \mathbb{R}$. Neka je $\vec{r}_0 = (x_0,y_0)\in p$ neka točka na pravcu $p$ i $\vec{a} = (a_x,a_y)$ neki vektor uzduž pravca $p$. Tada se sve točke $\vec{r} = (x,y,z)$ pravca $p$ mogu na jedinstven način napisati kao vrijednosti vektorske funkcije

$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a},$$

argumenta, odnosno parametra $t\in\mathbf{R}$. Vektorsku funkciju $\vec{r} = \vec{r}(t)$ možemo zapisati u komponentama kao par skalarnih funkcija $x = x_0 + a_x t$, $y = y_0 + a_y t$ istog parametra $t$. Bilo koji od tih oblika zovemo parametrizacijom ili parametarskom jednadžbom pravca u prostoru. Ako umjesto vektora $\vec{a}$ koristimo bilo koji višekratnik dobit ćemo isti skup točaka (tj. isti pravac u drugoj parametrizaciji). Zaista ako je recimo $\vec{a}$ dva put veći, dakle $2\vec{a}$, onda neku vrijednost $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a}$ možemo zapisati kao vrijednost $\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s\cdot 2\vec{a}$ za $s = t/2$. Vidi stranicu primjeri parametrizacije pravca.

Kut između dva pravca se može dobiti npr. kao kut nekih vektora koji su uzduž tih pravaca. Ako su ti vektori $\vec{a}$ i $\vec{b}$ tada je (vidi skalarni umnožak)

$$cos \angle(\vec{a},\vec{b}) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$$

Ravnina u prostoru

Pravac je okomit na ravninu u prostoru po definiciji ako je okomit na svaki pravac u toj ravnini. Kažemo i vektor okomice ili vektor normale. Vektor u prostoru je okomit na ravninu ako je okomit na svaki vektor u toj ravnini. Vektor okomit na ravninu u 3-dimenzionalnom prostoru je jedinstvenog smjera, tj. može se razlikovati veličinom i orijentacijom ali ne i smislom. Svi takvi vektori okomice ili normale se razlikuju međusobno dakle množenjem brojem $\lambda \neq 0$. Neka je u komponentama jedan takav vektor normale $\vec{n} = A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}\neq 0$. Svaki vektor u ravnini ima predstavnika $\vec{P Q}$ gdje su $P(x_P,y_P,z_P)$ i $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ dvije točke u ravnini. Dakle, komponente tog vektora su

$$\vec{P Q} = (x_Q-x_P)\vec{i} + (y_Q-y_P)\vec{j} + (z_Q-z_P)\vec{k}$$

Uvjet okomitosti je da je kut $\angle(\vec{n},\vec{P Q}) = \pm\pi/2$, odnosno da je skalarni umnožak $\vec{n}\cdot\vec{P Q} = \|\vec{n}\| \|\vec{P Q}\| cos\angle(\vec{n},\vec{P Q}) = 0$. Skalarni umnožak možemo izračunati preko komponenti, dakle

$$A(x_Q-x_P)+B(y_Q-y_P)+ C(z_Q-z_P) = 0.$$

Neka sad točka $P$ bude fiksirana, a točka $Q$ ma koja točka na ravnini. Dakle, njene koordinate ćemo naprosto pisati $(x,y,z)$. Tada možemo tu jednadžbu prepisati kao

$$A x + B y + C z + (-A \cdot x_P - B\cdot x_P - C\cdot x_P) = 0.$$

Označimo sad broj $D := -A \cdot x_P - B\cdot x_P - C\cdot x_P$. Zaključujemo da je svaka ravnina u prostoru dana skupom točaka $(x,y,z)$ prostora koje zadovoljavaju jednadžbu

$$A x + B y + C z + D = 0,$$

gdje su $A,B,C,D\in\mathbb{R}$ konstante takve da je barem jedna od $A,B,C$ različita od $0$ (jer je vektor okommice takav). Ako je $B = C = 0$ to je jednadžba ravnine koja je okomita na os $x$, odnosno paralelna s $y z$-ravninom. Ravnina $y z$ dana je jednadžbom $x = 0$. Slično, $x y$ ravnina je dana jednadžbom $z = 0$ i $x z$ ravnina jednadžbom $y = 0$. Paralelne ravnine imaju trojku koeficijenata $(A,B,C)$ proporcionalne. Vektor $(A,B,C)$ je vektor normale, tj. vektor okomit na ravninu danu jednadžbom $A x + B y + C z + D = 0$. Paralelne ravnine imaju vektore normale koji imaju isti smjer tj. jedan je višekratnik drugog.

Kako ravnina ima dvije dimenzije, možemo je parametrizirati s dva parametra. Neka je $\vec{r}_0$ neka točka prostora i neka su $\vec{a},\vec{b}$ dva vektora u toj ravnini koja nemaju isti smjer. Tada je svaka točka ravnine oblika

$$\vec{r} = \vec{r}_0 + \lambda \vec{a} + \mu \vec{b},$$

odnosno u komponentama

$$x = x_0 + \lambda a_x + \mu b_x, \,\,\,y = y_0 +\lambda a_y + \mu b_y, \,\,\,z = z_0 +\lambda a_z + \mu b_z,$$

gdje su $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$ parovi realnih brojeva. Dosta tipične oznake za parametre uz $\lambda,\mu$ su i $s,t$.

Vektor normale na ravninu je okomit na svaki ne-nul vektor u toj ravnini, tj. skalarni umnožak im je jednak nuli. U prostoru postoji jedinstveni vektor normale, do na množenje skalarom različitim od nule. Kao vektor normale možemo uzeti vektorski umnožak $\vec{a}\times\vec{b}$ proizvoljna dva neproporcionalna vektora u ravnini.

Pravac u prostoru

Jedan način da se zada pravac u 3-dimenzionalnom prostoru je kao presjek dviju ravnine koje nisu međusobno paralelne. Sjetimo se aksioma stereometrije da ako dva pravca u 3d prostoru imaju zajedničku točku tada imaju i zajednički pravac, a po jednom drugom aksiomu ako imaju još koju točku van toga pravca tada su te dvije ravnine jednake. Dakle jedine mogućnosti su da se dvije ravnine ne sijeku, da su jednake ili da im je presjek točno jedan pravac (prva dva slučaja spadaju pod paralelnost ravnina).

Dakle, pravac je zadan implicitnim sustavom

$$A x + B y + C z + D = 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, A' x + B' y + C' z + D' = 0,$$

gdje vektor $(A,B,C)$ i vektor $(A',B',C')$ nisu međusobno proporcionalni i nisu nul-vektori.

Slično kao u slučaju ravnine, ponekad se koristi parametarska jednadžba pravca u prostoru. Dakle, točke pravca se napišu u bijektivnoj korespodenciji s točkama na brojevnom pravcu $\mathbb{R}$, tj. parametrima $t \in \mathbb{R}$. Neka je $\vec{r}_0 = (x_0,y_0,z_0)\in p$ neka točka na pravcu $p$ i $\vec{a} = (a_x,a_y,a_z)$ neki vektor uzduž pravca $p$. Tada se sve točke $\vec{r} = (x,y)$ pravca $p$ mogu na jedinstven način napisati kao vrijednosti jedne vektorske funkcije

$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a},$$

tj. kao trojku skalarnih funkcija

$$x = x_0 + a_x t,\,\,\,\,\,\,\,y = y_0 + a_y t,\,\,\,\,\,\,\,z = z_0 + a_z t.$$

Kako $\vec{r}$ sad zavisi od $t$, nekad pišemo $\vec{r}(t)$, pa je $\vec{r}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3, t\mapsto \vec{r}(t)$ injekcija koju zovemo “parametrizacija pravca” (a izraze zovemo “parametarska jednadžba pravca”), a čija slika je sam pravac. Ako umjesto vektora $\vec{a}$ koristimo bilo koji višekratnik dobit ćemo isti skup točaka. Zaista ako je recimo $\vec{a}$ dva put veći, dakle $2\vec{a}$, onda neku vrijednost $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a}$ možemo zapisati kao vrijednost $\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s\cdot 2\vec{a}$ za $s = t/2$. Umjesto točke $\vec{r}_0$ možemo uzeti neku drugu točku na pravcu. Neka su $\vec{r}_0$ i $\vec{r}_1$ dvije točke na pravcu, tada je vektor $\vec{r}_1-\vec{r}_0$ uzduž pravca. Dakle, ako je jedna jednadžba $\vec{r} = \vec{r}_0 + t \vec{a}$, tada za neki $t$ vrijedi jednakost $\vec{r}_1 = \vec{r}_0 + t\vec{a}$, tj. $\vec{r}_1 - \vec{r}_0$ je proporcionalno vektoru $\vec{a}$.

Ako je $a_x,a_y,a_z\neq 0$ tada možemo $t$ dobiti iz svake od gornje tri jednadžbe (kao funkcije od $x$, $y$ odnosno $z$) i kako je taj $t$ isti za svaku fiksiranu točku $(x,y,z)$ na pravcu to za svaku točku $(x,y,z)$ vrijedi jednadžba

$$\frac{x - x_0}{a_x} = \frac{y - y_0}{a_y} = \frac{z - z_0}{a_z}.$$

O normalnoj i parametarskoj jednadžbi pravca pogledajte i moj video yt:0u3EYjsraYI

O parametarskoj jednadžbi pravca možete pogledati i kratki video M. Kosora “Zadavanje pravca pomoću vektora. Primjer.” na https://www.youtube.com/watch?v=r5yw9y-JJ5M

O udaljenosti točke od pravca u prostoru možete pogledati video M. Kosora “Udaljenost točke i pravca” na https://www.youtube.com/watch?v=gFvo82jINqk.

Udaljenost dvaju mimoilaznih pravaca

Pravci u prostoru su mimoilazni ako se ne sijeku. Ako su $\vec{r}_1=(x_1,y_1,z_1),\vec{r}_2 = (x_2,y_2,z_2)$ točke redom na mimoilaznim pravcima $p,q$ i dani neki nenul vektori $\vec{a},\vec{b}$ redom uzduž pravaca $p$ i $q$, Pretpostavimo također da $p$ i $q$ nisu paralelni, tj. $\vec{a}$ i $\vec{b}$ nisu proporcionalni vektori. Tada vektor $\vec{a},\vec{b}$, $(\vec{r}_2-\vec{r}_1)$ možemo pričvrstiti u točku $\vec{r}_1$ na pravcu $p$ i time smo dobili tri nekomplanarna vektora koji razapinju paralelepiped u prostoru. Ako $\vec{a},\vec{b}$ razapinju bazu tog paralelepipeda kao prizme, tada je volumen tog paralelepipeda površina te baze pomnožena s visinom. Lako se uvjerimo da je ta visina upravo duljina spojnice neke točke na pravcu $p$ s nekom točkom na $q$ koja je okomita na pravce $p$ i $q$ u tim točkama (jer je okomita na ravninu razapetu s $\vec{a},\vec{b}$, a duljina te spojnice je upravo najkraća udaljenost između neke točke na $p$ i neke točke na $q$, dakle udaljenost od pravca $p$ do pravca $q$). Volumen $V$ računamo kao apsolutnu vrijednost mješovitog produkta $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{r}_2-\vec{r}_1)$, a površinu baze $B$ (paralelogram razapet na $\vec{a},\vec{b}$) kao normu $\|\vec{a}\times\vec{b}\|$ vektorskog umnoška $\vec{a}\times\vec{b}$. Dakle, udaljenost je

$$d = \frac{V}{B} = \frac{|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{r}_2-\vec{r}_1)|}{\|\vec{a}\times\vec{b}\|}$$

Za šire objašnjenje vidi Horvatićevu knjigu i naš video yt:reGftBYovL0 (19 min)

Kut između pravca i ravnine

Neka je $M$ ravnina u prostoru i $p$ pravac koji siječe tu ravninu. Kut između $p$ i $M$ je najmanji od svih (šiljastih ili pravih) kuteva između $p$ i $q$ gdje je $q$ pravac u $M$ koji prolazi kroz sjecište $A$ pravca $p$ i ravnine $M$. Dokazuje se da je taj maksimum dosegnut kad je $q$ ortogonalna projekcija pravca $p$ na $M$, tj. kad je $q$ presječni pravac ravnine koja sadrži $p$ i normalu na $M$ kroz točku $A$ s ravninom $M$. Drugim riječima za sve ravnine $M'$ koje sijeku $M$ i prolaze kroz $p$ kut između $M'\cap p$ i $p$ dostiže maksimum točno kad je ravnina $M'$ okomita na $M$ (ravnina u 3d prostor je okomita na zadanu ravninu ako sadrži barem jedan pravac okomit na tu ravninu; tada u svakoj točki presjeka sa zadanom ravninom ta ravnina sadrži točno jednu okomicu na na zadanu ravninu kroz tu točku).

Kako se kut računa u ravnini koja uz $p$ sadrži i normalu, možemo primijetiti u toj ravnini da je komplement kuta izmedđu pravca i ravnine kut između pravca i okomice na ravninu. Dakle sinus kuta između pravca i ravnine je kosinus kuta između pravca i okomice na ravninu, a potonji se analitički dobije iz razmatranja skalarnog umnoška vektora uzduž zadanog pravca i vektora normale na ravninu.

Kružnica i sfera

Kružnica $K(S,r)$ sa središtem $S(x_S,y_S)$ s polumjerom $r\gt 0$ u ravnini $x y$ je geometrijsko mjesto točaka $(x,y)$ ravnine svih točaka čija udaljenost od središta $S$ je jednaka $r$. Kako je $r\gt 0$ to je $d(P,S) = r$ ekvivalentno jednadžbi $d^2(P,S) = r^2$, odnosno

$$(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2 = r^2.$$

Ako je središte ishodište koordinatnog sustava tada je ta jednadžba naprosto $x^2 + y^2 = r^2$. Slično tome, zatvoren krug je dan nejednadžbom $x^2 + y^2 \leq r^2$. Točke na kružnici možemo pisati i parametarski kao $x = r cos t$, $y = r sin t$ gdje je $0\leq t \lt 2\pi$ kut u radijanima (interpretiramo ga kao kut koji zatvara pozitivni polupravac osi $x$ i polupravac s vrhom u ishodištu koji prolazi kroz točku na kružnici).

Slično je sfera sa središtem $S(x_S,y_S,z_S)$ i polumjerom $r\gt 0$ u prostoru geometrijsko mjesto točaka $(x,y,z)$ čija udaljenost od $S$ je $r$, odnosno koje zadovoljavaju

$$(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2 + (z - z_S)^2 = r^2.$$

Slično je zatvorena kugla dana nejednadžbom $(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2 + (z - z_S)^2 \leq r^2$.

category: zadarmat2, zadarmat3, zadarmat4