Zoran Skoda aksiomi stereometrije

Stereometrija je geometrija prostora.

Aksiomi

U planimetriji primitivni objekti su točke i pravci.

U stereometriji primitivni objekti su točke, pravci i ravnine. Uz relaciju incidencije točaka i pravaca, uvodimo i incidenciju točaka s ravninama i pravaca s ravninama (točka leži u ravnini, pravac leži u/na ravnini). Ravnina će jednim od aksioma biti određena s tri nekolinearne točke, pa je možemo gledati i kao skup svih točaka koje su incidentne s njom.

Točke i pravci koji leže u istoj ravnini zadovoljavaju aksiome planimetrije kako smo ih naveli, ali umjesto funkcije udaljenosti definirane na ravnini, mi ćemo je definirati na prostoru $E$, s istim svojstvima (i kao funkciju $E\times E\to \mathbb{R}$ je možemo suziti (restringirati) na svaku ravninu $M\subset E$ dobivši funkciju $M\times M\to \mathbb{R}$.

Tražimo također dodatne aksiome

S1 Za svaku ravninu postoji točka prostora koja ne leži na njoj.

S2 Ako dvije ravnine imaju zajedničku točku onda imaju i zajednički pravac.

S3 Ako dva različita pravca imaju zajedničku točku onda postoji jedinstvena ravnina na kojoj leže ta dva pravca.

Kako je svaki od tih pravaca određen presjecištem i još jednom točkom, slijedi da svake tri nekolinearne točke određuju jedinstvenu ravninu. U aksiomu S2 ne isključujemo da ravnine mogu biti i jednake. Zapravo, presjek dviju ravnina može biti prazan (paralelne ravnine), može biti jedan zajednički pravac (koji onda zovemo presječnicom tih ravnina) i konačno može biti cijela ravnina ako su dvijepočetne ravnine jedna te ista.

Aksiom I1 koji kaže da svake dvije točke u ravnini određuju jedinstveni pravac u ravnini koji je s njima incidentan ćemo pojačati tražeći da za svake dvije različite točke prostora postoji jedinstveni pravac u prostoru kroz te dvije točke (ne samo jedinstveni pravac u danoj ravnini u kojoj su te dvije točke).

Međusobni položaji pravaca i ravnina u prostoru, paralelnost i okomitost

Dva pravca koja se u prostoru ne sijeku zovemo mimoilaznim ili mimosmjernim. Mimoilazni pravci ne moraju biti paralelni. Dva su pravca ukrštena ako imaju točno jednu zajedničku točku. Dva pravca su jednaki, ukršteni ili mimoilazni. Poseban tip mimoilazni pravaca su paralelni pravci.

Dva su pravca u prostoru paralelna ako postoji ravnina koja sadrži oba pravca i u kojoj su ta dva pravca paralelna u smislu paralelnosti u ravnini (dva su pravca u ravnini paralelni ako se podudaraju ili se ne sijeku). Paralelnost u prostoru je relacija ekvivalencije.

Teorem. Ako je $p$ pravac u prostoru i $T$ točka van pravca $p$ tada postoji jedinstveni pravac koji sadrži $T$ i paralelan je s $p$.

Skica argumenta. Zaista, izaberimo bilo koju točku $P$ na pravcu $p$. Tada pravci $p$ i $PT$ imaju zajedničku točku $P$ i samo nju. Prema S3 tada postoji jedinstvena ravnina koja sadrži pravce $PT$ i $p$. U toj ravnini postoji točno jedna paralela $p'$ s $p$ koja prolazi kroz $T$. Pretpostavimo da postoji neka paralela $p''$ od $p$ kroz $T$ koja nije u toj ravnini. Po definiciji paralelnosti u prostoru, postoji neka ravnina koja sadrži $p''$ i $p$ pa sadrži i $T$ i $P$, dakle to mora biti ona ista ravnina određena s $PT$ i $p$, što je kontradikcija.

Na osnovu tog teorema možemo definirati kut između dva pravca u prostoru. Ako su pravci jednaki kut između njih je $0$. Ako su ukršteni, onda je to kut između ta dva pravca kao pravca u ravnini koja je određena s ta dva pravca. Ako su $p,q$ mimoilazni pravci tada uzmimo proizvoljnu točku $A\in p$ i povucimo kroz $A$ paralelu $q'$ s pravcem $q$. Kut između $p$ i $q$ je po definiciji kut između $p$ i $q'$ i on je dobro definiran u smislu da ne zavisi od odabira točke $A$ na $p$.

Dvije ravnine u prostoru su paralelne ako se podudaraju ili se ne sijeku. Primijetite da analogna definicija ne vrijedi za pravce u prostoru.

Ako je presjek pravca i ravnine jedna točka onda je zovemo probodište pravca i ravnine.

Okomitost pravca na ravninu. Pravac $p$ je okomit na ravninu $M$ u prostoru ako je okomit na svaki pravac u ravnini $M$ (dovoljno je promatrati pravce koji prolaze kroz probodište $p$ i $M$, kad je definicija okomitosti obična jer po S3 svaki takav pravac u $M$ i $p$, kao ukršteni pravci, određuju jedinstvenu ravninu u kojoj se nalaze i okomitost možemo gledati u toj ravnini).

Ako je $A$ točka van ravnine $M$ tada postoji jedinstveni pravac kroz $A$ koji je okomit na $M$ i prolazi kroz $A$. Taj pravac zovemo okomicom na $M$ kroz $A$, a probodište tog pravca i $M$ je ortogonalna projekcija točke $A$ na $M$. Ortogonalna projekcija točke koja je u $M$ je po definiciji sama ta točka. Ortogonalno projiciranje na zadanu ravninu $M$ je dakle funkcija s prostora $E$ na ravninu $M$. Ortogonalna projekcija svakog pravca koji nije okomit na $M$ je pravac, a ortogonalna projekcija svakog pravca koji je okomit na $M$ je točka, probodište tog pravca i $M$.

Teorem o tri okomice. Neka je $p$ pravac koji siječe ravninu $M$ u jednoj točki. Pravac $q\subset M$ je okomit na $p$ akko je projekcija pravca $p$ na $M$ pravac okomit na $q$.

Neka je presjek pravca $p$ i ravnine $M$ jedna točka $A$. Kut između pravca $p$ i ravnine $M$ u prostoru je najveći od svih (šiljastih ili pravih) kuteva između $p$ i $q$ gdje je $q$ pravac u $M$ koji prolazi kroz probodište $A$ pravca $p$ i ravnine $M$. Dokazuje se da je taj maksimum dosegnut za onaj pravac $q$ koji je ortogonalna projekcija pravca $p$ na $M$, tj. kad je $q$ presječni pravac ravnine koja sadrži $p$ i normalu na $M$ kroz točku $A$ s ravninom $M$. Drugim riječima, za sve ravnine $M'$ koje sijeku $M$ i prolaze kroz $p$, kut između $M'\cap p$ i $p$ dostiže maksimum točno kad je ravnina $M'$ okomita na $M$. Kut između pravca i ravnine se može promatrati (i računati) i kao komplement kuta između pravca i okomice (normale) na tu ravninu.

Okomitost dviju ravnina. Ravnina $M$ je okomita na ravninu $N$ ako postoji pravac u $M$ koji je okomit na ravninu $N$ (dakle okomit na svaki pravac u ravnini $N$). To je akko $M$ sa svakom svojom točkom $A\in M$ sadrži i njenu okomitu projekciju na $N$. Može se pokazati da je relacija okomitosti ravnina simetrična, $M\perp N$ akko $N\perp M$.

Mjera kuta između dviju ravnina $M$ i $M'$ koje se sijeku u zajedničkom pravcu je najveća od mjera kuteva među pravcima $M\cap N$ i $M'\cap N$ za sve moguće ravnine $N$ koje sijeku i $M$ i $M'$. Taj najveći kut se postiže upravo kad je $N$ ravnina koja je okomita i na $M$ i na $M'$. Dakle kut između dviju ravnina zatvaraju presječnice ravnina $M$ i $M'$ sa ravninom $N$ koja je okomita na obje ravnine.

Vidi i stranicu analitička geometrija.

category: zadarmat2, zadarmat3, zadarmat4