Zoran Skoda analitički zadaci

Primjeri analitičkih zadataka. Za neke od njih, dane su i upute (skice rješenja).

$0.$ Nađi kosinus kuta između vektora $\vec{a}(1,2,2)$ i $\vec{b}(2,2,1)$.

Uputa: skalarni umnožak $\vec{a}\cdot\vec{b} = \|a\| \|b\| cos\angle(\vec{a},\vec{b})$. Kako se skalarni umnožak i norme $\|a\| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$ određuju direktno iz komponenti vektora (npr. $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z c_z$) i oba vektora nisu nulvektori ta jednakost određuje kosinus kuta.

$1.$ Nađi implicitnu jednadžbu ravnine $A x + B y + C z + D = 0$ koja sadrži točke $P(1,2,1)$, $Q(3,-8,1)$ i $R(0,4,1)$.

Uputa: pomoću tih točaka napiši dva nekolinearna vektora u toj ravnini, npr. $\vec{P Q}$ i $\vec{P R}$. Implicitnu jednadžbu možeš dobiti iz izraza za vektorski produkt ta dva vektora (vektorski produkt je u smjeru okomice na ravninu, pa iz uvjeta okomitosti možemo pročitati koeficijente $A$,$B$,$C$; za koeficijent $D$ koristimo uvjet da je jedna od tih točaka, recimo $P$ u ravnini pa zadovoljava jednadžbu ravnine). Vidi analitička geometrija. Rješenje je $2 x+ y + 3 z - 1 = 0$ (ili bilo koja implicitna jednadžba koja se dobije iz nje množenjem svih koeficijenata jednim te istim brojem koji nije $0$).

Alternativno, $\vec{P Q}, \vec{P R}, \vec{P T}$ gdje je $T$ proizvoljna točka su komplanarni pa je implicitna jednadžba dana uvjetom komplanarnosti preko determinante, ali taj pristup nismo radili.

$2.$ Neka je trokut u ravnini dan vrhovima $A(1,1), B(2,0), C(3,3)$ kolika je površina tog trokuta i kolika je visina na stranicu $a$ ?

Uputa: vektori $\vec{A B} = (1,-1)$ i $\vec{A C} = (2,2)$ razapinju paralelogram čija površina je duplo veća od površine trokuta $A B C$. Vektorski umnožak ta dva vektora $\vec{A B}\times\vec{A C}$ je vektor čija duljina $\|\vec{A B}\times\vec{A C}\|$ je jednaka površini paralelograma kojem su tri susjedna vrha $C A B$ (i čiji smjer je okomit na ravninu $x y$). Visina $v_a$ trokuta na stranicu $a$ se dobije iz te površine trokuta i pripadne stranice, koristeći $P = a v_a/2$.

$3.$ Za trokut u zadatku 2 nađi koordinate težišta.

Uputa: svaka koordinata težišta je jedna trećina zbroja koordinata vrhova. To smo izveli na satu. Alternativno, ako to ne znate, možete naći polovište $P$ stranice $a = \overline{B C}$ i težišnicu $t_a$ gledajte kao vektor $\vec{A P}$. Tada je po teoremu o težišnicama trokuta težište na $2/3$ težišnice gledajući od vrha $A$, znači $T = A + \frac{2}{3}\vec{A P}$.

$4.$ Dane su točke ravnine $A(2,3)$ i $B(3,5)$ i centar $\mathcal{O}(1,1)$ homotetije $h_{\mathcal{O},\lambda}$ s konstantom homotetije $\lambda = -2$. Nađi točke $A' = h_{\mathcal{O},-2}(A)$ i $B' = h_{\mathcal{O},-2}(A)$ u koje homotetija preslikava točke $A$ i $B$. napišite kao vektor od suprotnog vrha do tog polovišta. Uputa: Kod homotetije uvijek vrijedi $\vec{O h_{\mathcal{O},\lambda}(A)} = \lambda\vec{O A}$.

$5.$ a) Nađi jednadžbu simetrale dužine $\overline{C D}$ gdje su $C(0,1)$ i $D(2,3)$.

Uputa: Simetrala prolazi kroz polovište $P(1,2)$ i okomita je na dužinu, pa je njen koeficijent smjera $-1/k$ gdje je $k = \frac{3-1}{2-0} = 1$ koeficijent smjera dužine. Dobijamo $y = - x + l$ i kako $(1,2)$ zadovoljava, to je $2 = -1 +l$ tj. $l = 3$. Alternativno, možemo gledati implicitnu jednadžbu pravca. Kako je normala $\vec{C D} = (2,2)$ to je implicitna jednadžba oblika $2 x + 2 y + c = 0$, a $P(1,2)$ je na njoj, pa $2\cdot 1 + 2\cdot 2 + c = 0$, dakle $c = -6$ i implicitna jednadžba $2 x + 2 y - 6 = 0$ ili ma koja ekvivalentna (npr. ako podijelimo s $2$ dobijemo $x + y - 3 = 0$, što je u skladu s ekplicitnom jednadžbom $y = -x + 3$.

b) (jednadžba zrcalno-simetrijske ravnine za dvije zadane točke u prostoru) Nađi ravninu takvu da je zrcaljenje u odnosu na nju izometrija koja čuva ravninu, a zamjenjuje zadane točke $C(1,0,2)$ i $D(2,2,3)$ (ta ravnina prostorni je analogon simetrale dužine, tj. geometrijsko je mjesto svih točaka prostora koje su jednako udaljene od $C$ i $D$).

Uputa: Polovište je $P(3/2,1,5/2)$, a okomica (normala) $\vec{n}$ na ravninu je (proporcionalna s $\vec{C D} = (2-1,2-0,3-2) = (1,2,1)$. Dakle, jednadžba zrcalno-simetrijske ravnine tih točaka je $x - 2y + z + d = 0$ i, kako je $P$ u ravnini to je $3/2-2\cdot 1 + 5/2 + d = 0$ iz čega dobijamo $d = -2$.

$6.$ Neka je $A B C D$ pravilan tetraedar u prostoru, dakle $\triangle{A B C}$ je baza koja je jednakostraničan trokut, a svih $6$ bridova je jednako $a = 1 cm$. Običnom geometrijom bez koordinata nađi površinu baze, visinu tetraedra $h$ i volumen tetraedra. Koliki je kut između baze tetraedra i jednog od bridova koji ne pripada bazi ?

Uputa: Visina $v$ u stranici jednakostraničnog trokuta dobije se Pitagorinim teoremom i pomaže da se nađe površina baze. Za visinu koristi presjek u prostoru koji je određen ravninom u kojoj su visina na jedan od baznih bridova iz vrha $D$ i visina na bazu $A B C$. Te dvije visine su kateta i hipotenuza u jednom pravokutnom trokutu, a nožište visine na $A B C$ je u težištu baze. Tako dobijemo visinu, a volumen tetraedra je jedna trećina baza puta visina. Sad kad znamo volumen usporedimo ga s mješovitim produktom tri vektora bridova iz vrha $A$, vetorski umnožak daje površinu baze, a brid puta kosinus kuta s okomicom, što je sinus kuta sa baznom ravninom daje visinu.

$7.$ Pravac $p$ u prostoru je dan kanonskim jednadžbama

$$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = z - 2.$$

a) Nađi kanonske jednadžbe pravca $q$ koji prolazi kroz ishodište $(0,0,0)$, a paralelan je pravcu $p$.

Uputa: $(0,0,0)$ mora zadovoljavati jednadžbu pravca $q$. Ako su pravci paralelni onda im je u implicitnoj jednadžbi različita samo konstanta pri istim ostalim koeficijentima. Slično, u kanonskom obliku, možemo ostaviti sve isto samo su pomaci $-1,1,-2$ zamijenjeni nekim drugim pomacima (zapravo, pomacima $0,0,0$). Rješenje je dakle $\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = z$.

b) Nađi jednadžbu ravnine $M$ koja je okomita na pravac $p$, a prolazi točkom $P(7,6,2)$.

Uputa: Zgodno je najprije pretvoriti jednadžbu pravca u parametrizaciju. U gornjoj jednadžbi pravca veličinu sa svaka strane jednakosti nazovemo vrijednošću $t = \frac{x-1}{2}$, pa dobijemo parametrizaciju $x = 1 + 2t$, $y = -1+ 2t$ i $z = 2+t$, odnosno u vektorskom zapisu, $\vec{r}(t)=(1,-1,2)+(2,2,1)\cdot t$. Dakle, $\vec{a} = (2,2,1)$ je neki vektor uzduž pravca $p$, dakle ujedno i vektor normale na ravninu. Njegove komponente daju prva tri koeficijenta u implicitnoj jednadžbi ma koje ravnine koja je okomita na taj pravac. Implicitna jednadžba je dakle (do na proporcionalnost) oblika $2 x + 2 y + z + D = 0$, a konstantu $D$ ćemo odrediti iz uvjeta da točka $P(7,6,2)$ leži na ravnini $M$, tj. njene koordinate zadovoljavaju jednadžbu ravnine $M$. Uvrštavajući, izražavamo taj uvjet jednadžbom $2\cdot 7 + 2\cdot 6 + 2 + D = 0$ koja dakle određuje $D=-28$. Jednadžba ravnine $M$ je stoga $2 x + 2 y + z - 28 = 0$ (ili bilo koja njoj proporcionalna, npr. $x + y + z/2 - 14 = 0$).

$8.$ Kocka stranice $1$ ima kao donju bazu kvadrat $A B C D$ i kao gornju bazu kvadrat $A' B' C' D'$. Nađi kut između

a) dijagonale $B A'$ kvadrata i ravnine $B C D'$.

b) dijagonale $B A'$ kvadrata i dijagonale kocke $A C'$.

Uputa: rješenje ne zavisi o pravokutnom sustavu koordinata pa izaberimo da je $A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A'(0,0,1)$ itd. Nacrtaj taj izbor radi zornosti. Tada lako nađemo vektor od $B$ do $A'$ i vektore $\vec{B C}$, $\vec{B D'}$ koji razapinju ravninu $B C D'$. Kut računamo kako je objašnjeno na stranici analitička geometrija korištenjem mješovitog umnoška vektora. Dio b) je lakši jer se koristi skalarni umnožak.

$9.$ Nađi točke presjeka sfere $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ i pravca koji je dan parametarskom jednadžbom

$$\vec{r} = (0,1,1) + t (1/2,1/2,1/2),\,\,tj. (x,y,z) = (t/2,1+t/2,1+t/2).$$

Nađi oba probodišta pravca kroz sferu.

Uputa: Probodišta su u presjeku pa zadovoljavaju i jednadžbu sfere i pravca. Dakle, $x = t/2$, $y = 1 + t/2$ i $z = 1 + t/2$. Supstituirajte u jednadžbu sfere i dobijete $t$, iz čega onda dobijete $x,y,z$. Kako je jednadžba kvadratna možete imati dva rješenja (osim ako je diskriminanta $0$). Kod negativne diskriminante ne bi bilo realnih rješenja, dakle tada pravac ne bi sijekao sferu. o $10.$ Ako su $A(1,1), C(-2,-1)$ nađi $B$ i $C$ tako da je $A B C D$ kvadrat.

Oprez! Ako zamijenimo vrhove $B$ i $D$ dobit ćemo isti kvadrat.

Uputa: dijagonale kvadrata se raspolavljaju i pod pravim su kutem. Dakle nađi polovište $P$ od $\overline{A C}$, pa onda rotiraj $\vec{P C}$ za $\pm\pi/2$ i translatiraj $P$ za dobiveni vektor. (ili nađi okomit pravac pa na njemu točke koje su udaljene od polovišta koliko i točka $C$, ali to je dosta više posla). Rotacija vektora $(x,y)$ za $\pm\pi/2$ daje $\pm(-y,x)$ jer je $cos\pi/2 = 0$ i $sin\pi/2 = 1$.

$11.$ Neka su dane točke $A(2,1), B(3,1)$. Rotiraj točku $B$ oko točke $A$ za $\pi/6$ radijana u pozitivnom smjeru (protiv kazaljke na satu). Koje su nove koordinate točke $B$ nakon rotiranja.

Uputa. $sin(\pi/6) = 1/2$, $cos(\pi/6) = \sqrt{3}/{2}$. Za rotaciju vektora $a_x \vec{i} + a_y \vec{j}$ koji je pričvršćen u centar rotacije za kut $\alpha$ vrijedi da za rotirani vektor vrijedi $a_x' = a_x cos \alpha - a_y sin \alpha$, $a_y' = a_x sin\alpha + a_y cos \alpha$. Ovdje je centar $A$ pa rotiramo vektor $\vec{A B}$ i dobijamo vektor $\vec{A B'}$. Dok izračunamo taj vektor, dobijemo $B' = \mathrm{transl}_{\vec{A B'}}(A) = A + \vec{A B'}$, kao i obično.

$12.$ Kut između stranica $a = 2$ i $b = 3$ u trokutu je $\gamma=30^\circ$ (dakle $\pi/6$ radijana). Koliko je dugačka treća stranica ?

Uputa. Prvi način je direktna primjena kosinusovog poučka
$a^2 + b^2 - 2 a b cos\gamma = c^2$.
Drugi način je uvođenjem koordinatnog sustava. Postavimo vrh $C$ u ishodište, stranicu $b$ položimo na os $x$ (dakle $A$ je $(2,0)$), a stranica $a$ će tada biti od ishodišta do točke $B(3 cos\gamma, 3 sin\gamma)$. Dakle stranica $c$ je udaljenost od $A$ do $B$ što se izračuna iz koordinata.

$13.$ Ako su tri susjedna vrha paralelograma u prostoru redom $A(2,0,3)$, $B(4,3,4)$, $C(5,3,7)$ koje su koordinate središta paralelograma $O$ i koje su koordinate 4. vrha paralelograma $D$ ?

Uputa. Ako simbolički označimo translaciju za vektor $\vec{a}$ s $trans_{\vec{a}}$, tada je $D = trans_{\vec{A D}}(A)$ što nekad neformalnije pišemo $D = A + \vec{A D}$. Prema definiciji ekvivalencije usmjerenih dužina pravilom paralelograma,

$$\vec{A D} = \vec{B C} = (5-4,3-3,7-4) = (1,0,3).$$

Dakle, $D = trans_{(1,0,3})(2,0,3) = (3,0,6)$. Središte paralelograma je polovište dijagonale $\overline{A C}$ dakle radijus vektor polovišta je $\vec{r}_0 = \frac{1}{2}(\vec{r}_A + \vec{r}_C) = (7/2,3/2,5)$.

Alternativno smo mogli prvo odrediti $O$ i dobiti $D = B + 2\vec{B O}$.

$14.$ (Simetralna ravnina) Nađi implicitnu jednadžbu simetralne ravnine $M$ točaka $A(1,2,0)$ i $B(2,1,4)$. Ta ravnina je po definiciji geometrijsko mjesto točaka prostora koje su jednako udaljene od $A$ i $B$; zrcaljenje u odnosu na tu ravninu je izometrija i involucija koja zamjenjuje $A$ i $B$.

Rješenje. Polovište $P$ dužine $\overline{A B}$ ima koordinate $P(3/2,3/2,2)$. Vektor $\vec{A B} = (1,-1,4)$ je okomit na ravninu $M$ zrcaljenja $A$ u $B$ i polovište $P$ pripada toj ravnini. Dakle, $\vec{A B}$ je okomit na svaki vektor u ravnini $M$, pa tako i na $\vec{P Q} = (x-3/2,y-3/2,z-2)$ gdje je $Q(x,y,z)$ ma koja druga točka. Dakle, skalarni umnožak $\vec{A B}\cdot\vec{P Q} = 0$ iščezava (to je standardni način dobivanja implicitne jednadžbe). U našem slučaju,

$$(1,-1,4)\cdot(x-3/2,y-3/2,z-2) = x-3/2-y+3/2+4 z -8,$$

Dakle, implicitna jednadžba simetralne ravnine $M$ je

$$x-y+4z-8 = 0.$$

category: zadarmat3, zadarmat4