Zoran Skoda
cijeli broj

Prirodni brojevi, nula i negativne kopije prirodnih

Skup cijelih brojeva \mathbb{Z} po definiciji ima kao elemente sve prirodne brojeve (koje zovemo pozitivnim cijelim brojevima), poseban element koji zovemo 00 (nula) i negativne kopije prirodnih brojeva, tj. simbole oblka n-n gdje je nn prirodni broj. Dakle ={0}\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \{0\} \cup -\mathbb{N} gdje je ={1,2,3,}-\mathbb{N} = \{ -1, -2, -3,\ldots\}. Takvo označavanje dakle dolazi s bijekcijom prirodnih brojeva na njihove negativne kopije i obratno. Pozitivna kopija bilo negativnog bilo pozitivnog broja zove se njegova apsolutna vrijednost i označava s |k||k|, a apsolutna vrijednost nule je nula. Dakle uzimanje apsolutne vrijednost je funkcija ||:|\,\,|:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}. Ako je broj pozitivan kažemo da je njegov predznak ++ (plus) ili pozitivan, a ako je broj negativan kažemo da je njegov predznak - (minus) ili negativan. Za nulu predznak nije definiran. Apsolutnu vrijednost negativnog broja ponekad zovemo njegovom negativnom vrijednošću (ili je zovemo suprotni element od negativnog broja), tj. kažemo da je negativna vrijednost negativnog broja pozitivan broj, pišemo i (n)=n-(-n) = n za nn\in \mathbb{N}.

Potreba za cijelim brojevima je višestruka. Osnovni problem s prirodnim brojevima je što ne možemo oduzeti svaka dva prirodna broja, naime možemo jedino oduzeti manji broj od većeg. Tu je i intucija negativnog broja kao duga, kao nečeg što moramo u konačnosti oduzeti od onoga što imamo, a taj dug može biti i veći od onog što imamo, pa u konačnici ostajemo u dugu. Dodavanje duga u razmatranje je kao oduzimanje iste vrijednosti u njenoj apsolutnoj količini. Dodavanjem nule u promatranje možemo oduzeti i dva jednaka cijela broja, aa=0a - a = 0 ali još uvijek ne možemo oduzimati veći prirodni broj od manjeg.

Dakle, prirodne brojeve zovemo pozitivnim cijelim brojevima, a pripadne negativne simbole negativnim cijelim brojevima. Tada uvodimo zbrajanje po slučajevima: pozitivne brojeve zbrajamo kao prirodne, zbroj negativnih brojeva je negativan broj čija apsolutna vrijednost je zbroj apsolutnih vrijednosti pribrojnika, zbroj negativnog i pozitivnog broja je razlika njihovih apsolutnih vrijednosti (ako su različite, od veće apsolutne vrijednosti oduzeti manju kao prirodne brojeve) a koja, u slučaju da nije 00, dolazi s predznakom onog pribrojnika čija je apsolutna vrijednost veća. Konačno svaki broj zbrojen s nulom je taj isti broj. U svim tim definicijama redoslijed pribrojnika nije važan. U skupu cijelih brojeva razlika uvijek postoji, tj. jednadžba x+a=bx + a = b uvijek ima (jedinstveno) rješenje i to je rješenje x=b+(a)x = b + (-a). To rješenje je po definiciji razlika bab - a\in\mathbb{Z}.

Cijele brojeve množimo tako da pomnožimo pripadne apsolutne vrijednosti, a predznak (ukoliko rezultat nije nula) određujemo ovako: umnožak dvaju brojeva istog predznaka je pozitivan broj, a umnožak dvaju brojeva različitih predznaka je negativan broj.

Skup cijelih brojeva je Abelova grupa s obzirom na zbrajanje (tj. zbrajanje je komutativno, asocijativno, s neutralnim elemenom 00 i svaki element ima suprotni element). Množenje je komutativno, asocijativno i ima neutralni element 11. Množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje zdesna i slijeva. Drugim riječima, skup cijelih brojeva zajedno s operacijama ,+\cdot, + je komutativni prsten.

Na skupu cijelih brojeva uvodi se i linearni uređaj koji proširuje uređaj na skupu svih prirodnih brojeva, po kojem je 00 veća od svakog negativnog i manja od svakog pozitivnog prirodnog broja, po kojem je svaki pozitivan broj veći od svakog negativnog broja i za negativne brojeve vrijedi m<nm\lt n akko m>n-m\gt -n.

Alternativni pristup cijelim brojevima kao klasama formalnih razlika aba-b

Skup cijelih brojeva je gore uveden na način koji zovemo simetrizacija. Postoji i druga konstrukcija (“Grothendieckova konstrukcija”) u kojoj promatramo cijele brojeve kao razrede ekvivalencije formalnih razlika mnm-n prirodnih brojeva ili nule modulo relacija ekvivalencije prema kojoj mn=mnm-n = m'-n' akko m+n=m+nm+n' = m'+n. Tada definiramo zbrajanje formalnih razlika formulom (mn)+(ab)=(m+a)(n+b)(m-n) + (a-b) = (m+a) - (n+b) i množenje formalnih razlika formulom (ab)(cd)=(ac+bd)(ad+bc)(a-b)\cdot (c-d) = (a c + bd) - (a d + bc). Neutralni element za zbrajanje je razred čiji su predstavnici formalne sume oblika mmm-m gdje je m 0m\in\mathbb{N}_0. Suprotni element od cijelog broja predstavljenog formalnom razlikom aba-b je cijeli broj predstavljen formalnom razlikom bab-a. Na cijelim brojevima se tada definira uređaj pravilom da je mn>0m-n\gt 0 akko m>nm\gt n i općenitije ab<cda-b\lt c-d akko (ab)(cd)=(a+d)(b+c)<0(a-b)- (c-d) = (a+d) - (b+c)\lt 0.

category: zadarmat1, zadarmat4

Last revised on May 18, 2017 at 07:22:06. See the history of this page for a list of all contributions to it.