Zoran Skoda eksponencijalna funkcija

Neka je $a\gt 0$ pozitivan realan broj. Eksponencijalna funkcija s bazom $a$ je realna funkcija

$$x \mapsto a^x$$

čije područje definicije je cijeli skup realnih brojeva, a područje vrijednosti je skup pozitivnih realnih brojeva.

Ako je $0\lt a \lt 1$, tada je eksponencijalna funkcija strogo padajuća (tada govorimo o eksponencijalnom padu ili, u nekim primjenama, eksponencijalnom raspadu), ako je $a = 1$ tada je $a^x = 1$ za sve $x$, dakle eksponencijalna funkcija je naprosto konstanta, a za $a\gt 1$, eksponencijalna funkcija je strogo rastuća. Kad je $x$ dovoljno velik, ta funkcija raste brže nego bilo koja polinomijalna funkcija.

Posebno je zanimljiv slučaj kad je $a = e := 2.71828184590452...$ Eulerov broj, vidi wikipedia/e (mathematical constant)). Tada pišemo i

$$e^x = \exp(x).$$

Ako je $x$ neka varijabla, neka je $f$ bilo koja realna funkcija te varijable koja ima svojstvo da je prirast funkcije

$$\Delta(f)(x) = f(x+\Delta x) - f(x) = f(x') - f(x)$$

proporcionalan prirastu argumenta $\Delta(x) = x' - x$ za jako male priraste (tj. kad je $x'$ jako blizu $x$), do na zanemarivu grešku $o(\Delta(x))$ koja je zanemariva prema $\Delta(x)$ u smislu da omjer $o(\Delta(x))/\Delta(x)$ teži u nulu kad $\Delta(x)$ teži u nulu. Drugim riječima,

$$\lim_{x'\to x}\frac{f(x')-f(x)}{x'- x} = C f(x)$$

gdje je $C$ konstanta. Tada je

$$f(x) = A\exp(C x)$$

gdje je $A$ konstanta, koju je lako odrediti kao $A = f(0)\exp(-C x_0)$, što uviđamo ako, i na lijevoj i na desnoj strani, uvrstimo $x = 0$.

$$f(x) = f(x_0)\exp(C(x-x_0))$$