Zoran Skoda eksponencijalna funkcija

Neka je a>0a\gt 0 pozitivan realan broj. Eksponencijalna funkcija s bazom aa je realna funkcija

xa x x \mapsto a^x

čije područje definicije je cijeli skup realnih brojeva, a područje vrijednosti je skup pozitivnih realnih brojeva.

Ako je 0<a<10\lt a \lt 1, tada je eksponencijalna funkcija strogo padajuća (tada govorimo o eksponencijalnom padu ili, u nekim primjenama, eksponencijalnom raspadu), ako je a=1a = 1 tada je a x=1a^x = 1 za sve xx, dakle eksponencijalna funkcija je naprosto konstanta, a za a>1a\gt 1, eksponencijalna funkcija je strogo rastuća. Kad je xx dovoljno velik, ta funkcija raste brže nego bilo koja polinomijalna funkcija.

Posebno je zanimljiv slučaj kad je a=e:=2.71828184590452...a = e := 2.71828184590452... Eulerov broj, vidi wikipedia/e (mathematical constant)). Tada pišemo i

e x=exp(x). e^x = \exp(x).

Ako je xx neka varijabla, neka je ff bilo koja realna funkcija te varijable koja ima svojstvo da je prirast funkcije

Δ(f)(x)=f(x+Δx)f(x)=f(x)f(x) \Delta(f)(x) = f(x+\Delta x) - f(x) = f(x') - f(x)

proporcionalan prirastu argumenta Δ(x)=xx\Delta(x) = x' - x za jako male priraste (tj. kad je xx' jako blizu xx), do na zanemarivu grešku o(Δ(x))o(\Delta(x)) koja je zanemariva prema Δ(x)\Delta(x) u smislu da omjer o(Δ(x))/Δ(x)o(\Delta(x))/\Delta(x) teži u nulu kad Δ(x)\Delta(x) teži u nulu. Drugim riječima,

lim xxf(x)f(x)xx=Cf(x) \lim_{x'\to x}\frac{f(x')-f(x)}{x'- x} = C f(x)

gdje je CC konstanta. Tada je

f(x)=Aexp(Cx) f(x) = A\exp(C x)

gdje je AA konstanta, koju je lako odrediti kao A=f(0)exp(Cx 0)A = f(0)\exp(-C x_0), što uviđamo ako, i na lijevoj i na desnoj strani, uvrstimo x=0x = 0.

f(x)=f(x 0)exp(C(xx 0)) f(x) = f(x_0)\exp(C(x-x_0))

Last revised on October 27, 2020 at 12:47:53. See the history of this page for a list of all contributions to it.