Zoran Skoda
funktor

Neka su CC i DD kategorije s respektivnim kompozicijama C\circ_C i D\circ_D. Kao i obično s Hom C(c,c)=C(c,c)Mor(C)Hom_C(c,c)=C(c,c')\subset Mor(C) označavamo skup homomorfizama iz cc u cc'.

Funktor F:CDF:C\to D je par preslikavanja F 0:Ob(C)Ob(D)F_0:Ob(C)\to Ob(D) i F 1:Mor(C)Mor(D)F_1 : Mor(C)\to Mor(D) takvih da je

  • F 1(Hom C(c,c))Hom D(F 0(c),F 0(c))F_1(Hom_C(c,c'))\subset Hom_D(F_0(c),F_0(c')) za svaki c,cc,c' u Ob(C)Ob(C). Drugim riječima F 1F_1 je ništa drugo nego porodica preslikavanja F c,c=F 1| C(c,c):C(c,c)D(F 0(c),F 0(c))F_{c,c'}= F_1|_{C(c,c')}:C(c,c')\to D(F_0(c),F_0(c')).

  • Za svaki objekt cOb(C)c\in Ob(C), F 1(id c)=id F 0(c)F_1(id_c)=id_{F_0(c)}

  • Funktorijalnost: ako je g Cfg\circ_C f definiran (tj. codom(f)=dom(g)codom(f)=dom(g)), tada je F 1(g Cf)=F 1(g) DF 1(f)F_1(g\circ_C f)=F_1(g)\circ_D F_1(f).

U praksi ne pišemo F 0,F 1F_0, F_1, a često ni F c,cF_{c,c'}, nego jednostavno FF za sva ta preslikavanja, ako kontekst ne vodi do nedoumice. S obzirom da je Mor(C)Mor(C) klasa, umjesto jednog preslikavanja F 1F_1 klasa s uvjetom na restrikcije, neki autori inzistiraju da se govori o porodici {F c,c} c,cOb(C)\{F_{c,c'}\}_{c,c'\in Ob(C)} preslikavanja skupova.

Vidi wikipedia:Functor, joyalscatlab:Functors, nnlab:functor.

Primjedba o kontravarijantnosti

Sinonim za funktor koji se ranije češće upotrebljavao je kovarijantni funktor. Razlog je taj što se nekad govori i o kontravarijantnim funktorima ili kofunktorima G:CDG:C\to D koji zadovoljavaju kontravarijantnu funktorijalnost G(g Cf)=G(f) DG(g)G(g\circ_C f)=G(f)\circ_D G(g) umjesto obične. No, ukoliko znamo koncept suprotne kategorije C C^\circ tada je kofunktor iz CC u DD isto što i (običan, kovarijantni) funktor iz C DC^\circ\to D. Danas radije dakle govorimo samo o funktorima i koristimo C C^\circ kad je to potrebno, riječ kofunktor ne rabimo, a riječ kontravarijantan stavljamo često samo da naglasimo, dakle kažemo “kontravarijantan funktor G:C DG:C^\circ\to D” kad mislimo funktor C DC^\circ\to D, što je isto što i kofunktor CDC\to D. Ako smo napisali C C^\circ nismo morali reći kontravarijantan (naravno pedantni bi rekli da je to dvostruka negacija).

Za kontravarijantni funktor C SetC^\circ \to Set kažemo i predsnop na CC, a nekad i općenitije za funktor C DC^\circ\to D kažemo predsnop DD-objekata na CC (recimo ako je DD kategorija grupa, kažemo predsnop grupa na CC).

Last revised on January 27, 2010 at 20:28:57. See the history of this page for a list of all contributions to it.