Zoran Skoda
hom11lec19

Ponedjeljak 5.3.2012. u 18.

Nekoliko važnih objekata u ovom kolegiju se standardno prikazuju preko lijepljenja metodom silaska, npr. glavni svežnjevi, ekvivarijatni snopovi, Grothendieckova koneksija (kristal). U nekoliko sati smo razvili opću mašineriju do neke mjere, i u ovoj lekciji nam je cilj da te metode zaokružimo.

Problem silaska i pseudofunktori

Zato se sad vraćamo na samu postavku silaska: krećemo od nekog morfizma f:YXf:Y\to X na kojeg gledamo kao na pokrivač YY od XX. Nad svakim objektom imamo kategoriju C YC_Y nad YY i C XC_X nad XX. To se formalizira preko fibriranih kategorija. Znamo neki funktor f *f^* koji šalje C YC_Y u C XC_X, objekt u C XC_X u pullback tog objekta nad pokrivač YY. Želimo napraviti obrat, tzv. problem silaska: koji su objekti u C YC_Y u slici od objekata u C XC_X (do na izomorfizam), i kako razlikovati neizomorfne objekte u C XC_X koji imaju izomorfnu sliku po f *f^*. Za neke morfizme, morfizme efektivnog silaska, taj problem ima potpuno rješenje: svi objekti u XX se mogu (do na izomorfizam) rekonstruirati kao podaci silaska. Podaci silaska su objekti u C YC_Y zajedno s nekom dodatnom strukturom, tipićno djelovanje komonade, ili izomorfizam među pullbackovima koji zadovoljava neki uvjet 1-kociklusa.

Sjetimo se osnovnih pojmova o fibriranim kategorijama iz lekcije 15. Mada smo fibirane kategorije motivirali funktorima tipa pullbacka nismo napravili formalnu konstrukcije između fibrirane kategorije i takvih funktora. Zapravo, radi se o korespodenciji XC XX\mapsto C_X na objektima, ff *f\mapsto f^* na morfizmima, iz bazne kategorije BB u kategoriju kategorija i funktora. Tipično f *g *(gf) *f^* g^* \cong (g f)^* no izomorfizam nije nužno identiteta, nego samo invertibilna prirodna transformacija. Dakle ff *f\mapsto f^* nije funktor, nego funktor do na izomorfizam. Dakle efektivno je kodomena te korespodencije 2-kategorija CatCat gdje su uključene netrivijalne prirodne transformacije. Slično id *id^* općenito nije uvijek baš identiteta. Pišimo u momentu f *=P(f)f^* = P(f).

Pseudofunktor P:B opCatP:B^{op}\to Cat se sastoji od slijedećih podataka

  • za svaki objekt XX u BB, kategorija C X=P(X)C_X = P(X)

  • za svaki morfizam f:XYf:X\to Y u BB funktor f *=P(f):C YC Xf^* = P(f):C_Y\to C_X

  • prirodni izomorfizam α f,g:f *g *(gf) *\alpha_{f,g}:f^* g^*\to (g f)^* za svaki kompozabilni par morfizama f,gf,g

  • prirodni izomorfizam ϵ X:(id X) *Id C X\epsilon_X: (id_X)^*\cong Id_{C_X}

Ti podaci zadovoljavaju slijedeće uvjete koherencije: dva različita načina da se od f *g *h *f^* g^* h^* dođe izomorfizmima do (hgf) *(h g f)^* su jednaka, i sličan uvjet za jedinicu. Dakle za svaka 3 morfizma WfZgYhXW\stackrel{f}\to Z\stackrel{g}\to Y\stackrel{h}\to X traži se koherencija

f *g *h * α f,gh * (gf) *h * f *α α gf,h f *(hg) * α f,hg (hgf) *\array{ f^* g^* h^* &\stackrel{\alpha_{f,g} h^*}\longrightarrow& (g f)^* h^*\\ f^* \alpha\downarrow && \downarrow \alpha_{g f, h}\\ f^* (h g)^* &\stackrel{\alpha_{f,h g}}\longrightarrow& (h g f)^* }

Kakve to veze ima s fibriranim kategorijama ? Pseudofunktori u praksi dolaze preko izbora predstavnika klase izomorfizma “pullbacka”, što je irelevantno. Fibrirana kategorija daje u suštini iste podatke kao i pseudofunktor no taj neprirodni izbor nije forsiran, Veza između dva pristupa su kalanje fibirane kategorije i Grothendieckova konstrukcija.

Grothendieckova konstrukcija

Neka je P:B opCatP:B^{op}\to Cat pseudofunktor. Grothendieckova konstrukcija je kategorija P\int P zajedno s projekcijom PB\int P\to B koja je fibracija, a konstruira se na slijedeći način: objekti od P\int P su disjunktna unija bObBP(b)\coprod_{b\in Ob B} P(b). Morfizmi iz xP(b)x\in P(b) u yP(b)y\in P(b') su parovi (f,ϕ)(f,\phi) gdje je f:bbf:b\to b' morfizam, a ϕ:xP(f)(y)\phi:x\to P(f)(y). Uzmimo i morfizam (g,ψ):zx(g,\psi):z\to x gdje je zp(b)z\in p(b''). Tada je kompozicija definirana kao

(g,ψ)(f,ϕ)=(gf,(α f,g) zf *(ψ)ϕ) (g,\psi)\circ(f,\phi) = (g\circ f, (\alpha_{f,g})_z\circ f^*(\psi)\circ \phi)

Primijetite da je drugi dio kompozicije kompozicija u

xϕf *(y)f *(ψ)f *g *(z)(α f,g) z(gf) *(z) x\stackrel{\phi}\to f^*(y)\stackrel{f^*(\psi)}\longrightarrow f^* g^*(z) \stackrel{(\alpha_{f,g})_z}\longrightarrow (g f)^*(z)

Lako je vidjeti funktor projekcije π:PB\pi:\int P\to B.

Zadatak 12. Provjeri da je kompozicija morfizama u Grothendieckovoj konstrukciji asocijativna. Pri tome treba koristiti koherencije za α\alpha.

Teorem. π:PB\pi:\int P\to B je fibrirana kategorija.

Kalanje

Kažemo da se fibrirana kategorija π:FB\pi: F\to B kala (engl. is cleft), ako je u njoj zadano kalanje (engl. cleavage) tj. izbor klase KK kartezijevih morfizama u FF takav da za svaki morfizam f:abf:a\to b u BB i za svaki objekt dF bd\in F_b postoji točno jedan element f¯ dK\bar{f}_d\in K tako da je π(f¯ d)=f\pi(\bar{f}_d)=f i cod(f)=dcod(f) = d.

Po aksiomu izbora i definiciji fibrirane kategorije, za svaku fibriranu kategoriju, postoji barem jedno kalanje.

Neka je π:FB\pi:F\to B fibrirana kategorija s kalanjem KK. Tada je dobro definiran izbor “pullbacka”. Naime, u gornjoj notaciji, definirajmo f *(d)=dom(f¯ d)f^*(d) = dom(\bar{f}_d) na objektima i neka je f *(β)=f *(dβd)f^*(\beta) = f^*(d\stackrel{\beta}\to d') jedinstveni morfizam dom(f¯ d)dom(f¯ d)dom(\bar{f}_d)\to dom(\bar{f}_{d'}) takav da je f df *(β)=βf df_{d'}\circ f^*(\beta) = \beta\circ f_d. Za egzistenciju i jedinstvenost f *(β)f^*(\beta) je korišteno da je morfizam f df_{d'} kartezijev.

Zadatak 13. Pokažite za f:abf:a\to b da je f *:F bF af^*:F_b\to F_a (kovarijatni) funktor i da je korespodencija bF bb\to F_b, ff *f\mapsto f^* dio podataka za kanonski (iz kalanja) definiran pseudofunktor; posebnu pažnju posvetite podacima i dokazu koherencije za taj pseudofunktor.

Veza s (ko)monadama

U lekciji 15 napisali smo i definiciju kofibrirane kategorije π:FB\pi:F\to B, kao fibrirane kategorije π:F opB op\pi:F^{op}\to B^{op}. Bifibrirana kategorija je kategorija koja je fibrirana i kofibrirana.

Zadatak 14. Neka je π:FB\pi:F\to B fibrirana kategorija s kalanjem KK i ff *f\mapsto f^* pseudofunktor dobiven od kalanja. Dokaži da ako za svaki f *f^* postoji lijevi adjungirani funktor f !f_!, tada je π:FB\pi:F\to B kofibrirana, i dakle bifibrirana kategorija. Definiraj usput što je kalanje za kofibrirane kategorije.

Pretpostavimo da je sad π:FB\pi:F\to B fibrirana kategorija i pretpostavimo da je kalanje zadano barem za dio fibrirane kategorije nad f:abf:a\to b. Tada imamo f *f^*. Pretpostavimo da postoji lijevi adjungirani fuktor f !f_!. Taj par adjungiranih funktora tada definira monadu i komonadu na standardni način. Pod nekim tehničkim uvjetom (Beck-Chevalley condition) moduli nad dobivenom monadom odgovaraju podacima silaska uzduž ff. To se zove Benabou-Roubaudov teorem. U nekim problemima konvencije na smjerove morfizama vode pak na komodule nad komonadama.

Last revised on March 5, 2012 at 18:12:18. See the history of this page for a list of all contributions to it.