Zoran Skoda hom11lec19

Ponedjeljak 5.3.2012. u 18.

Nekoliko važnih objekata u ovom kolegiju se standardno prikazuju preko lijepljenja metodom silaska, npr. glavni svežnjevi, ekvivarijatni snopovi, Grothendieckova koneksija (kristal). U nekoliko sati smo razvili opću mašineriju do neke mjere, i u ovoj lekciji nam je cilj da te metode zaokružimo.

Problem silaska i pseudofunktori

Zato se sad vraćamo na samu postavku silaska: krećemo od nekog morfizma $f:Y\to X$ na kojeg gledamo kao na pokrivač $Y$ od $X$. Nad svakim objektom imamo kategoriju $C_Y$ nad $Y$ i $C_X$ nad $X$. To se formalizira preko fibriranih kategorija. Znamo neki funktor $f^*$ koji šalje $C_Y$ u $C_X$, objekt u $C_X$ u pullback tog objekta nad pokrivač $Y$. Želimo napraviti obrat, tzv. problem silaska: koji su objekti u $C_Y$ u slici od objekata u $C_X$ (do na izomorfizam), i kako razlikovati neizomorfne objekte u $C_X$ koji imaju izomorfnu sliku po $f^*$. Za neke morfizme, morfizme efektivnog silaska, taj problem ima potpuno rješenje: svi objekti u $X$ se mogu (do na izomorfizam) rekonstruirati kao podaci silaska. Podaci silaska su objekti u $C_Y$ zajedno s nekom dodatnom strukturom, tipićno djelovanje komonade, ili izomorfizam među pullbackovima koji zadovoljava neki uvjet 1-kociklusa.

Sjetimo se osnovnih pojmova o fibriranim kategorijama iz lekcije 15. Mada smo fibirane kategorije motivirali funktorima tipa pullbacka nismo napravili formalnu konstrukcije između fibrirane kategorije i takvih funktora. Zapravo, radi se o korespodenciji $X\mapsto C_X$ na objektima, $f\mapsto f^*$ na morfizmima, iz bazne kategorije $B$ u kategoriju kategorija i funktora. Tipično $f^* g^* \cong (g f)^*$ no izomorfizam nije nužno identiteta, nego samo invertibilna prirodna transformacija. Dakle $f\mapsto f^*$ nije funktor, nego funktor do na izomorfizam. Dakle efektivno je kodomena te korespodencije 2-kategorija $Cat$ gdje su uključene netrivijalne prirodne transformacije. Slično $id^*$ općenito nije uvijek baš identiteta. Pišimo u momentu $f^* = P(f)$.

Pseudofunktor $P:B^{op}\to Cat$ se sastoji od slijedećih podataka

• za svaki objekt $X$ u $B$, kategorija $C_X = P(X)$

• za svaki morfizam $f:X\to Y$ u $B$ funktor $f^* = P(f):C_Y\to C_X$

• prirodni izomorfizam $\alpha_{f,g}:f^* g^*\to (g f)^*$ za svaki kompozabilni par morfizama $f,g$

• prirodni izomorfizam $\epsilon_X: (id_X)^*\cong Id_{C_X}$

Ti podaci zadovoljavaju slijedeće uvjete koherencije: dva različita načina da se od $f^* g^* h^*$ dođe izomorfizmima do $(h g f)^*$ su jednaka, i sličan uvjet za jedinicu. Dakle za svaka 3 morfizma $W\stackrel{f}\to Z\stackrel{g}\to Y\stackrel{h}\to X$ traži se koherencija

$$\array{ f^* g^* h^* &\stackrel{\alpha_{f,g} h^*}\longrightarrow& (g f)^* h^*\\ f^* \alpha\downarrow && \downarrow \alpha_{g f, h}\\ f^* (h g)^* &\stackrel{\alpha_{f,h g}}\longrightarrow& (h g f)^* }$$

Kakve to veze ima s fibriranim kategorijama ? Pseudofunktori u praksi dolaze preko izbora predstavnika klase izomorfizma “pullbacka”, što je irelevantno. Fibrirana kategorija daje u suštini iste podatke kao i pseudofunktor no taj neprirodni izbor nije forsiran, Veza između dva pristupa su kalanje fibirane kategorije i Grothendieckova konstrukcija.

Grothendieckova konstrukcija

Neka je $P:B^{op}\to Cat$ pseudofunktor. Grothendieckova konstrukcija je kategorija $\int P$ zajedno s projekcijom $\int P\to B$ koja je fibracija, a konstruira se na slijedeći način: objekti od $\int P$ su disjunktna unija $\coprod_{b\in Ob B} P(b)$. Morfizmi iz $x\in P(b)$ u $y\in P(b')$ su parovi $(f,\phi)$ gdje je $f:b\to b'$ morfizam, a $\phi:x\to P(f)(y)$. Uzmimo i morfizam $(g,\psi):z\to x$ gdje je $z\in p(b'')$. Tada je kompozicija definirana kao

$$(g,\psi)\circ(f,\phi) = (g\circ f, (\alpha_{f,g})_z\circ f^*(\psi)\circ \phi)$$

Primijetite da je drugi dio kompozicije kompozicija u

$$x\stackrel{\phi}\to f^*(y)\stackrel{f^*(\psi)}\longrightarrow f^* g^*(z) \stackrel{(\alpha_{f,g})_z}\longrightarrow (g f)^*(z)$$

Lako je vidjeti funktor projekcije $\pi:\int P\to B$.

Zadatak 12. Provjeri da je kompozicija morfizama u Grothendieckovoj konstrukciji asocijativna. Pri tome treba koristiti koherencije za $\alpha$.

Teorem. $\pi:\int P\to B$ je fibrirana kategorija.

Kalanje

Kažemo da se fibrirana kategorija $\pi: F\to B$ kala (engl. is cleft), ako je u njoj zadano kalanje (engl. cleavage) tj. izbor klase $K$ kartezijevih morfizama u $F$ takav da za svaki morfizam $f:a\to b$ u $B$ i za svaki objekt $d\in F_b$ postoji točno jedan element $\bar{f}_d\in K$ tako da je $\pi(\bar{f}_d)=f$ i $cod(f) = d$.

Po aksiomu izbora i definiciji fibrirane kategorije, za svaku fibriranu kategoriju, postoji barem jedno kalanje.

Neka je $\pi:F\to B$ fibrirana kategorija s kalanjem $K$. Tada je dobro definiran izbor “pullbacka”. Naime, u gornjoj notaciji, definirajmo $f^*(d) = dom(\bar{f}_d)$ na objektima i neka je $f^*(\beta) = f^*(d\stackrel{\beta}\to d')$ jedinstveni morfizam $dom(\bar{f}_d)\to dom(\bar{f}_{d'})$ takav da je $f_{d'}\circ f^*(\beta) = \beta\circ f_d$. Za egzistenciju i jedinstvenost $f^*(\beta)$ je korišteno da je morfizam $f_{d'}$ kartezijev.

Zadatak 13. Pokažite za $f:a\to b$ da je $f^*:F_b\to F_a$ (kovarijatni) funktor i da je korespodencija $b\to F_b$, $f\mapsto f^*$ dio podataka za kanonski (iz kalanja) definiran pseudofunktor; posebnu pažnju posvetite podacima i dokazu koherencije za taj pseudofunktor.

Veza s (ko)monadama

U lekciji 15 napisali smo i definiciju kofibrirane kategorije $\pi:F\to B$, kao fibrirane kategorije $\pi:F^{op}\to B^{op}$. Bifibrirana kategorija je kategorija koja je fibrirana i kofibrirana.

Zadatak 14. Neka je $\pi:F\to B$ fibrirana kategorija s kalanjem $K$ i $f\mapsto f^*$ pseudofunktor dobiven od kalanja. Dokaži da ako za svaki $f^*$ postoji lijevi adjungirani funktor $f_!$, tada je $\pi:F\to B$ kofibrirana, i dakle bifibrirana kategorija. Definiraj usput što je kalanje za kofibrirane kategorije.

Pretpostavimo da je sad $\pi:F\to B$ fibrirana kategorija i pretpostavimo da je kalanje zadano barem za dio fibrirane kategorije nad $f:a\to b$. Tada imamo $f^*$. Pretpostavimo da postoji lijevi adjungirani fuktor $f_!$. Taj par adjungiranih funktora tada definira monadu i komonadu na standardni način. Pod nekim tehničkim uvjetom (Beck-Chevalley condition) moduli nad dobivenom monadom odgovaraju podacima silaska uzduž $f$. To se zove Benabou-Roubaudov teorem. U nekim problemima konvencije na smjerove morfizama vode pak na komodule nad komonadama.