Zoran Skoda
hom11lec15

Ponedjeljak 20.2.2012. Coursepage hom11connections. Next lecture 16,17,18,19,20, previous lectures 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,zadaci.

Zbog greške u numeraciji, prijašnji zapis ove stranice (koji odgovara lekciji od 29.2.) je premješten na hom11lec17.

Ova lekcija je posvećena fibriranim kategorijama, koje su bile spomenute kratko u lekciji 14. Napravili smo i kratki osvrt na definiciju Grothendieckove topologije, snopa nad njim i stoga kategorije, te pojam morfizma efektivnog silaska. Standardna i jako detaljna referenca je

Klasična referenca za fibrirane kategorije je SGA1.6.

Def. Kategorija FF nad kategorijom CC je naprosto funktor π:FC\pi:F\to C. Morfizam kategorija nad CC (ili funktor nad CC) iz π:FC\pi:F\to C u π:FC\pi':F'\to C je funktor ϕ:FF\phi:F\to F' takav da je π=πϕ\pi = \pi'\circ\phi. Kategorije nad CC i njihovi morfizmi čine kategoriju Cat/CCat/C kategorija nad CC. Ako gledamo i prirodne transformacije, onda je Cat/CCat/C (kao i CatCat) 2-kategorija.

Def. Ako je cc objekt u CC, tada je vlakno nad cc kategorije FF nad CC kategorija π 1(id c)=F c\pi^{-1}(id_c)= F_c čiji objekti su svi objekti dd iz FF takvi da F(d)=cF(d) = c, a klasa morfizama je π 1(id c)\pi^{-1}(id_c). Morfizmi u FF koji pripadaju nekom vlaknu (tj. ;ije slika po π\pi je neki identični morfizam) zovu se vertikalni morfizmi.

Def. Morfizam f:ddf:d\to d' u kategoriji FF nad CC je

  • jako kartezijev ako zadovoljava slijedeće univerzalno svojstvo: za svaki morfizam g:edg:e\to d' u FF i svaki morfizam u:π(e)π(d)u:\pi(e)\to \pi(d) u CC, takav da π(f)u=π(g)\pi(f)\circ u = \pi(g), postoji jedinstveni morfizam v:edv:e\to d u FF takav da je fv=gf\circ v = g i π(v)=u\pi(v) = u.
  • slabo kartezijev ako zadovoljava slijedeće univerzalno svojstvo: za svaki morfizam g:edg:e\to d' u FF za koji π(e)=π(d)\pi(e)=\pi(d), postoji jedinstveni morfizam v:edv:e\to d u FF takav da je fv=gf\circ v = g i π(v)=id π(d)\pi(v) = id_{\pi(d)}.

Primijetite da je svaki jako kartezijev morfizam slabo kartezijev, naime univerzalno svojstvo se ispituje samo za slučaj kad vrijedi eπ 1(d)e\in\pi^{-1}(d) i u=id π(d)u = id_{\pi(d)}.

Dijagram uz jako kartezijevo univerzalno svojstvo:

Dijagram uz slabo kartezijevo univerzalno svojstvo:

Zadatak 11. Dokaži direktno preko univerzalnog svojstva da je u svakoj kategoriji nad CC kompozicija jako kartezijevih morfizama jako kartezijev morfizam. Nađi primjer kategorije CC i kategorije π:FC\pi:F\to C nad CC u kojoj postoji par slabo kartezijevih morfizama čija kompozicija nije slabo kartezijeva.

Def. Kategorija π:FC\pi :F\to C nad kategorijom CC je fibrirana kategorija nad CC ako zadovoljava jedno od slijedeća dva ekvivalentna svojstva

  • za svaki zadani morfizam h:cdh:c\to d u CC i svaki zadani objekt eπ 1(d)e\in\pi^{-1}(d) postoji barem jedan slabo kartezijev morfizam f:c˜ef:\tilde{c}\to e, gdje je c˜π 1(c)\tilde{c}\in\pi^{-1}(c); uz to traži se da je kompozicija bilo koja dva slabo kartezijeva morfizma slabo kartezijev
  • za svaki zadani morfizam h:cdh:c\to d u CC i svaki zadani objekt eπ 1(d)e\in\pi^{-1}(d) postoji barem jedan jako kartezijev morfizam f:c˜ef:\tilde{c}\to e, gdje je c˜π 1(c)\tilde{c}\in\pi^{-1}(c)

U fibriranoj kategoriji svaki slabo kartezijev morfizam je ujedno i jako kartezijev morfizam, pa ćemo reći jednostavno kartezijev morfizam. U SGA1 slabo kartezijevi morfizmi se nazivaju prosto kartezijevima u svim situacijama; u Vistolijevim lekcijama je obratno, jako kartezijevi se nazivaju prosto kartezijevima u svim situacijama. Kažemo da je CC baza ili bazna kategorija, a FF totalna kategorija fibrirane kategorije π:FC\pi:F\to C.

Def. Funktor ϕ:FF\phi: F\to F' kategorija nad CC je (slabo, jako) kartezijev funktor nad CC ako šalje kartezijeve morfizme u kartezijeve morfizme. Općenitije, razmatramo kartezijeve funktore nad raznim bazama CC, CC'. Kartezijev funktor ili morfizam fibriranih kategorija (π:FC)(π:FC)(\pi:F\to C)\to (\pi':F'\to C') je par funktora ϕ:FF\phi:F\to F', γ:CC\gamma:C\to C' takav da je πϕ=γπ\pi'\circ \phi = \gamma\circ\pi i takav da je slika svakog kartezijevog morfizma u FF, kartezijev morfizam u FF'. Za kartezijev morfizam (ϕ,γ)(\phi,\gamma) kažemo da je kartezijev morfizam nad γ:CC\gamma:C\to C'. Primijetite da je kartezijev morfizam nad Id CId_C isto što i kartezijev morfizam nad CC.

Očito je da je kompozicija kartezijevih funktora kartezijev funktor, pa fibrirane kategorije nad CC i kartezijevi funktori nad CC čine kategoriju Fib/CFib/C koja se zove kategorija fibriranih kategorija nad CC. Primijetite da prirodni funktor Fib/CCat/CFib/C\hookrightarrow Cat/C nije pun. Slično fibrirane kategorije s raznim bazama, kartezijevi funktori i prirodne transformacije kartezijevih funktora čine 2-kategoriju FibFib fibriranih kategorija.

Primjer. (vidi codomain fibration) Neka je CC mala kategorija. Neka je F=ArrCF = Arr C kategorija čiji su objekti morfizmi od CC, a morfizmi su komutativni kvadrati. Tada je funktor kodomene cod:ArrCCcod: Arr C\to C fibrirana kategorija nad CC onda i samo onda ako za svaka dva morfizma u CC postoji pullback (fibrirani produkt).

Kažemo da je π:FB\pi: F\to B kofibrirana kategorija (po Grothendiecku, moderna terminologija je opfibrirana) ako je π:F opB op\pi:F^{op}\to B^{op} fibrirana kategorija. To dakle znači da za svaki morfizam h:cdh:c\to d u bazi BB, i svaki eπ 1(c)e\in\pi^{-1}(c) postoji jako kokartezijev (opkartezijev po modernom) morfizam f:ed˜f:e\to \tilde{d}, gdje je d˜π 1(d)\tilde{d}\in\pi^{-1}(d). Općenito, morfizam f:ed˜f:e\to\tilde{d} je jako kokartezijev ako zadovoljava slijedeće univerzalno svojstvo: za svaki g:eyg:e\to y i za svaki u:d=π(d˜)π(y)u:d=\pi(\tilde{d})\to \pi(y), takav da uπ(f)=π(g)u\circ \pi(f) = \pi(g), postoji jedinstveni morfizam v:d˜yv:\tilde{d}\to y takav da je vf=gv\circ f=g i π(v)=u\pi(v)=u.

Kažemo da je π:FB\pi:F\to B kategorija nad BB fibrirana u grupoidima, ako je za svaki bObBb\in Ob B vlakno F b=π 1(id b)F_b = \pi^{-1}(id_b) grupoid (tj. mala kategorija čiji su svi morfizmi invertibilni).

Last revised on September 9, 2019 at 11:34:27. See the history of this page for a list of all contributions to it.