Zoran Skoda hom11lec15

Ponedjeljak 20.2.2012. Coursepage hom11connections. Next lecture 16,17,18,19,20, previous lectures 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,zadaci.

Zbog greške u numeraciji, prijašnji zapis ove stranice (koji odgovara lekciji od 29.2.) je premješten na hom11lec17.

Ova lekcija je posvećena fibriranim kategorijama, koje su bile spomenute kratko u lekciji 14. Napravili smo i kratki osvrt na definiciju Grothendieckove topologije, snopa nad njim i stoga kategorije, te pojam morfizma efektivnog silaska. Standardna i jako detaljna referenca je

• Angelo Vistoli, Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory, pp. 1–104 of FGA explained; MR2223406; math.AG/0412512.

Klasična referenca za fibrirane kategorije je SGA1.6.

Def. Kategorija $F$ nad kategorijom $C$ je naprosto funktor $\pi:F\to C$. Morfizam kategorija nad $C$ (ili funktor nad $C$) iz $\pi:F\to C$ u $\pi':F'\to C$ je funktor $\phi:F\to F'$ takav da je $\pi = \pi'\circ\phi$. Kategorije nad $C$ i njihovi morfizmi čine kategoriju $Cat/C$ kategorija nad $C$. Ako gledamo i prirodne transformacije, onda je $Cat/C$ (kao i $Cat$) 2-kategorija.

Def. Ako je $c$ objekt u $C$, tada je vlakno nad $c$ kategorije $F$ nad $C$ kategorija $\pi^{-1}(id_c)= F_c$ čiji objekti su svi objekti $d$ iz $F$ takvi da $F(d) = c$, a klasa morfizama je $\pi^{-1}(id_c)$. Morfizmi u $F$ koji pripadaju nekom vlaknu (tj. čija slika po $\pi$ je neki identični morfizam) zovu se vertikalni morfizmi.

Def. Morfizam $f:d\to d'$ u kategoriji $F$ nad $C$ je

• jako kartezijev ako zadovoljava slijedeće univerzalno svojstvo: za svaki morfizam $g:e\to d'$ u $F$ i svaki morfizam $u:\pi(e)\to \pi(d)$ u $C$, takav da $\pi(f)\circ u = \pi(g)$, postoji jedinstveni morfizam $v:e\to d$ u $F$ takav da je $f\circ v = g$ i $\pi(v) = u$.
• slabo kartezijev ako zadovoljava slijedeće univerzalno svojstvo: za svaki morfizam $g:e\to d'$ u $F$ za koji $\pi(e)=\pi(d)$, postoji jedinstveni morfizam $v:e\to d$ u $F$ takav da je $f\circ v = g$ i $\pi(v) = id_{\pi(d)}$.

Primijetite da je svaki jako kartezijev morfizam slabo kartezijev, naime univerzalno svojstvo se ispituje samo za slučaj kad vrijedi $e\in\pi^{-1}(d)$ i $u = id_{\pi(d)}$.

Dijagram uz jako kartezijevo univerzalno svojstvo:

Dijagram uz slabo kartezijevo univerzalno svojstvo:

Zadatak 11. Dokaži direktno preko univerzalnog svojstva da je u svakoj kategoriji nad $C$ kompozicija jako kartezijevih morfizama jako kartezijev morfizam. Nađi primjer kategorije $C$ i kategorije $\pi:F\to C$ nad $C$ u kojoj postoji par slabo kartezijevih morfizama čija kompozicija nije slabo kartezijeva.

Def. Kategorija $\pi :F\to C$ nad kategorijom $C$ je fibrirana kategorija nad $C$ ako zadovoljava jedno od slijedeća dva ekvivalentna svojstva

• za svaki zadani morfizam $h:c\to d$ u $C$ i svaki zadani objekt $e\in\pi^{-1}(d)$ postoji barem jedan slabo kartezijev morfizam $f:\tilde{c}\to e$, gdje je $\tilde{c}\in\pi^{-1}(c)$; uz to traži se da je kompozicija bilo koja dva slabo kartezijeva morfizma slabo kartezijev
• za svaki zadani morfizam $h:c\to d$ u $C$ i svaki zadani objekt $e\in\pi^{-1}(d)$ postoji barem jedan jako kartezijev morfizam $f:\tilde{c}\to e$, gdje je $\tilde{c}\in\pi^{-1}(c)$

U fibriranoj kategoriji svaki slabo kartezijev morfizam je ujedno i jako kartezijev morfizam, pa ćemo reći jednostavno kartezijev morfizam. U SGA1 slabo kartezijevi morfizmi se nazivaju prosto kartezijevima u svim situacijama; u Vistolijevim lekcijama je obratno, jako kartezijevi se nazivaju prosto kartezijevima u svim situacijama. Kažemo da je $C$ baza ili bazna kategorija, a $F$ totalna kategorija fibrirane kategorije $\pi:F\to C$.

Def. Funktor $\phi: F\to F'$ kategorija nad $C$ je (slabo, jako) kartezijev funktor nad $C$ ako šalje kartezijeve morfizme u kartezijeve morfizme. Općenitije, razmatramo kartezijeve funktore nad raznim bazama $C$, $C'$. Kartezijev funktor ili morfizam fibriranih kategorija $(\pi:F\to C)\to (\pi':F'\to C')$ je par funktora $\phi:F\to F'$, $\gamma:C\to C'$ takav da je $\pi'\circ \phi = \gamma\circ\pi$ i takav da je slika svakog kartezijevog morfizma u $F$, kartezijev morfizam u $F'$. Za kartezijev morfizam $(\phi,\gamma)$ kažemo da je kartezijev morfizam nad $\gamma:C\to C'$. Primijetite da je kartezijev morfizam nad $Id_C$ isto što i kartezijev morfizam nad $C$.

Očito je da je kompozicija kartezijevih funktora kartezijev funktor, pa fibrirane kategorije nad $C$ i kartezijevi funktori nad $C$ čine kategoriju $Fib/C$ koja se zove kategorija fibriranih kategorija nad $C$. Primijetite da prirodni funktor $Fib/C\hookrightarrow Cat/C$ nije pun. Slično fibrirane kategorije s raznim bazama, kartezijevi funktori i prirodne transformacije kartezijevih funktora čine 2-kategoriju $Fib$ fibriranih kategorija.

Primjer. (vidi codomain fibration) Neka je $C$ mala kategorija. Neka je $F = Arr C$ kategorija čiji su objekti morfizmi od $C$, a morfizmi su komutativni kvadrati. Tada je funktor kodomene $cod: Arr C\to C$ fibrirana kategorija nad $C$ onda i samo onda ako za svaka dva morfizma u $C$ postoji pullback (fibrirani produkt).

Kažemo da je $\pi: F\to B$ kofibrirana kategorija (po Grothendiecku, moderna terminologija je opfibrirana) ako je $\pi:F^{op}\to B^{op}$ fibrirana kategorija. To dakle znači da za svaki morfizam $h:c\to d$ u bazi $B$, i svaki $e\in\pi^{-1}(c)$ postoji jako kokartezijev (opkartezijev po modernom) morfizam $f:e\to \tilde{d}$, gdje je $\tilde{d}\in\pi^{-1}(d)$. Općenito, morfizam $f:e\to\tilde{d}$ je jako kokartezijev ako zadovoljava slijedeće univerzalno svojstvo: za svaki $g:e\to y$ i za svaki $u:d=\pi(\tilde{d})\to \pi(y)$, takav da $u\circ \pi(f) = \pi(g)$, postoji jedinstveni morfizam $v:\tilde{d}\to y$ takav da je $v\circ f=g$ i $\pi(v)=u$.

Kažemo da je $\pi:F\to B$ kategorija nad $B$ fibrirana u grupoidima, ako je za svaki $b\in Ob B$ vlakno $F_b = \pi^{-1}(id_b)$ grupoid (tj. mala kategorija čiji su svi morfizmi invertibilni).