Zoran Skoda
hom12hw

Z0. Podrazumijeva se da je svaki student u detalje razradio adjunkciju između etalnih prostora i snopova nad istom bazom.

Z1. Zadatak (proširenje snopa s baze na cijeli topološki prostor) je dan na stranici sheaf on base.

Z2. Dokaži: Ako u danoj kategoriji CC postoje ujednačitelji i produkti proizvoljnog skupa objekata, tada postoje limesi svih malih dijagrama.

Z3. Neka je d:DCd:D\to C mali dijagram u kategoriji CC. Yonedino ulaganje h:CC^h: C\to \hat{C}, h:Xh X=C(,X)h:X\mapsto h_X = C(-,X) je kovarijantan funktor koji inducira mali dijagram h d:DC^h_d: D\to\hat{C} dan s h d(x)=C(,d(x))h_d(x) = C(-,d(x)) i za svaki konus α:const ad\alpha: const_a\to d nad dd inducira konus α^\hat{\alpha} nad h dh_d. Pokaži da ako je α\alpha univerzalan, da je i α^\hat{\alpha} univerzalan. Drugim riječima, Yoneda šalje limese u limese. S druge strane Yoneda ne šalje colimese u colimese. Pokaži i da Yoneda šalje monomorfizme u monomorfizme.

Z4. Pokaži da kategorija etalnih prostora nad fiksnom bazom BB ima (kategorijske) produkte. Neka su EE i FF etalni prostori nad bazom BB. Definiraj etalni prostor ℋℴ𝓂 B(E,F)\mathcal{Hom}_B(E,F) nad BB klica lokalnih morfizama etalnih prostora tako da ℋℴ𝓂 B\mathcal{Hom}_B bude bifunktor kontravarijantan u prvom i kovarijantan u drugom argumentu s vrijednostima u etalnim prostorima, i tako da vrijedi adjunkcija s kartezijevim produktom etalnih prostora nad BB, tj.

Hom(E,ℋℴ𝓂 B(F,G))Hom(E×F,G) Hom(E,\mathcal{Hom}_B(F,G)) \cong Hom(E\times F,G)

prirodna u svakom argumentu, gdje su E,F,GE,F,G etalni prostori nad BB.

Z5. Kategorija CC zajedno s bifunktorom “monoidalnog produkta” :C×CC\otimes : C\times C\to C i istaknutim “jediničnim” objektom 1\mathbf{1} je striktna monoidalna ako je \otimes asocijativan i 1X=X=X1\mathbf{1}\otimes X = X = X\otimes 1. Obično se promatraju monoidalne kategorije koje nisu struktne, tj. asocijativnost i svojstvo jediničnog objekta su zadovoljeni s prirodnim izomorfizmima funktora umjesto jednakosti (uz neka svojstva koherencije). Npr. ako u kategoriji u kojoj postoje inicijalni objekta i produkti parova objekata izaberemo po jedan produkt za svaki par, možemo po univerzalnosti produljiti taj izbor do bifunktora; jedinični objekt je inicijalni objekt i kategorija postoja monoidalna. Takvu monoidalnu kategoriju nazivamo kartezijeva monoidalna kategorija. Neka je neka monoidalna kategorija (radi jednostavnosti, striktna) zatvorena, tj, postoji inner ℋℴ𝓂\mathcal{Hom} koji je desno adjungiran tenzorskom produktu, tj. postoji bijekcija

Hom(E,ℋℴ𝓂(F,G))Hom(EF,G) Hom(E,\mathcal{Hom}(F,G)) \cong Hom(E\otimes F,G)

prirodna u proizvoljna tri objekta E,F,GE,F,G u CC. Pokažite da tada postoji izomorfizam u CC među inner homovima

ℋℴ𝓂(E,ℋℴ𝓂 B(F,G))ℋℴ𝓂(EF,G) \mathcal{Hom}(E,\mathcal{Hom}_B(F,G)) \cong \mathcal{Hom}(E\otimes F,G)

(Uputa: dokažite prirodnu bijekciju

Hom(H,ℋℴ𝓂(E,ℋℴ𝓂 B(F,G)))Hom(H,ℋℴ𝓂(EF,G)) Hom(H,\mathcal{Hom}(E,\mathcal{Hom}_B(F,G))) \cong Hom(H,\mathcal{Hom}(E\otimes F,G))

prirodnu u H,E,F,GH,E,F,G i koristite Yonedinu lemu.

Z6. (VAR1) Pokažite da je topologija Zariskog na afinim višestrukostima topologija.

Z7. (VAR2a) Topološki prostor XX je ireducibilan ako je neprazan i ako je zadovoljen jedan od slijedećih ekvivalentnih uvjeta

(i) svaki neprazan otvoreni podskup UXU\subset X je gust u XX

(ii) svaka dva neprazna otvorena podskupa se sijeku

(iii) XX se ne može predstaviti kao unija dva zatvorena podskupa od kojih ni jedan nije podskup drugoga

(iiia) XX se ne može predstaviti kao unija dva zatvorena podskupa od kojih ni jedan nije cijeli XX (tj. “dva prava zatvorena podskupa”)

Dokaži da su uvjeti (i)-(iiia) zaista ekvivalentni.

(VAR2b) Topološki prostor XX je neterski ako se svaki padajući lanac zatvorenih podprostora XX 1X 2X\supset X_1\supset X_2\supset \ldots stabilizira. Dokaži da za takve prostore vrijedi: postoji konačno mnogo zatvorenih ireducibilnih podskupova X iX_i, i=1,,ni=1,\ldots,n, takvih da vrijedi i=1 nX i=X\cup_{i=1}^n X_i = X i za svaki par iji\neq j nije X iX jX_i\subset X_j. Pokaži i da je familija skupova X iX_i u tom rastavu od XX jedinstvena do na prenumeraciju. Kažemo da su X iX_i ireducibilne komponente prostora XX.

(VAR2c) Neka je XX neterski topološki prostor i MXM\subset X neki njegov podskup, čije zatvorenje u XX je M¯\bar{M}. Ako je M= iM iM = \cup_i M_i razlaganje od MM na ireducibilne komponente, tada je M¯= iM¯ i\bar{M} = \cup_i \bar{M}_i razlaganje od M¯\bar{M} na ireducibilne komponente. (Korolar: MM je ireducibilan onda i samo onda ako je M¯\bar{M} ireducibilan)

Z8 (VAR3) Ako je ideal II u graduiranom prstenu/(asocijativnoj) algebri R= n=0 R nR = \oplus_{n=0}^\infty R_n homogen, tj. I= n=0 (R nI)I = \oplus_{n=0}^\infty (R_n\cap I), onda kvocijent ima kanonsku strukturu graduiranog prstena (algebre) takvu da je kvocijentno preslikavanje RR/IR\to R/I preslikavanje graduiranih prstenova (algebri).

Z9. (VAR4) Po definiciji, (moguće nekomutativan) prsten je lijevi Neterin ako se svaki uzlazni niz lijevih ideala I 0 1I 2...I_0\subset _1 \subset I_2\subset... od RR stabilizira, tj. relacija I nI n+1I_n\subset I_{n+1} za svaki nn počevši od nekog konačnog n 0n_0. Pokaži da je to svojstvo ekvivalentno svojstvu da je svaki lijevi ideal konačno generiran.

Z10. (VAR5) Afina zakrenuta kubika C affC^{aff} u afinom prostoru je slika regularnog preslikavanja c aff:A 1A 3c_{aff}:\mathbf{A}^1\to\mathbf{A}^3 danom s x(x,x 2,x 3)x\mapsto (x,x^2,x^3). Pokaži da je ta slika afina višestrukost čiji koordinatni prsten K[C aff]K[C^{aff}] je izomorfan K[A 1]K[\mathbf{A}^1], pri čemu je izomorfizam induciran parametrizacijom c affc_{aff}. Ako A 3\mathbf{A}^3 uložimo u P 3\mathbf{P}^3 onda možemo gledati zatvorenje afine zakrenute kubike u topologiji Zariskog od P 3\mathbf{P}^3 koje ćemo zvati projektivna zakrenuta kubika, ili, jednostavno, zakrenuta kubika (twisted cubic). Pokaži da je zakrenuta kubika slika regularnog preslikavanja c:P 1P 3c:\mathbf{P}^1\to \mathbf{P}^3 danim u homogenim koordinatama formulom c:[X 0,X 1][X 0 3,X 0 2X 1,X 0X 1 2,X 1 3]c:[X_0,X_1]\mapsto [X_0^3, X_0^2 X_1, X_0 X_1^2, X_1^3]. Pokaži da je zakrenuta kubika projektivna krivulja koja se može predstaviti kao presjek triju kvadrika (= kvadratnih hiperploha), Q 0,Q 1,Q 2Q_0, Q_1, Q_2 u P 3\mathbf{P}^3, koje su dane redom kao nule homogenih kvadratnih polinoma F 0(Z)=Z 0Z 2Z 1 2F_0(Z) = Z_0 Z_2 - Z_1^2, F 1(Z)=Z 0Z 3Z 1Z 2F_1(Z) = Z_0 Z_3 - Z_1 Z_2, F 3(Z)=Z 1Z 3Z 2 2F_3(Z) = Z_1 Z_3 - Z_2^2. Definirajmo općenitije kvadriku Q λQ_\lambda za homogeni parametar λ=[λ 1,λ 2,λ 3]P 3\lambda = [\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3]\in \mathbf{P}^3 kao nulu od F λ=λ 1F 1+λ 2F 2+λ 3F 3F_\lambda = \lambda_1 F_1 + \lambda_2 F_2 + \lambda_3 F_3. Pokaži da je tada Q λQ μQ_\lambda\cap Q_\mu za svaki par λμ\lambda\neq\mu unija zakrenute kubike C λμC_{\lambda\mu} i pravca L λμL_{\lambda\mu}.

Sjetimo se da je ireducibilna projektivna višestrukost YY dimenzije kk u P n\mathbf{P}^n skupovno potpuni presjek (set-theoretic complete intersection) ako postoji nkn-k hiperploha takav da je YY presjek njihovih lokusa; drugim riječima postoji nkn-k homogenih jednadžbi čije nultočke su točno YY. Projektivna višestrukost YY je striktni potpuni presjek (strict complete intersection) ako postoji nkn-k homogenih polinoma koji generiraju I(Y)K[Z 0,,Z n]I(Y)\subset K[Z_0,\ldots,Z_n]. To je očito jači uvjet. Pokaži da je zakrenuta kubika skupovni potpuni presjek, naime skupovni presjek jedne kubike i jedne kvadrike u P 3\mathbf{P}^3. činjenica je da nije striktni potpuni presjek, što je teže dokazati, pa samo pokaži da za jednu takvu kubiku i kvadriku, koje je čine skupovnim presjekom, dani polinomi ne generiraju I(Y)I(Y).

Z11. (VAR6) Homogeni Nullstelensatz (projektvni analogon Nullstellensatza) kaže da ako je KK algebarski zatvoreno polje, IS=K[X 0,,X n]I\subset S = K[X_0,\ldots,X_n] homogeni ideal i fSf\in S takav da f(p)=0f(p)=0 za svaku točku pP np\in\mathbf{P}^n takvu da svi elementi od II iščezavaju u pp, tada postoji prirodan broj r1r\geq 1 takav da f rIf^r\in I. Dokaži taj teorem pretpostavljajući afini slučaj, tj. običan Hilbertov teorem o nulama.

Z12. (VAR7) Afini prostor A n\mathbf{A}^n možemo uložiti kao skup u P n\mathbf{P}^n na n+1n+1-standardnih načina, naime preslikavanjem i r:(x 1,,x n)[x 0,x 1,,x r,1,x r+1,,x n]i_r : (x_1,\ldots,x_n)\mapsto [x_0,x_1,\ldots, x_r, 1, x_{r+1},\ldots,x_n] za r=0,1,,nr = 0,1,\ldots,n. Dokaži da je slika (A n) r:=i r(A n)P n(\mathbf{A}^n)_r := i_r(\mathbf{A^n})\subset \mathbf{P}^n Zariski otvoren gust podskup od P n\mathbf{P}^n i da je i ri_r regularno preslikavanje, koje je izomorfizam na sliku.

Z13. (VAR8) Neka je CP nC\subset\mathbf{P}^n projektivna višestrukost s homogenim idealom I(X)K[X 0,,X n]I(X)\subset K[X_0,\ldots,X_n]. Promatrajmo afini prostor A n+1\mathbf{A}^{n+1} čije ćemo obične koordinate iznimno također označiti s X 0,,X nX_0,\ldots,X_n. Možemo gledati “tautološku projekciju” p:(A n+1\{0})P np:(\mathbf{A}^{n+1}\backslash \{0\})\to \mathbf{P}^n danu s (X 0,,X n)[X 0,,X n](X_0,\ldots,X_n)\mapsto [X_0,\ldots,X_n]. Dokaži da je p 1(X){0}A np^{-1}(X)\cup\{0\} \subset \mathbf{A}^n afina višestrukost C XC_X “konus nad XX”, čiji ideal I(C X)K[X 0,,X n]I(C_X)\subset K[X_0,\ldots,X_n] je točno jednak (kao skup) homogenom idealu I(X)K[X 0,,X n]I(X)\subset K[X_0,\ldots,X_n].

Z14. (VAR9) (Univerzalno svojstvo produkta iz Segreovog ulaganja?)

Z15. (gluing sheaves, Hartshorne Ex. 2.1.22)

Z16. Snop FF nad topološkim prostorom XX je lokalno konstantan ako za svaku točku xx postoji otvorena okolina UxU\ni x takva da je restrikcija F| UF|_U snop nad UU koji je konstantan, tj. za svaki neprazni VUV\subset U F(V)=F(U)F(V)=F(U) (gdje je jednakost dana identifikacijom po restrikciji). Neka je XX irreducibilni prostor. Tada je svaki lokalni konstantan snop nad XX konstantan na cijelom XX. (Ne zaboravi koristiti svojstvo snopa, to ne vrijedi za predsnopove)

Z??. (pristup reprezentabilnim funktorima preko univerzalnog elementa)

Last revised on April 19, 2013 at 02:15:07. See the history of this page for a list of all contributions to it.