Zoran Skoda hom12hw

Z0. Podrazumijeva se da je svaki student u detalje razradio adjunkciju između etalnih prostora i snopova nad istom bazom.

Z1. Zadatak (proširenje snopa s baze na cijeli topološki prostor) je dan na stranici sheaf on base.

Z2. Dokaži: Ako u danoj kategoriji $C$ postoje ujednačitelji i produkti proizvoljnog skupa objekata, tada postoje limesi svih malih dijagrama.

Z3. Neka je $d:D\to C$ mali dijagram u kategoriji $C$. Yonedino ulaganje $h: C\to \hat{C}$, $h:X\mapsto h_X = C(-,X)$ je kovarijantan funktor koji inducira mali dijagram $h_d: D\to\hat{C}$ dan s $h_d(x) = C(-,d(x))$ i za svaki konus $\alpha: const_a\to d$ nad $d$ inducira konus $\hat{\alpha}$ nad $h_d$. Pokaži da ako je $\alpha$ univerzalan, da je i $\hat{\alpha}$ univerzalan. Drugim riječima, Yoneda šalje limese u limese. S druge strane Yoneda ne šalje colimese u colimese. Pokaži i da Yoneda šalje monomorfizme u monomorfizme.

Z4. Pokaži da kategorija etalnih prostora nad fiksnom bazom $B$ ima (kategorijske) produkte. Neka su $E$ i $F$ etalni prostori nad bazom $B$. Definiraj etalni prostor $\mathcal{Hom}_B(E,F)$ nad $B$ klica lokalnih morfizama etalnih prostora tako da $\mathcal{Hom}_B$ bude bifunktor kontravarijantan u prvom i kovarijantan u drugom argumentu s vrijednostima u etalnim prostorima, i tako da vrijedi adjunkcija s kartezijevim produktom etalnih prostora nad $B$, tj.

$$Hom(E,\mathcal{Hom}_B(F,G)) \cong Hom(E\times F,G)$$

prirodna u svakom argumentu, gdje su $E,F,G$ etalni prostori nad $B$.

Z5. Kategorija $C$ zajedno s bifunktorom “monoidalnog produkta” $\otimes : C\times C\to C$ i istaknutim “jediničnim” objektom $\mathbf{1}$ je striktna monoidalna ako je $\otimes$ asocijativan i $\mathbf{1}\otimes X = X = X\otimes 1$. Obično se promatraju monoidalne kategorije koje nisu struktne, tj. asocijativnost i svojstvo jediničnog objekta su zadovoljeni s prirodnim izomorfizmima funktora umjesto jednakosti (uz neka svojstva koherencije). Npr. ako u kategoriji u kojoj postoje inicijalni objekta i produkti parova objekata izaberemo po jedan produkt za svaki par, možemo po univerzalnosti produljiti taj izbor do bifunktora; jedinični objekt je inicijalni objekt i kategorija postoja monoidalna. Takvu monoidalnu kategoriju nazivamo kartezijeva monoidalna kategorija. Neka je neka monoidalna kategorija (radi jednostavnosti, striktna) zatvorena, tj, postoji inner $\mathcal{Hom}$ koji je desno adjungiran tenzorskom produktu, tj. postoji bijekcija

$$Hom(E,\mathcal{Hom}(F,G)) \cong Hom(E\otimes F,G)$$

prirodna u proizvoljna tri objekta $E,F,G$ u $C$. Pokažite da tada postoji izomorfizam u $C$ među inner homovima

$$\mathcal{Hom}(E,\mathcal{Hom}_B(F,G)) \cong \mathcal{Hom}(E\otimes F,G)$$

(Uputa: dokažite prirodnu bijekciju

$$Hom(H,\mathcal{Hom}(E,\mathcal{Hom}_B(F,G))) \cong Hom(H,\mathcal{Hom}(E\otimes F,G))$$

prirodnu u $H,E,F,G$ i koristite Yonedinu lemu.

Z6. (VAR1) Pokažite da je topologija Zariskog na afinim višestrukostima topologija.

Z7. (VAR2a) Topološki prostor $X$ je ireducibilan ako je neprazan i ako je zadovoljen jedan od slijedećih ekvivalentnih uvjeta

(i) svaki neprazan otvoreni podskup $U\subset X$ je gust u $X$

(ii) svaka dva neprazna otvorena podskupa se sijeku

(iii) $X$ se ne može predstaviti kao unija dva zatvorena podskupa od kojih ni jedan nije podskup drugoga

(iiia) $X$ se ne može predstaviti kao unija dva zatvorena podskupa od kojih ni jedan nije cijeli $X$ (tj. “dva prava zatvorena podskupa”)

Dokaži da su uvjeti (i)-(iiia) zaista ekvivalentni.

(VAR2b) Topološki prostor $X$ je neterski ako se svaki padajući lanac zatvorenih podprostora $X\supset X_1\supset X_2\supset \ldots$ stabilizira. Dokaži da za takve prostore vrijedi: postoji konačno mnogo zatvorenih ireducibilnih podskupova $X_i$, $i=1,\ldots,n$, takvih da vrijedi $\cup_{i=1}^n X_i = X$ i za svaki par $i\neq j$ nije $X_i\subset X_j$. Pokaži i da je familija skupova $X_i$ u tom rastavu od $X$ jedinstvena do na prenumeraciju. Kažemo da su $X_i$ ireducibilne komponente prostora $X$.

(VAR2c) Neka je $X$ neterski topološki prostor i $M\subset X$ neki njegov podskup, čije zatvorenje u $X$ je $\bar{M}$. Ako je $M = \cup_i M_i$ razlaganje od $M$ na ireducibilne komponente, tada je $\bar{M} = \cup_i \bar{M}_i$ razlaganje od $\bar{M}$ na ireducibilne komponente. (Korolar: $M$ je ireducibilan onda i samo onda ako je $\bar{M}$ ireducibilan)

Z8 (VAR3) Ako je ideal $I$ u graduiranom prstenu/(asocijativnoj) algebri $R = \oplus_{n=0}^\infty R_n$ homogen, tj. $I = \oplus_{n=0}^\infty (R_n\cap I)$, onda kvocijent ima kanonsku strukturu graduiranog prstena (algebre) takvu da je kvocijentno preslikavanje $R\to R/I$ preslikavanje graduiranih prstenova (algebri).

Z9. (VAR4) Po definiciji, (moguće nekomutativan) prsten je lijevi Neterin ako se svaki uzlazni niz lijevih ideala $I_0\subset _1 \subset I_2\subset...$ od $R$ stabilizira, tj. relacija $I_n\subset I_{n+1}$ za svaki $n$ počevši od nekog konačnog $n_0$. Pokaži da je to svojstvo ekvivalentno svojstvu da je svaki lijevi ideal konačno generiran.

Z10. (VAR5) Afina zakrenuta kubika $C^{aff}$ u afinom prostoru je slika regularnog preslikavanja $c_{aff}:\mathbf{A}^1\to\mathbf{A}^3$ danom s $x\mapsto (x,x^2,x^3)$. Pokaži da je ta slika afina višestrukost čiji koordinatni prsten $K[C^{aff}]$ je izomorfan $K[\mathbf{A}^1]$, pri čemu je izomorfizam induciran parametrizacijom $c_{aff}$. Ako $\mathbf{A}^3$ uložimo u $\mathbf{P}^3$ onda možemo gledati zatvorenje afine zakrenute kubike u topologiji Zariskog od $\mathbf{P}^3$ koje ćemo zvati projektivna zakrenuta kubika, ili, jednostavno, zakrenuta kubika (twisted cubic). Pokaži da je zakrenuta kubika slika regularnog preslikavanja $c:\mathbf{P}^1\to \mathbf{P}^3$ danim u homogenim koordinatama formulom $c:[X_0,X_1]\mapsto [X_0^3, X_0^2 X_1, X_0 X_1^2, X_1^3]$. Pokaži da je zakrenuta kubika projektivna krivulja koja se može predstaviti kao presjek triju kvadrika (= kvadratnih hiperploha), $Q_0, Q_1, Q_2$ u $\mathbf{P}^3$, koje su dane redom kao nule homogenih kvadratnih polinoma $F_0(Z) = Z_0 Z_2 - Z_1^2$, $F_1(Z) = Z_0 Z_3 - Z_1 Z_2$, $F_3(Z) = Z_1 Z_3 - Z_2^2$. Definirajmo općenitije kvadriku $Q_\lambda$ za homogeni parametar $\lambda = [\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3]\in \mathbf{P}^3$ kao nulu od $F_\lambda = \lambda_1 F_1 + \lambda_2 F_2 + \lambda_3 F_3$. Pokaži da je tada $Q_\lambda\cap Q_\mu$ za svaki par $\lambda\neq\mu$ unija zakrenute kubike $C_{\lambda\mu}$ i pravca $L_{\lambda\mu}$.

Sjetimo se da je ireducibilna projektivna višestrukost $Y$ dimenzije $k$ u $\mathbf{P}^n$ skupovno potpuni presjek (set-theoretic complete intersection) ako postoji $n-k$ hiperploha takav da je $Y$ presjek njihovih lokusa; drugim riječima postoji $n-k$ homogenih jednadžbi čije nultočke su točno $Y$. Projektivna višestrukost $Y$ je striktni potpuni presjek (strict complete intersection) ako postoji $n-k$ homogenih polinoma koji generiraju $I(Y)\subset K[Z_0,\ldots,Z_n]$. To je očito jači uvjet. Pokaži da je zakrenuta kubika skupovni potpuni presjek, naime skupovni presjek jedne kubike i jedne kvadrike u $\mathbf{P}^3$. činjenica je da nije striktni potpuni presjek, što je teže dokazati, pa samo pokaži da za jednu takvu kubiku i kvadriku, koje je čine skupovnim presjekom, dani polinomi ne generiraju $I(Y)$.

Z11. (VAR6) Homogeni Nullstelensatz (projektvni analogon Nullstellensatza) kaže da ako je $K$ algebarski zatvoreno polje, $I\subset S = K[X_0,\ldots,X_n]$ homogeni ideal i $f\in S$ takav da $f(p)=0$ za svaku točku $p\in\mathbf{P}^n$ takvu da svi elementi od $I$ iščezavaju u $p$, tada postoji prirodan broj $r\geq 1$ takav da $f^r\in I$. Dokaži taj teorem pretpostavljajući afini slučaj, tj. običan Hilbertov teorem o nulama.

Z12. (VAR7) Afini prostor $\mathbf{A}^n$ možemo uložiti kao skup u $\mathbf{P}^n$ na $n+1$-standardnih načina, naime preslikavanjem $i_r : (x_1,\ldots,x_n)\mapsto [x_0,x_1,\ldots, x_r, 1, x_{r+1},\ldots,x_n]$ za $r = 0,1,\ldots,n$. Dokaži da je slika $(\mathbf{A}^n)_r := i_r(\mathbf{A^n})\subset \mathbf{P}^n$ Zariski otvoren gust podskup od $\mathbf{P}^n$ i da je $i_r$ regularno preslikavanje, koje je izomorfizam na sliku.

Z13. (VAR8) Neka je $C\subset\mathbf{P}^n$ projektivna višestrukost s homogenim idealom $I(X)\subset K[X_0,\ldots,X_n]$. Promatrajmo afini prostor $\mathbf{A}^{n+1}$ čije ćemo obične koordinate iznimno također označiti s $X_0,\ldots,X_n$. Možemo gledati “tautološku projekciju” $p:(\mathbf{A}^{n+1}\backslash \{0\})\to \mathbf{P}^n$ danu s $(X_0,\ldots,X_n)\mapsto [X_0,\ldots,X_n]$. Dokaži da je $p^{-1}(X)\cup\{0\} \subset \mathbf{A}^n$ afina višestrukost $C_X$ “konus nad $X$”, čiji ideal $I(C_X)\subset K[X_0,\ldots,X_n]$ je točno jednak (kao skup) homogenom idealu $I(X)\subset K[X_0,\ldots,X_n]$.

Z14. (VAR9) (Univerzalno svojstvo produkta iz Segreovog ulaganja?)

Z15. (gluing sheaves, Hartshorne Ex. 2.1.22)

Z16. Snop $F$ nad topološkim prostorom $X$ je lokalno konstantan ako za svaku točku $x$ postoji otvorena okolina $U\ni x$ takva da je restrikcija $F|_U$ snop nad $U$ koji je konstantan, tj. za svaki neprazni $V\subset U$ $F(V)=F(U)$ (gdje je jednakost dana identifikacijom po restrikciji). Neka je $X$ irreducibilni prostor. Tada je svaki lokalni konstantan snop nad $X$ konstantan na cijelom $X$. (Ne zaboravi koristiti svojstvo snopa, to ne vrijedi za predsnopove)

Z??. (pristup reprezentabilnim funktorima preko univerzalnog elementa)