Zoran Skoda
homotopija lekcija4

Ova lekcija iz serije kolegija homotopija u raznim kategorijama u srijedu 2. prosinca, a posvećena je Quillenovim modelnim kategorijama. Lekcija još nije napisana, a bit će za nekoliko dana. Osnovna literatura za ovu i slijedećih nekoliko lekcija je glava 7 Hirschhornove knjige – tu glavu (koja ne pretpostavlja znanje prethodnih jer je nezavisna) ću vam dati kao fajl ili kao printout:

  • P. Hirschhorn, Model categories and their localization

Za teoriju homotopije topoloških prostora važni pojmovi su Hurewiczeve fibracije, kofibracije i homotopske ekvivalencije. Za posebno lijepe prostore, kao što su CW kompleksi, homotopske ekvivalencije se mogu zamijeniti tzv. slabim homotopskim ekvivalencijama, a Hurewiczeve fibracije Serrovim fibracijama. Postoji još niz drugih situacija koje su analogne, i u svim takvim situacijama postoji zadovoljavajuća teorija homotopije. Prvu i najrašireniju aksiomatizaciju kategorija a apstraktnom teorijom kategorija, predložio je Quillen pod nazivom “zatvorene modelne kategorije”, gdje mi danas ispuštamo “zatvorene”.

Neka je MM kategorija. Tada s arr(M)arr(M) označavamo kategoriju strelica (arrow category) u MM: morfizmi afba \stackrel{f}{\to} b od MM su objekti u arr(M)arr(M) a komutativni kvadrati gu=vfg\circ u=v\circ f

a u c f g b v d \array{ a &\stackrel{u}{\to}& c \\ \downarrow^f && \downarrow^g \\ b &\stackrel{v}{\to}& d }

su morfizmi (u,v):fg(u,v) : f \rightarrow g u arr(M)arr(M). Komutativni kvadrat gu=vfg\circ u=v\circ f se nekad zove i problem podizanja između ff i gg (nešto općenitije nego smo mi prije radili s trokutima).

Kažemo da ff zadovoljava svojstvo lijevog podizanja u odnosu na gg,ili ekvivalentno da gg ima svojstvo desnog podizanja u odnosu na ff, ako za svaki komutativni kvadrat (u,v):fg(u,v) :f \rightarrow g kao gore, postoji morfizam γ\gamma

a u c f γ g b v d \array{ a &\stackrel{u}{\to}& c \\ \downarrow^f &{}^{\exists \gamma}\nearrow& \downarrow^g \\ b &\stackrel{v}{\to}& d }

iz kodomene bb od ff u domenu cc od gg takav da oba trokuta u dijagramu komutiraju. Kažemo da je γ\gamma podizanje ili rješenje problema podizanja (u,v)(u,v).

Quillenova modelna kategorija je kategorija MM u kojoj su zadane tri klase morfizama W,C,FW,C,F; morfizme iz CC zanivamo kofibracije, morfizme iz FF fibracije i morfizme iz WW slabe ekvivalencije. Morfizme iz CWC\cap W zovemo trivijalne (ili acikličke) kofibracije, a morfizme iz FWF\cap W zovemo trivijalne (ili acikličke) fibracije.

Pri tome se zahtijeva da za klase C,F,WC,F,W vrijedi izvjesna lista aksioma (CM1-CM4).

(CM1) (Two out of three axiom) If ff and gg are maps in MM such that gfg\circ f is defined and two of ff, gg, and gfg\circ f are weak equivalences, then so is the third.

(CM2) (Retract axiom) If ff and gg are maps in MM such that ff is a retract of gg (in the category arr(M)arr(M) of maps of MM) and gg is a weak equivalence, a fibration, or a cofibration, then so is ff.

(CM3) (Lifting axiom) Given the commutative solid arrow diagram in MM

A E i p X B\array{ A&\to&E\\ i\downarrow&&\downarrow p\\ X&\to&B }

there is a map XEX\to E making the diagram commute if either (1) ii is a cofibration and pp is a trivial fibration
or (2) ii is a trivial cofibration and pp is a fibration.

(CM4) (Factorization axiom) Every map hh in MM can be functorially decomposed as

(1) h=qih = q\circ i, where ii is a cofibration and qq is a trivial fibration, and as

(2) h=pjh = p\circ j, where jj is a trivial cofibration and p is a fibration.

Na kraju se obično traži i tehnički uvjet (nekad malo oslabljen)

(CM0) u kategoriji MM postoje sume i produkti proizvoljne porodice objekata, kao i istisci (pushout) i povlačenja (pullback), kao u topološkim prostorima. Ti pojmovi (kategorijski produkt, istisak, kategorijski koprodukt ili suma) su djelomično objašnjeni u lekcijama 1-3.

Slabi faktorizacijski sustav na kategoriji CC je par klasa morfizama L,RMor(C)L,R\subset Mor(C) takvih da

  1. morfizmi iz RR su oni i samo oni morfizmi u CC koji zadovoljavaju desno svojstvo podizanja u odnosu na sve morfizme u klasi LL,

  2. morfizmi iz LL su oni i samo oni morfizmi u CC koji zadovoljavaju lijevo svojstvo podizanja u odnosu na sve morfizme u klasi LL,

  3. svaki morfizam ff u CC se može napisati kao kompozicija f=rlf= r\circ l s lLl\in L i rRr\in R.

Propozicija. CC s klasama morfizama (W,C,F)(W,C,F) je Quillenova modelna kategorija ako i samo ako vrijedi (CM0) i (CM1) (two-out-of-three axiom), onaj dio od (CM2) koji se odnosi na slabe ekvivalencije, te ako su parovi (C,FW)(C,F\cap W), (CW,F)(C\cap W,F) slabi faktorizacijski sustavi.

Primjer. Kategorija TopTop svih topoloških prostora je modelna kategorija ako za WW odaberemo klasu homotopskih ekvivalencija, za CC klasu kofibracija s zatvorenom slikom i za FF klasu (Hurewitzevih) fibracija.

Sjetimo se sad pojma suprotne/dvojstvene/dualne kategorije (vidi opposite category). Vrijedi

Propozicija. (dvojstvo) Neka je (M,W,C,F)(M,W,C,F) modelna kategorija. Tada je (M ,W ,F ,C )(M^\circ, W^\circ, F^\circ, C^\circ) također modelna kategorija. Primijeti da su uloge fibracija i kofibracija zamijenjene u dualnoj kategoriji (to je jasno i iz faktorizacijskog aksioma).

Last revised on January 19, 2010 at 16:23:53. See the history of this page for a list of all contributions to it.