Ova lekcija iz serije kolegija homotopija u raznim kategorijama u srijedu 2. prosinca, a posvećena je Quillenovim modelnim kategorijama. Lekcija još nije napisana, a bit će za nekoliko dana. Osnovna literatura za ovu i slijedećih nekoliko lekcija je glava 7 Hirschhornove knjige – tu glavu (koja ne pretpostavlja znanje prethodnih jer je nezavisna) ću vam dati kao fajl ili kao printout:
Za teoriju homotopije topoloških prostora važni pojmovi su Hurewiczeve fibracije, kofibracije i homotopske ekvivalencije. Za posebno lijepe prostore, kao što su CW kompleksi, homotopske ekvivalencije se mogu zamijeniti tzv. slabim homotopskim ekvivalencijama, a Hurewiczeve fibracije Serrovim fibracijama. Postoji još niz drugih situacija koje su analogne, i u svim takvim situacijama postoji zadovoljavajuća teorija homotopije. Prvu i najrašireniju aksiomatizaciju kategorija a apstraktnom teorijom kategorija, predložio je Quillen pod nazivom “zatvorene modelne kategorije”, gdje mi danas ispuštamo “zatvorene”.
Neka je kategorija. Tada s označavamo kategoriju strelica (arrow category) u : morfizmi od su objekti u a komutativni kvadrati
su morfizmi u . Komutativni kvadrat se nekad zove i problem podizanja između i (nešto općenitije nego smo mi prije radili s trokutima).
Kažemo da zadovoljava svojstvo lijevog podizanja u odnosu na ,ili ekvivalentno da ima svojstvo desnog podizanja u odnosu na , ako za svaki komutativni kvadrat kao gore, postoji morfizam
iz kodomene od u domenu od takav da oba trokuta u dijagramu komutiraju. Kažemo da je podizanje ili rješenje problema podizanja .
Quillenova modelna kategorija je kategorija u kojoj su zadane tri klase morfizama ; morfizme iz zanivamo kofibracije, morfizme iz fibracije i morfizme iz slabe ekvivalencije. Morfizme iz zovemo trivijalne (ili acikličke) kofibracije, a morfizme iz zovemo trivijalne (ili acikličke) fibracije.
Pri tome se zahtijeva da za klase vrijedi izvjesna lista aksioma (CM1-CM4).
(CM1) (Two out of three axiom) If and are maps in such that is defined and two of , , and are weak equivalences, then so is the third.
(CM2) (Retract axiom) If and are maps in such that is a retract of (in the category of maps of ) and is a weak equivalence, a fibration, or a cofibration, then so is .
(CM3) (Lifting axiom) Given the commutative solid arrow diagram in
there is a map making the diagram commute if either (1) is a cofibration and is a trivial fibration
or (2) is a trivial cofibration and is a fibration.
(CM4) (Factorization axiom) Every map in can be functorially decomposed as
(1) , where is a cofibration and is a trivial fibration, and as
(2) , where is a trivial cofibration and p is a fibration.
Na kraju se obično traži i tehnički uvjet (nekad malo oslabljen)
(CM0) u kategoriji postoje sume i produkti proizvoljne porodice objekata, kao i istisci (pushout) i povlačenja (pullback), kao u topološkim prostorima. Ti pojmovi (kategorijski produkt, istisak, kategorijski koprodukt ili suma) su djelomično objašnjeni u lekcijama 1-3.
Slabi faktorizacijski sustav na kategoriji je par klasa morfizama takvih da
morfizmi iz su oni i samo oni morfizmi u koji zadovoljavaju desno svojstvo podizanja u odnosu na sve morfizme u klasi ,
morfizmi iz su oni i samo oni morfizmi u koji zadovoljavaju lijevo svojstvo podizanja u odnosu na sve morfizme u klasi ,
svaki morfizam u se može napisati kao kompozicija s i .
Propozicija. s klasama morfizama je Quillenova modelna kategorija ako i samo ako vrijedi (CM0) i (CM1) (two-out-of-three axiom), onaj dio od (CM2) koji se odnosi na slabe ekvivalencije, te ako su parovi , slabi faktorizacijski sustavi.
Primjer. Kategorija svih topoloških prostora je modelna kategorija ako za odaberemo klasu homotopskih ekvivalencija, za klasu kofibracija s zatvorenom slikom i za klasu (Hurewitzevih) fibracija.
Sjetimo se sad pojma suprotne/dvojstvene/dualne kategorije (vidi opposite category). Vrijedi
Propozicija. (dvojstvo) Neka je modelna kategorija. Tada je također modelna kategorija. Primijeti da su uloge fibracija i kofibracija zamijenjene u dualnoj kategoriji (to je jasno i iz faktorizacijskog aksioma).
Last revised on January 19, 2010 at 16:23:53. See the history of this page for a list of all contributions to it.