Zoran Skoda homotopija lekcija4

Ova lekcija iz serije kolegija homotopija u raznim kategorijama u srijedu 2. prosinca, a posvećena je Quillenovim modelnim kategorijama. Lekcija još nije napisana, a bit će za nekoliko dana. Osnovna literatura za ovu i slijedećih nekoliko lekcija je glava 7 Hirschhornove knjige – tu glavu (koja ne pretpostavlja znanje prethodnih jer je nezavisna) ću vam dati kao fajl ili kao printout:

• P. Hirschhorn, Model categories and their localization

Za teoriju homotopije topoloških prostora važni pojmovi su Hurewiczeve fibracije, kofibracije i homotopske ekvivalencije. Za posebno lijepe prostore, kao što su CW kompleksi, homotopske ekvivalencije se mogu zamijeniti tzv. slabim homotopskim ekvivalencijama, a Hurewiczeve fibracije Serrovim fibracijama. Postoji još niz drugih situacija koje su analogne, i u svim takvim situacijama postoji zadovoljavajuća teorija homotopije. Prvu i najrašireniju aksiomatizaciju kategorija a apstraktnom teorijom kategorija, predložio je Quillen pod nazivom “zatvorene modelne kategorije”, gdje mi danas ispuštamo “zatvorene”.

Neka je $M$ kategorija. Tada s $arr(M)$ označavamo kategoriju strelica (arrow category) u $M$: morfizmi $a \stackrel{f}{\to} b$ od $M$ su objekti u $arr(M)$ a komutativni kvadrati $g\circ u=v\circ f$

$$\array{ a &\stackrel{u}{\to}& c \\ \downarrow^f && \downarrow^g \\ b &\stackrel{v}{\to}& d }$$

su morfizmi $(u,v) : f \rightarrow g$ u $arr(M)$. Komutativni kvadrat $g\circ u=v\circ f$ se nekad zove i problem podizanja između $f$ i $g$ (nešto općenitije nego smo mi prije radili s trokutima).

Kažemo da $f$ zadovoljava svojstvo lijevog podizanja u odnosu na $g$,ili ekvivalentno da $g$ ima svojstvo desnog podizanja u odnosu na $f$, ako za svaki komutativni kvadrat $(u,v) :f \rightarrow g$ kao gore, postoji morfizam $\gamma$

$$\array{ a &\stackrel{u}{\to}& c \\ \downarrow^f &{}^{\exists \gamma}\nearrow& \downarrow^g \\ b &\stackrel{v}{\to}& d }$$

iz kodomene $b$ od $f$ u domenu $c$ od $g$ takav da oba trokuta u dijagramu komutiraju. Kažemo da je $\gamma$ podizanje ili rješenje problema podizanja $(u,v)$.

Quillenova modelna kategorija je kategorija $M$ u kojoj su zadane tri klase morfizama $W,C,F$; morfizme iz $C$ zanivamo kofibracije, morfizme iz $F$ fibracije i morfizme iz $W$ slabe ekvivalencije. Morfizme iz $C\cap W$ zovemo trivijalne (ili acikličke) kofibracije, a morfizme iz $F\cap W$ zovemo trivijalne (ili acikličke) fibracije.

Pri tome se zahtijeva da za klase $C,F,W$ vrijedi izvjesna lista aksioma (CM1-CM4).

(CM1) (Two out of three axiom) If $f$ and $g$ are maps in $M$ such that $g\circ f$ is defined and two of $f$, $g$, and $g\circ f$ are weak equivalences, then so is the third.

(CM2) (Retract axiom) If $f$ and $g$ are maps in $M$ such that $f$ is a retract of $g$ (in the category $arr(M)$ of maps of $M$) and $g$ is a weak equivalence, a fibration, or a cofibration, then so is $f$.

(CM3) (Lifting axiom) Given the commutative solid arrow diagram in $M$

$$\array{ A&\to&E\\ i\downarrow&&\downarrow p\\ X&\to&B }$$

there is a map $X\to E$ making the diagram commute if either (1) $i$ is a cofibration and $p$ is a trivial fibration
or (2) $i$ is a trivial cofibration and $p$ is a fibration.

(CM4) (Factorization axiom) Every map $h$ in $M$ can be functorially decomposed as

(1) $h = q\circ i$, where $i$ is a cofibration and $q$ is a trivial fibration, and as

(2) $h = p\circ j$, where $j$ is a trivial cofibration and p is a fibration.

Na kraju se obično traži i tehnički uvjet (nekad malo oslabljen)

(CM0) u kategoriji $M$ postoje sume i produkti proizvoljne porodice objekata, kao i istisci (pushout) i povlačenja (pullback), kao u topološkim prostorima. Ti pojmovi (kategorijski produkt, istisak, kategorijski koprodukt ili suma) su djelomično objašnjeni u lekcijama 1-3.

Slabi faktorizacijski sustav na kategoriji $C$ je par klasa morfizama $L,R\subset Mor(C)$ takvih da

1. morfizmi iz $R$ su oni i samo oni morfizmi u $C$ koji zadovoljavaju desno svojstvo podizanja u odnosu na sve morfizme u klasi $L$,

2. morfizmi iz $L$ su oni i samo oni morfizmi u $C$ koji zadovoljavaju lijevo svojstvo podizanja u odnosu na sve morfizme u klasi $L$,

3. svaki morfizam $f$ u $C$ se može napisati kao kompozicija $f= r\circ l$ s $l\in L$ i $r\in R$.

Propozicija. $C$ s klasama morfizama $(W,C,F)$ je Quillenova modelna kategorija ako i samo ako vrijedi (CM0) i (CM1) (two-out-of-three axiom), onaj dio od (CM2) koji se odnosi na slabe ekvivalencije, te ako su parovi $(C,F\cap W)$, $(C\cap W,F)$ slabi faktorizacijski sustavi.

Primjer. Kategorija $Top$ svih topoloških prostora je modelna kategorija ako za $W$ odaberemo klasu homotopskih ekvivalencija, za $C$ klasu kofibracija s zatvorenom slikom i za $F$ klasu (Hurewitzevih) fibracija.

Sjetimo se sad pojma suprotne/dvojstvene/dualne kategorije (vidi opposite category). Vrijedi

Propozicija. (dvojstvo) Neka je $(M,W,C,F)$ modelna kategorija. Tada je $(M^\circ, W^\circ, F^\circ, C^\circ)$ također modelna kategorija. Primijeti da su uloge fibracija i kofibracija zamijenjene u dualnoj kategoriji (to je jasno i iz faktorizacijskog aksioma).