Zoran Skoda homotopija u raznim kategorijama

This is the page for a proposed 30-hour basic 1-semester course on homotopy in various categories (as opposed to just for topological spaces) for my students at the University of Zagreb. The page and the course are in Croatian. The course is officially classified as an advanced graduate course, because it is not in a function of a preparation for one of the qualifying exams (but how can a gentle man get to advanced level in only 30 academic hours?).

Napredni poslijediplomski kolegij, ak. godina 2009/2010, srijedom 18-20, počevši od 4. listopada 2009. Predavaonica: prva dva predavanja na IRB, Seminar Zavoda za teorijsku fiziku (prvo krilo Ruđera, na katu, dok se popnete stepenicama na kat, idete nalijevo). Preliminarni dio bilješki vezanih uz prve lekcije vidi na stranicama pojedinih lekcija: 1, 2, 3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13. Vidi također popis stranica direktno vezanih uz kolegij.

Predavač: doc. Zoran Škoda, Ph.D.

Službeno oglašeni opis kolegija: dvi, pdf

Predavanja ce početi oko 1.11. ako kolegij bude odobren i bude dovoljno slušača.

(A) (UVOD) (A1) Homotopija medju preslikavanjima topoloških prostora, zadaće proširenja i podizanja, pojam retrakta, grupe homotopije (skeč); pojam fibracije (raslojenja), kofibracije i slabe ekvivalentnosti; osnovne operacije (suspenzija, cilindar, konus preslikavanja, fibracija putova, slobodni prostor petlji); dopune iz teorije kategorija: limesi u kategorijama, Yonedina lema, Kanove ekstenzije, adjungirani funktori, kategorijska dualnost; pojam kompaktno generiranih prostora i eksponencijalni zakon u $\mathrm{Top}$, unutarnji hom u kategoriji kompaktno generiranih prostora (oko 6 sati);

(B) (MODELNE KATEGORIJE), osnovna svojstva Quillenovih modelnih kategorija, apstraktni cilindar i objekt puteva, Quillenove adjunkcije i Quillenove ekvivalencije, lokalizacija kategorija, homotopska kategorija modelne kategorije, (ko)fibrantne zamjene (oko 6 sati);

(C) (CW-KOMPLEKSI) amalgamirana suma u $\mathrm{Top}$, ćelijsko prosirenje, relativni CW-kompleks, $n$-skeleton CW-kompleksa, kratki pregled i uloga CW-komplekasa u teoriji homotopija; kategorije CW i CELL; CW-kompleksi kao fibrantni-kofibrantni objekti (2 sata);

(D) (SIMPLICIJALNE METODE): simpleksna kategorija $\Delta$, simplicijalni i kosimplicijalni objekti, epi-mono faktorizacija, generacija licima i degeneracijama, primjeri, $n$-skelet, rogovi, simplicijalni skupovi vs. simplicijalni kompleksi, Kartezijev produkt simplicijalnih skupova, bisimiplicijalni skupovi i Eilenberg-Zilberov teorem, unutarnji hom u $\mathrm{sSet}$, operacija join simplicijalnih skupova, Dwyer-Kanov grupoid petlji, nerv kategorije i geometrijska realizacija, kategorija poliedara i lokalno konačnih poliedara, Kanovi uvjeti, modelne strukture na $\mathrm{sSet}$, homotopske grupe, slabi Kanovi uvjeti i pojam kvazikategorije, zakretajuće funkcije (6 sati);

(E) ((KO)LANČANI KOMPLEKSI): ograničeni i neograničeni (ko)lančani kompleksi, Dold-Kanov teorem, kvaziizomorfizmi, cilindar i konus kompleksa, projektivni i injektivni objekti, modelna struktura, homotopska i derivirana kategorija kategorije komplekasa, tenzorski produkt komplekasa, dg-algebre i dg-koalgebre, bar i kobar konstrukcije, zakretajući kolanci i zakrenuti tenzorski produkt (6 sati);

(F) (GRUPE i KLASIFICIRAJUĆI PROSTORI) klasificirajući prostor i univerzalni svežanj (4 sata).

OSNOVNA LITERATURA (basic literature)

• Z. Škoda, Teorija homotopije u raznim kategorijama (online skripta u pripremi, naglasak na A,C,E,F; veći dio materijala će simultano biti davan online na nlabu kao npr. lekcija1 itd.)

• J. P. May, Simplicial objects in algebraic topology

• P. Hirschhorn, Model categories and their localization (chapters: 7 and a small part of 1 and 8)

DODATNA LITERATURA (additional literature)

• S. Gel’fand, Yu. Manin, Methods of homological algebra, 1988 (rus), 1996 (engl) (ponajvise glava 1 o simplicijalnim skupovima, dio glave 5 o modelnim kategorijama)

• Bodo Pareigis: Category theory dvi ps pdf

• A. Joyal, M. Tierney, Simplicial homotopy theory (preparatory lectures for an advanced course on simplicial methods, Barcelona 2008)

• K. S. Brown, Homotopy theory and generalized sheaf cohomology , Trans.AMS 186 (1973), 419–458 file

• J. P. May, A concise course in algebraic topology pdf file – posebno su korisne glave 6-10.

• N. E. Steenrod, A convenient category of topological spaces, Michigan Math. J. 14 (1967) 133–152, file na projektu euclid

Beside the (1- and higher) category theory, many notions in geometry, topology and algebra are explained at various level of depth and rigour at nlab.

ISPIT se sastoji od dva dijela: zadaće i uvjerljiva prezentacija (na seminaru ili kao ispit) pisane seminarske radnje. Zadaće ću davati tokom kolegija, a obavezno je priložiti veći dio zadaća onog dijela kolegija koji nije obuhvaćen seminarskom radnjom (tj. ako je seminarska radnja duboka i obuhvaća sve to može biti i prazan skup). Uz zadatke koji su neposredne dopune lekcija, bit će jedan veći ciklus zadaća o pojmovima deriviranih funktora u kontekstu modelnih kategorija).

Neke moguće TEME ZA ISPITNI SEMINAR (possible topics for a term paper, more details at hom09teme):

• stabilna kategorija (spektara) kao triangulirana kategorija

• modelne strukture u racionalnoj teoriji homotopija

• limesi u kvazikategorijama

• stablasti (dendroidalni) skupovi

• teorija prepreka (opstrukcija)

• klasificirajući prostor 2-kategorije

• osnovni pojmovi teorije deformacija i Maurer-Cartanova jednadžba (survey)

• pučka (engl. folk) modelna struktura na $\omega\mathrm{Cat}$

• anafunktori i derivirani prostori preslikavanja za 2-groupoide (prema B. Noohi-ju)

• $A_\infty$-prostori, $A_\infty$-algebre i $A_\infty$-operad

• modelne strukture na kategorijama simplicijalnih predsnopova

• homotopski limesi i kolimesi

• klasične modelne strukture na $Top$, $kTop$, $Top_*$ i $kTop_*$

• pojam, diskusija i primjeri simplicijalnih modelnih kategorija