Zoran Skoda inverzija

Potencija točke u odnosu na kružnicu

(vidi Pavković, Veljan, str.264)

Ako je $T$ točka ravnine $M$ i $k(O,r)$ kružnica u $M$ tada postoji pravac kroz $T$ koji siječe kružnicu $k(O,r)$ u dvije različite točke $A$ i $B$ (sekanta na kružnicu). Ako je $T$ van kružnice tada produkt udaljenosti $d(A,T)\cdot d(B,T)\gt 0$ zovemo potencija točke $T$ u odnosu na kružnicu $k(O,r)$, a ako nije van kružnice onda potencijom zovemo $- d(A,T)\cdot d(B,T)\leq 0$. Ako je $T$ na kružnici tada je jedna od te dvije točke sam $T$ i produkt udaljenosti $d(A,T)\cdot d(B,T) = 0$, dakle potencija je također $0$.

Tvrdnja. Definicija potencije je dobra u smislu da ne zavisi od odabira sekante kroz $T$.

To je posljedica teorema o jednakosti obodnih kuteva nad istim lukom.

Inverzija

Ako je $T$ dana točka, $A$ i $A'$ dvije različite točke na polupravcu $T p$ sa vrhom $p$, tada ti podaci određuju bijektivno preslikavanje ravnine bez točke $T$ na samu sebe koje zovemo inverzija.

Neka je $X\neq O$, $X\neq A$, tada je $X$ na polupravcu $T X$ s orijentacijom gdje je $X\geq T$ i ako $O p$ i $T X$ ne određuju isti pravac, tada je trokut $\triangle A T B$ sličan jedinstvenom trokutu $\triangle X' T X$ gdje je kut kod $A$ jednak kutu kod $X$. Točka $X'$ je tada slika po inverziji točke $T$. Zbog sličnosti trokuta dobijemo da je četverokut $A X' X B$ tetivni, tj. ima opisanu kružnicu (koju zovemo kružnica inverzije), i da je $d(A,T) d(B,T) = d(X',T) d (X,T)$, što je do na predznak potencija točke $T$ u odnosu na tu opisanu kružnicu.

category: zadarmat2