Zoran Skoda
inverzija

Potencija točke u odnosu na kružnicu

(vidi Pavković, Veljan, str.264)

Ako je TT točka ravnine MM i k(O,r)k(O,r) kružnica u MM tada postoji pravac kroz TT koji siječe kružnicu k(O,r)k(O,r) u dvije različite točke AA i BB (sekanta na kružnicu). Ako je TT van kružnice tada produkt udaljenosti d(A,T)d(B,T)>0d(A,T)\cdot d(B,T)\gt 0 zovemo potencija točke TT u odnosu na kružnicu k(O,r)k(O,r), a ako nije van kružnice onda potencijom zovemo d(A,T)d(B,T)0- d(A,T)\cdot d(B,T)\leq 0. Ako je TT na kružnici tada je jedna od te dvije točke sam TT i produkt udaljenosti d(A,T)d(B,T)=0d(A,T)\cdot d(B,T) = 0, dakle potencija je također 00.

Tvrdnja. Definicija potencije je dobra u smislu da ne zavisi od odabira sekante kroz TT.

To je posljedica teorema o jednakosti obodnih kuteva nad istim lukom.

Inverzija

Ako je TT dana točka, AA i AA' dvije različite točke na polupravcu TpT p sa vrhom pp, tada ti podaci određuju bijektivno preslikavanje ravnine bez točke TT na samu sebe koje zovemo inverzija.

Neka je XOX\neq O, XAX\neq A, tada je XX na polupravcu TXT X s orijentacijom gdje je XTX\geq T i ako OpO p i TXT X ne određuju isti pravac, tada je trokut ATB\triangle A T B sličan jedinstvenom trokutu XTX\triangle X' T X gdje je kut kod AA jednak kutu kod XX. Točka XX' je tada slika po inverziji točke TT. Zbog sličnosti trokuta dobijemo da je četverokut AXXBA X' X B tetivni, tj. ima opisanu kružnicu (koju zovemo kružnica inverzije), i da je d(A,T)d(B,T)=d(X,T)d(X,T)d(A,T) d(B,T) = d(X',T) d (X,T), što je do na predznak potencija točke TT u odnosu na tu opisanu kružnicu.

category: zadarmat2

Created on May 4, 2016 at 19:38:09. See the history of this page for a list of all contributions to it.