Zoran Skoda
k-prostor

Lagani fakt. Ukoliko je XX Hausdorffov topološki prostor, tada je svaki kompaktan podskup u XX zatvoren.

Propozicija. Zatvoren podskup VV bilo kojeg kompaktnog topološkog prostora CC (čak i ako nije Hausdorffov) je kompaktan.

Dokaz. Bilo koji pokrivač WW od VV je po definiciji inducirane topologije restrikcija pokrivača WW' neke okoline od VV. Taj pokrivač WW' zajedno s komplementom od VV u CC čini pokrivač prostora CC, dakle ima konačni potpokrivač. Isključimo iz tog potpokrivača komplement of VV ukoliko je tamo i dobijemo pokrivač okoline of VV koji se restringira na pokrivač od VV koji je dakle konačan.

Definicija. Hausdorffov topološki prostor XX je kompaktno-generiran ili k-prostor ako je skup VV u XX zatvoren onda i samo onda kad je za svaki kompakt CXC\subset X, CVC\cap V zatvoren. Kategorija k-prostora kTopkTop je puna potkategorija kategorije TopTop topoloških prostora čiji objekti su k-prostori, dakle morfizmi u kTopkTop su neprekidna preslikavanja među k-prostorima.

Primjer: svaki kompaktni prostor, i općenitije, svaki lokalno kompaktni topološki prostor je kompaktno generiran.

Postoji prirodna operacija, zapravo funktor kaonizacije k:HauskTopk:Haus\to kTop koji ima dobra svojstva. Ona je prije svega retrakcija, tj. ako gledamo ulaganje i:kTopHausi:kTop\to Haus, tada je kik=kk i k=k tj. kk restringirano na k-prostore je identiteta. Nadalje kk je desno adjungirani funktor funktoru ii.

Konstrukcija k(X)k(X) je zapravo vrlo jednostavna. Kao skup k(X)=Xk(X)=X. Mi jednostavno deklariramo da su novi zatvoreni podskupovi u k(X)k(X) upravo oni podskupovi VV čiji presjek VCV\cap C sa svakim (starim) kompaktnim podskupom CXC\subset X je zatvoren u XX (po staroj toplogiji u XX). Prvo se provjeri da to definira neku novu topologiju. Može se dalje pokazati da su kompaktni podskupovi u toj novoj topologiji, jednaki kompaktnim podskupovima u staroj topologiji. S time na umu, lako se pokaže da je k(X)k(X) kompaktno generiran.

Kategorija k-prostora ima kategorijske produkte. Ako sa X×YX\times Y označimo običan (Tihonovljev) produkt dva topološka prostora s projekcijama p Xp_X i p Yp_Y, tada nije nužno točno da je pretpostavka da su XX i ZZ k-prostori dovoljna da običan produkt X×YX\times Y bude k-prostor, no k(X×Y)k(X\times Y) jest po definiciji k-prostor. No upravo je taj produkt k(X×Y)k(X\times Y) zajedno sa starim projekcijama p Xp_X, p Yp_Y kategorijski produkt u kTopkTop.

Prostori preslikavanja Map(X,Y)Map(X,Y) (engl. mapping spaces) su u kategoriji topoloških prostora definirani kao skupovi neprekinutih preslikavanja iz XX u YY, zajedno s kompaktno-otvorenom topologijom na tom skupu. U kategoriji kTopkTop kompaktno-otvorenu topologiju zamijenimo s njenom kaonizacijom. Tada je Map(X,Y)Map(X,Y) unutarnji hom u tom prostoru, tj. vrijedi ya sve k-prostore X,Y,BX,Y,B bez izuzetaka eksponencijalni zakon, tj. imamo prirodni homeomorfizam k-prostora

Map(X×Y,B)Map(X,Map(Y,B)). Map(X\times Y,B)\cong Map(X,Map(Y,B)).

Napomena. Mnogi autori promatraju varijantu k-prostora bez uvjeta Hausdorffovosti, no tada je teorija mnogo kompliciranija, i definicije su nešto drugačije. Koga zanima ta teža materija može pogledati englesku stranicu compactly generated space.

Last revised on December 10, 2009 at 15:16:40. See the history of this page for a list of all contributions to it.