Zoran Skoda k-prostor

Lagani fakt. Ukoliko je $X$ Hausdorffov topološki prostor, tada je svaki kompaktan podskup u $X$ zatvoren.

Propozicija. Zatvoren podskup $V$ bilo kojeg kompaktnog topološkog prostora $C$ (čak i ako nije Hausdorffov) je kompaktan.

Dokaz. Bilo koji pokrivač $W$ od $V$ je po definiciji inducirane topologije restrikcija pokrivača $W'$ neke okoline od $V$. Taj pokrivač $W'$ zajedno s komplementom od $V$ u $C$ čini pokrivač prostora $C$, dakle ima konačni potpokrivač. Isključimo iz tog potpokrivača komplement of $V$ ukoliko je tamo i dobijemo pokrivač okoline of $V$ koji se restringira na pokrivač od $V$ koji je dakle konačan.

Definicija. Hausdorffov topološki prostor $X$ je kompaktno-generiran ili k-prostor ako je skup $V$ u $X$ zatvoren onda i samo onda kad je za svaki kompakt $C\subset X$, $C\cap V$ zatvoren. Kategorija k-prostora $kTop$ je puna potkategorija kategorije $Top$ topoloških prostora čiji objekti su k-prostori, dakle morfizmi u $kTop$ su neprekidna preslikavanja među k-prostorima.

Primjer: svaki kompaktni prostor, i općenitije, svaki lokalno kompaktni topološki prostor je kompaktno generiran.

Postoji prirodna operacija, zapravo funktor kaonizacije $k:Haus\to kTop$ koji ima dobra svojstva. Ona je prije svega retrakcija, tj. ako gledamo ulaganje $i:kTop\to Haus$, tada je $k i k=k$ tj. $k$ restringirano na k-prostore je identiteta. Nadalje $k$ je desno adjungirani funktor funktoru $i$.

Konstrukcija $k(X)$ je zapravo vrlo jednostavna. Kao skup $k(X)=X$. Mi jednostavno deklariramo da su novi zatvoreni podskupovi u $k(X)$ upravo oni podskupovi $V$ čiji presjek $V\cap C$ sa svakim (starim) kompaktnim podskupom $C\subset X$ je zatvoren u $X$ (po staroj toplogiji u $X$). Prvo se provjeri da to definira neku novu topologiju. Može se dalje pokazati da su kompaktni podskupovi u toj novoj topologiji, jednaki kompaktnim podskupovima u staroj topologiji. S time na umu, lako se pokaže da je $k(X)$ kompaktno generiran.

Kategorija k-prostora ima kategorijske produkte. Ako sa $X\times Y$ označimo običan (Tihonovljev) produkt dva topološka prostora s projekcijama $p_X$ i $p_Y$, tada nije nužno točno da je pretpostavka da su $X$ i $Z$ k-prostori dovoljna da običan produkt $X\times Y$ bude k-prostor, no $k(X\times Y)$ jest po definiciji k-prostor. No upravo je taj produkt $k(X\times Y)$ zajedno sa starim projekcijama $p_X$, $p_Y$ kategorijski produkt u $kTop$.

Prostori preslikavanja $Map(X,Y)$ (engl. mapping spaces) su u kategoriji topoloških prostora definirani kao skupovi neprekinutih preslikavanja iz $X$ u $Y$, zajedno s kompaktno-otvorenom topologijom na tom skupu. U kategoriji $kTop$ kompaktno-otvorenu topologiju zamijenimo s njenom kaonizacijom. Tada je $Map(X,Y)$ unutarnji hom u tom prostoru, tj. vrijedi ya sve k-prostore $X,Y,B$ bez izuzetaka eksponencijalni zakon, tj. imamo prirodni homeomorfizam k-prostora

$$Map(X\times Y,B)\cong Map(X,Map(Y,B)).$$

Napomena. Mnogi autori promatraju varijantu k-prostora bez uvjeta Hausdorffovosti, no tada je teorija mnogo kompliciranija, i definicije su nešto drugačije. Koga zanima ta teža materija može pogledati englesku stranicu compactly generated space.