Dva skupa i su jednakobrojni ili ekvipotentni ako postoji bijekcija s na . Biti ekvipotentan je relacija ekvivalencije na klasi svih skupova. Zaista,
(TRANZITIVNOST) Moramo pokazati da ako su i ekvipotentni i i ekvipotetni, tada su i ekvipotentni. Zaista, ako su i ekvipotentni tada postoji bijekcija . Ako postoji bijekcija i bijekcija tada je kompozicija također bijekcija, dakle i su zaista ekvipotentni.
(SIMETRIČNOST) Ako su i ekvipotentni tada postoji bijekcija . Inverzna funkcija je tada također bijekcija . Dakle i su ekvipotentni.
(REFLEKSIVNOST) Identiteta je injekcija i surjekcija, dakle bijekcija. Dakle za svaki skup postoji barem jedna bijekcija s na (naime identiteta) pa je ekvipotentan sa samim sobom.
Razredi (klase) ekvivalencije s obzirom na relaciju ekvipotentnosti zovemo kardinalni brojevi ili kardinali. Kardinalni broj je dakle klasa svih skupova za svaki par kojih postoji bijekcija s jednog na drugi. Intuitivno, kardinalni broj je apstraktno svojstvo koje karakterizira sve skupove od elemenata. Skup od salveta je predstavnik te klase, dakle predstavnik kardinalnog broja . Ako je skup predstavnik kardinalnog broja , kažemo da je kardinalnosti .
Prazan skup je ekvipotentan samom sebi; kažemo da prazni skup ima nula elemenata. Sve ostale kardinalnosti imaju mnogo predstavnika.
Kardinalnosti skupova možemo uspoređivati: ako postoji injekcija iz u . U teoriji skupova (s aksiomom izbora) svaka dva skupa su usporediva u smislu da ili ili , a (prema Cantor-Schroeder-Bernsteinovom teoremu) oboje vrijedi akko . Dakle, je relacija nestrogog linearnog uređaja na klasi svih kardinala, štoviše taj uređaj je dobar (svaki podskup ima minimalni element). Kao i obično, nestrogom uređaju odgovara relacija strogog linearnog uređaja
Skup je konačan ako nije ekvipotentan ni jednom svom pravom podskupu (podskup nekog skupa je pravi podskup ako je podskup i različit od tog skupa). Inače je beskonačan. Za kardinalni broj kažemo da je konačan ako je on kardinalni broj konačnog skupa, te kažemo da je beskonačan inače. Kardinalne brojeve nepraznih konačnih skupova možemo identificirati s prirodnim brojevima. Zbrajanje prirodnih brojeva odgovara kardinalnom broju disjunktne unije. Nulu tada identificiramo s kardinalnim brojem praznog skupa. Kako svaka klasa kardinala ima minimalni element, to postoji najmanji beskonačni kardinal, a to je kardinalni broj skupa prirodnih brojeva. Taj kardinal zovemo (hebrejski znak koji se čita alef nula). Ako je skup ekvipotentan sa skupom prirodnih brojeva kažemo da je prebrojivo beskonačan ili da je prebrojiv. Skup je najviše prebrojiv ako je konačan ili prebrojiv. Kardinalnost skupa realnih brojeva je , tj. postoji bijekcija (notacija gdje je kardinalni broj je objašnjena niže).
Jedan prikaz teme o kardinalnim brojevima je u dijelu lekcije mat1-171120-1 i u lekciji mat1-171120-2.
Ako je kardinalnost nekog skupa tada je kardinalnost partitivnog skupa (tj. skupa svih podskupova od ) označena s . Ako je konačan broj, onda je zaista broj koji dobijamo običnim potenciranjem? broja . Zaista, svaki podskup skupa određuje karakterističnom funkcijom tog skupa, koja je zadana s ako je i ako je . S druge strane, svaka funkcija je karakteristična funkcija nekog skupa, naime skupa
Drugim riječima, vrijednost je signal da je ; kako je svaki skup određen svojim elementima to znači da su podskupovi od u bijekciji s funkcijama iz u . Koliko ima takvih funkcija ? Pa za svaki element imamo dva izbora: zadati na tom elementu i zadati na tom elementu. Dakle, za dva elementa imamo načina, za tri elementa, načina itd. Na kraju za elemenata, ako je konačan imamo elemenata.
Ako je kardinal beskonačan, onda je samo oznaka kardinalnosti partitivnog skupa od skupa s elemenata (to možemo uzeti kao definiciju potenciranja za moguće beskonačne kardinale).
Općenitije, ako su i skupovi, tada s
označavamo skup svih funkcija iz u .
Za konačne brojeve vrijedi da je pa tako definiramo potenciranje kardinalnih brojeva koji mogu biti i beskonačni, a je poseban slučaj kad je . Riječima, potencija kardinalnog broja na kardinalni broj je kardinalni broj skupa funkcija iz (ma kojeg) skupa koji je predstavnik od u (ma koji) skup koji je predstavnik od .
Cantorov teorem. Za svaki kardinal vrijedi .
Dokaz. Tvrdnja je očita ako je (postoji injekcija iz praznog skupa u ma koji skup, ali ne postoji injekcija iz jednočlanog skupa u ).
Neka je . Tada postoji injekcija iz u , naime funkcija zadana formulom , je injekcija. To znači da je . Preostaje pokazati . To znači da nije ekvipotentan s . Pretpostavimo suprotno, dakle da neka bijekcija postoji; mi ćemo sad pokazati da čak i slabija tvrdnja da postoji surjekcija vodi na proturječje. Promatrajmo skup ,
Tada postoji element takav da je (jer je surjekcija). Ako je tada pa po definiciji od , a ako onda pa po definiciji od . Dakle, ni jedna od mogućnosti , nije konzistentna. Dakle, nije moguće da postoji surjekcija s na . Time je Cantorov teorem dokazan. Ova ideja dokaza poznata je kao Cantorov dijagonalni argument.
Last revised on February 28, 2023 at 12:18:42. See the history of this page for a list of all contributions to it.