Zoran Skoda
komutativna grupa

Komutativna polugrupa je polugrupa u kojoj je binarna operacija komutativna.

Komutativna grupa ili Abelova grupa je grupa u kojoj je binarna operacija komutativna.

Obično operaciju u takvoj grupi označavamo aditivno, tj. +,,+,\oplus,\cup ili slično, radije nego multiplicativno (tj. ,×,\cdot,\times, \bullet etc.). Naziv operacije je najčešće zbrajanje, adicija, suma, unija ili sličan prikladni naziv.

Ako je V=(V,+)V = (V,+) komutativna grupa, tada najčešće neutralni element zovemo 00, a inverz elementa aa s obzirom na ++ označavamo s a-a i zovemo suprotni element od aa.

Dakle, aksiomi su

  • (asocijativnost) a+(b+c)=(a+b)+ca + (b + c) = (a+ b)+c za sve a,b,cVa,b,c\in V
  • (neutralni element) postoji element 00 takav da 0+a=a=a+00 + a = a = a + 0 za svaki aAa\in A
  • (inverzni element) za svaki aAa\in A postoji element (a)(-a) takav da a+(a)=0=(a)+aa + (-a) = 0 = (-a) + a. Kad koristimo aditivnu notaciju, kažemo radije suprotni element.

Koristimo pokratu aba - b za a+(b)a + (-b).

Kao u svakoj grupi, neutralni element je jedinstven i za svaki element aa njegov suprotni element je jedinstven.

Primjeri i ne-primjeri

Skup (N,+)(\mathbf{N},+) je komutativna polugrupa, ali nije ni monoid, pa dakle ni grupa. Zaista, nedostaju neutralni element i inverzi. Ako dodamo 00 onda imamo monoid (N,+)(\mathbf{N},+), a ako uključimo i negativne brojeve, tada dobivamo skup cijelih brojeva koji je Abelova grupa s obzirom na operaciju zbrajanja.

Skup svih cijelih brojeva nije Abelova grupa s obzirom na operaciju množenja jer jedini cijeli brojevi koji imaju inverz s obzirom a množenje su 11 i 1-1. Skup racionalnih brojeva Q\mathbf{Q} ima inverze svih elemenata osim nule pa nije grupa u odnosu na množenje, ali je Abelova grupa s obzirom na zbrajanje. Ako izuzmemo nulu tada je s diferencija skupova Q\{0}\mathbf{Q}\backslash\{0\} Abelova grupa s obzirom na množenje, s neutralnim elementom 11, a s obzirom na zbrajanje je komutativna polugrupa jer je množenje asocijativno i komutativno, ali nije ni monoid s obzirom na zbrajanje jer nema neutralnog elementa, dakle svakako nije ni grupa.

category: zadarmat4

Last revised on April 27, 2016 at 11:48:58. See the history of this page for a list of all contributions to it.