Zoran Skoda
grupa

Aksiomi grupe

Grupa je binarna algebarska struktura (G,)(G,\cdot) u kojoj operacija \cdot zadovoljava slijedeća svojstva

  • (asocijativnost) g(hk)=(gh)kg\cdot (h\cdot k) = (g\cdot h)\cdot k za sve g,h,kGg,h,k\in G

  • (neutralni element) Postoji element ee koji je neutralan s obzirom a operaciju grupe slijeva i zdesna: eg=g=gee\cdot g = g = g\cdot e (takav element je jedinstven, vidi monoid)

  • (obostrani inverz) Za svaki element gGg\in G postoji element hh koji je istovremeno i lijevi inverz od gg (tj. hg=eh\cdot g = e) i desni inverz od gg (tj. vrijedi gh=eg\cdot h = e).

Binarna algebarska struktura koja je asocijativna naziva se polugrupom. Monoid je polugrupa s neutralnim elementom. Dakle, grupa je monoid u kojoj svaki element ima obostrani inverz.

Ako je GG grupa i gGg\in G tada postoji točno jedan obostrani inverz od gg, pa ga možemo označavati s g 1g^{-1}.

Jedinstvenost obostranog inverza slijedi iz slijedeće propozicije.

Propozicija. Ako u monoidu neki element gg ima lijevi inverz hh i desni inverz kk onda su oni jednaki.

Dokaz. Poseban slučaj asocijativnosti je jednakost

(hg)k=h(gk) (h\cdot g)\cdot k = h\cdot (g\cdot k)

Koristeći pretpostavku hg=e=gkh\cdot g = e = g\cdot k i svojstvo neutralnog elementa ee dobivamo dakle

k=ek=(hg)k=h(gk)=he=h. k = e\cdot k = (h\cdot g)\cdot k = h\cdot (g\cdot k) = h\cdot e = h.

Dakle k=hk = h kako se i tražilo.

Kad imamo desni inverz kk tada dakle svaka dva lijeva inverza moraju biti jednaki njemu, pa su i međusobno jednaki. Kad imamo lijevi inverz tada svaka dva desna inverza moraju biti jednaki tom lijevom pa su i međusobno jednaki. Ako imamo i lijevi i desni inverz tada je to jedan te isti element (i pri tom jedinstven koji je obostrani inverz).

Homomorfizmi

Ako su (G,)(G,\cdot), (H,)(H,\circ) dvije polugrupe, tada za preslikavanje skupova f:GHf:G\to H kažemo da je homomorfizam polugrupa ako za svaka dva elementa a,bGa,b\in G, f(ab)=f(a)f(b)f(a\cdot b) = f(a)\circ f(b). Primijetimo da na lijevoj strani pomnožimo u GG i onda evaluiramo preslikavanje na rezultatu, a na desnoj strani najprije evaluiramo preslikavanje na oba elementa i pomnožimo dobivene vrijednosti u HH. Taj aksiom intuitivno opisujemo riječima “homomorfizam polugrupa čuva operaciju na polugrupi”.

Iz tog aksioma u grupi slijedi da ako je eGe\in G neutralni element za \cdot, tada je f(e)f(e) neutralni element za \circ, drugim riječima svaki homomorfizam polugrupa iz grupe u grupu “čuva neutralni element”. Zaista, ea=ae\cdot a = a za sve aGa\in G. Dakle,

f(e)f(a)=f(ea)=f(a).f(e)\circ f(a) = f(e\cdot a) = f(a).

Sjetimo se da inverzni element f(a) 1f(a)^{-1} od f(a)f(a) postoji u HH i pomnožimo gornji identitet f(e)f(a)=f(a)f(e)\circ f(a) = f(a) izrazom f(a) 1hf(a)^{-1}\circ h zdesna, gdje je hh ma koji element u HH, i dobit ćemo f(e)h=f(e)f(a)f(a) 1h=hf(e)\circ h = f(e)\circ f(a)\circ f(a)^{-1}\circ h = h za sve hHh\in H, dakle f(e)f(e) je neutralni element u (H,)(H,\circ). Kod monoida nemamo nužno inverze pa taj dokaz ne prolazi, tj. homomorfizam polugrupa iz monoida u monoid ne mora nužno čuvati neutralni element. Zato definiramo homomorfizam monoida kao preslikavanje monoida koji je homomorfizam polugrupa i šalje neutralni element u neutralni element. Homomorfizam grupa je preslikavanje grupa koje je homomorfizam polugrupa, dakle prema malo prije rečenom, automatski i morfizam monoida. Dapače, homomorfizam grupa ima svojstvo da šalje inverzne elemente u inverzne elemente. Zaista, f(a 1)f(a)=f(a 1a)=f(e)f(a^{-1})\circ f(a) = f(a^{-1}\cdot a) = f(e) i f(a)f(a 1)=f(aa 1)=f(e)f(a)\circ f(a^{-1}) = f(a\cdot a^{-1}) = f(e). Kako je f(e)f(e) neutralni element, ti identiteti govore da je f(a 1)f(a^{-1}) obostrani inverz od f(a)f(a).

Homomorfizam polugrupa, monoida ili grupa je izomorfizam tih struktura ako je bijekcija, tj. postoji inverzno preslikavanje.

Propozicija. Ako je f:(G,)to(H,)f:(G,\cdot)to(H,\cdot') izomorfizam grupa, tada je i inverzno preslikavanje f 1:HGf^{-1}:H\to G izomorfizam grupa.

Dokaz. Inverz bijekcije je bijekcija. Treba još provjeriti da za inverzno preslikavanje vrijedi f 1(k)f 1(h)=f 1(kh)f^{-1}(k)\cdot f^{-1}(h) = f^{-1}(k\cdot' h) za sve h,kHh,k\in H. Kad ne bi bilo postojao bi neki par k,hk,h za koji to ne vrijedi. Tada kh=f(f 1(k))f(f 1(h))=f(f 1(h)f 1(k))k\cdot' h = f(f^{-1}(k))\cdot'f(f^{-1}(h)) = f(f^{-1}(h)\cdot f^{-1}(k)) jer je ff homomorfizam. S druge strane, kcoth=f(f 1(kh))k\cot' h = f(f^{-1}(k\cdot'h)), dakle f(f 1(h)f 1(k))=f(f 1(kh))f(f^{-1}(h)\cdot f^{-1}(k))= f(f^{-1}(k\cdot'h)). Na taj identitet primijenimo f 1f^{-1} i dobit ćemo f 1(k)f 1(h)=f 1(kh)f^{-1}(k)\cdot f^{-1}(h) = f^{-1}(k\cdot' h).

Podgrupe, susjedne klase, kvocijentni skup, kvocijentna grupa

Podskup HGH\subset G je podgrupa, ako je grupa s obzirom na restrikciju operacije \cdot s G×GGG\times G\to G na operaciju H×HHH\times H\to H. To znači da ako su h,kHh,k\in H tada hkHh\cdot k\in H, h 1Hh^{-1}\in H i eHe\in H.

Ako je HGH\subset G podgrupa, tada označimo

Hg=[g] H={hg|hH}, H\cdot g = [g]_H = \{h\cdot g\,|\,h\in H \},

i svaki takav skup zovemo lijeva susjedna klasa. Susjedna klasa je klasa ekvivalencije s obzirom na relaciju H\sim_H u GG gdje su dva elementa a,bGa,b\in G ekvivalentna akko postoje h,hHh,h'\in H takav da ha=hbh\cdot a = h'\cdot b. Kad tako zapišemo gotovo je očito da je to relacija ekvivalencije (provjerite). S druge strane, tada su eHe\in H i hh 1Hh\cdot h'^{-1}\in H jer je HH podgrupa, a očito uvjet (hk 1)a=b=eb(h \cdot k^{-1})\cdot a = b = e\cdot b pa je ekvivalentan uvjet: aba\sim b iff postoji fHf\in H takav da fa=bf\cdot a = b (u tom obliku je manje očito da je relacija H\sim_H simetrična). Kao kod svake relacije ekvivalencije, za dva elementa a,bGa,b\in G klase [a] H[a]_H i [b] H[b]_H su jednake ili disjunktne (nemaju zajedničkih elemenata). Skup svih lijevih susjednih klasa označavamo s H\GH\backslash G i ponekad takve skupove zovemo lijevi homogeni skupovi grupe GG. Slično možemo razmišljati i o desnim susjednim klasama koje su po definiciji skupovi oblika gH={gh|hH}g\cdot H = \{g\cdot h\,|\, h\in H\} i o skupu desnih susjednih klasa G/HG/H (desni homogeni skup grupe GG).

Propozicija. Neka je gGg\in G i HGH\subset G podgrupa. Tada je funkcija hhgh\mapsto h\cdot g bijekcija HHgH\mapsto H\cdot g.

To preslikavanje je surjekcija po definiciji lijeve susjedne klase HgH\cdot g jer je svaki element u njoj oblika hgh\cdot g za neki hHh\in H. Moramo još pokazati da je i injekcija. Dakle moramo vidjeti da ako je hg=kgh\cdot g = k\cdot g s h,kHh,k\in H da je tada i h=kh= k. Zaista, to slijedi množenjem jednakosti s g 1g^{-1} zdesna i korištenjem asocijativnosti.

Dakle podgrupa HH i svaka njena lijeva susjedna klasa HgH\cdot g (a slično tome i svaka desna susjedna klasa) imaju istu kardinalnost, dakle, ako je HH konačna, imaju isti broj elemenata. Kako smo gore zaključili da su svake dvije lijeve susjedne klase jednake ili disjunktne to znači da za konačnu grupu GG broj elemenata u GG mora biti broj različitih susjednih klasa puta broj elemenata u svakoj klasi, tj.

|G|=|H||H\G|=|H||G/H| |G| = |H| \, |H\backslash G| = |H|\,|G/H|

Kao posljedicu dobivamo Lagrangeov teorem: broj elemenata u podgrupi konačne grupe GG dijeli broj elemenata cijele grupe GG. Tako npr. ne možemo imati podgrupu reda 88 u grupi reda 1212.

Podgrupa HGH\subset G je normalna podgrupa ako su za svaki gGg\in G lijeva susjedna klasa HgH\cdot g i desna susjedna klasa gHg\cdot H jednake kao skupovi. To ne znači da je hg=ghh\cdot g = g\cdot h za sve hHh\in H jer možemo imati hg=ghh\cdot g = g\cdot h' gdje je hh' neki drugi element u HH, pa da na takav način opet postignemo bijekciju skupova.

Ako je HH normalna podgrupa u GG tada na skupu lijevih susjednih klasa formula

[a] H[b] H:=[ab] H [a]_H \circ [b]_H := [a\cdot b]_H

ili (Ha)(Hb):=H(ab)(H\cdot a)\circ(H\cdot b) := H\cdot (a\cdot b) ne zavisi o izboru predstavnika a[a] Ha\in [a]_H i b[b] Hb\in [b]_H pa dobro definira novu asocijativnu binarnu operaciju \circ na skupu lijevih susjednih klasa H\GH\backslash G koja ima neutralni element [e] H[e]_H i obostrane inverze [g] H 1=[g 1] H[g]_H^{-1} = [g^{-1}]_H. Dakle, time smo dobili strukturu grupe na H\GH\backslash G koju zovemo (lijeva) kvocijentna grupa grupe GG po normalnoj podgrupi HH. Slično gledamo i desne kvocijentne grupe koje su oblika G/HG/H.

Ako je (G,+)(G,+) Abelova grupa, tada je svaka njena podgrupa HH očito normalna, naime iz komutativnosti grupovne operacije g+H=H+gg + H = H + g za sve gGg\in G.

Grupe u primjenama

Grupe se obično pojavljuju kao grupe transformacija. Dakle, gledajmo neki objekt u prirodi, ili neku strukturu u matematici, ili neki lik u geometriji ravnine, ili tijelo u geometriji prostora. Gledamo simetrije, a to su one operacije na objektu/transformacije tog objekta/strukture/ravnine/prostora koje čuvaju ona svojstva objekta (npr. strukture/grafa/lika/tijela) koja su bitna (odnosno koje želimo očuvati). Tu podrazumijevamo prirodno da postoji transformacija koja vraća natrag. Očito je bitan samo redoslijed transformacija, što znači da je kompozicija transformacija asocijativna, transformacija “ne radi ništa” ili “identična transformacija” je neutralni element s obzirom na kompoziciju transformacija i svaka transformacija ima inverznu transformaciju. Dakle simetrije objekta čine grupu.

Jedan primjer su izometrije ravnine MM. One čine grupu Iso(M)Iso(M) svih izometrija ravnine. Sjetimo se da je bijekcija f:MMf:M\to M izometrija ako za svake dvije točke A,BMA,B\in M vrijedi d(A,B)=d(f(A),f(B))d(A,B) = d(f(A),f(B)).

Važan primjer su sve bijekcije nekog skupa SS u samog sebe: ponekad kažemo permutacije na skupu SS. Tu grupu ćemo označavati Perm(S)Perm(S). Taj primjer je posebno važan jer je prema Cayleyevom teoremu svaka grupa izomorfna podgrupi neke grupe permutacija.

category: zadarmat4

Last revised on September 30, 2018 at 07:02:25. See the history of this page for a list of all contributions to it.