Zoran Skoda komutativna grupa

Komutativna polugrupa je polugrupa u kojoj je binarna operacija komutativna.

Komutativna grupa ili Abelova grupa je grupa u kojoj je binarna operacija komutativna.

Obično operaciju u takvoj grupi označavamo aditivno, tj. $+,\oplus,\cup$ ili slično, radije nego multiplicativno (tj. $\cdot,\times, \bullet$ etc.). Naziv operacije je najčešće zbrajanje, adicija, suma, unija ili sličan prikladni naziv.

Ako je $V = (V,+)$ komutativna grupa, tada najčešće neutralni element zovemo $0$, a inverz elementa $a$ s obzirom na $+$ označavamo s $-a$ i zovemo suprotni element od $a$.

Dakle, aksiomi su

• (asocijativnost) $a + (b + c) = (a+ b)+c$ za sve $a,b,c\in V$
• (neutralni element) postoji element $0$ takav da $0 + a = a = a + 0$ za svaki $a\in A$
• (inverzni element) za svaki $a\in A$ postoji element $(-a)$ takav da $a + (-a) = 0 = (-a) + a$. Kad koristimo aditivnu notaciju, kažemo radije suprotni element.

Koristimo pokratu $a - b$ za $a + (-b)$.

Kao u svakoj grupi, neutralni element je jedinstven i za svaki element $a$ njegov suprotni element je jedinstven.

Primjeri i ne-primjeri

Skup $(\mathbf{N},+)$ je komutativna polugrupa, ali nije ni monoid, pa dakle ni grupa. Zaista, nedostaju neutralni element i inverzi. Ako dodamo $0$ onda imamo monoid $(\mathbf{N},+)$, a ako uključimo i negativne brojeve, tada dobivamo skup cijelih brojeva koji je Abelova grupa s obzirom na operaciju zbrajanja.

Skup svih cijelih brojeva nije Abelova grupa s obzirom na operaciju množenja jer jedini cijeli brojevi koji imaju inverz s obzirom a množenje su $1$ i $-1$. Skup racionalnih brojeva $\mathbf{Q}$ ima inverze svih elemenata osim nule pa nije grupa u odnosu na množenje, ali je Abelova grupa s obzirom na zbrajanje. Ako izuzmemo nulu tada je s diferencija skupova $\mathbf{Q}\backslash\{0\}$ Abelova grupa s obzirom na množenje, s neutralnim elementom $1$, a s obzirom na zbrajanje je komutativna polugrupa jer je množenje asocijativno i komutativno, ali nije ni monoid s obzirom na zbrajanje jer nema neutralnog elementa, dakle svakako nije ni grupa.

category: zadarmat4