Zoran Skoda kugla

Promatrajmo krug u prostoru. On sav pripada jednoj ravnini. Kako kroz svaku točku $S$ prostora postoji jedinstveni pravac koji prolazi kroz $S$ i okomit je na zadanu ravninu, tako je to točno i kad za $S$ izaberemo središte danog kruga. Taj pravac je po definiciji os kruga u prostoru, odnosno os njemu rubne kružnice. Kad bismo odabrali jednu točku $A$ na rubnoj kružnici zadanog kruga, tada se svaka druga točka na rubnoj kružnici dobije od $A$ rotacijom oko osi kruga za neki kut.

Uspravni valjak je tijelo koje je omeđeno s dva različita ali međusobno sukladna kruga sa zajedničkom osi, koje zovemo osnovicama valjka, i svim toj osi paralelnim spojnicama kojima je jedan kraj na rubu prvog i drugi na rubu drugog kruga. Te spojnice zovemo izvodnicama valjka. Prema definiciji one su paralelne osi osnovica i međusobno paralelne i nije teško vidjeti da su sukladne, dakle jednake duljine. Ta duljina je ujedno razmak između ravnina u kojima leže osnovice valjka i koju zovemo visina valjka i označavamo s $h$. Volumen uspravnog valjka je površina osnovice pomnožena s visinom.

Kosi valjak je tijelo omeđeno s dva međusobno različita ali sukladna kruga u prostoru koja se nalaze u paralelnim ravninama, koje zovemo osnovicama, i svim dužinama koje su paralelne spojnici osnovica, čiji prvi kraj leži na rubnoj kružnici prve osnovice i čiji drugi kraj leži na rubnoj kružnici druge osnovice. Te rubne spojnice zovemo izvodnicama, a njihovu uniju zovemo plašt (ili pobočje) valjka. Svaki uspravni valjak je primjer kosog valjka. Razmak među ravninama u kojima se nalaze dvije osnovice valjka zovemo visina valjka. To je dakle udaljenost između dva presjecišta ma koje fiksirane okomice na osnovicu valjka s ravninama u kojima leže osnovice valjka. Plašt valjka možemo zamišljati kao da je granična konfiguracija od unije malih paralelograma koji popločuju valjak, kojima su dvije stranice tetive rubnih kružnica, a dvije stranice su izvodnice valjka. Ako rubnu kružnicu aproksimiramo unijom tetiva koje su, recimo, stranice upisanog $n$-terokuta, opseg tog $n$-terokuta postaje duljina kružnice kad $n\to\infty$, a unija opisanih paralelograma ima površinu koja jednako tako aproksimira oplošje plašta valjka. S druge strane unija tih paralelograma može biti poslagana u jednu ravninu i u toj ravnini čini jedan veliki paralelogram čije dvije paralelne stranice su izvodnice valjka, a dvije paralelne stranice su unije stranica pravilnog $n$-terokuta čija je duljina dakle opseg $n$-terokuta. Ako je duljina tog $n$-terokuta $l_n$, tada je njegova površina $l_n h$ jer je visina kosog valjka $h$ ujedno visina paralelograma. Taj paralelogram se, kad $n\to\infty$, zamišlja kao razmotani plast stošca. Neka je duljina izvodnice $c$ i neka je kut između osnovice valjka (odnosno ravnine u kojoj je jedna od osnovica) i (ma koje) izvodnice jednak $\alpha$, tada je visina valjka jednaka $h = c sin\alpha$ i volumen valjka $B\cdot c sin\alpha$ gdje je $B = r^2\pi$ površina osnovice polumjera $r$, a oplošje plašta valjka je $P_{pl} = lim_{n\to\infty}l_n h = 2 r\pi h = 2r\pi c sin\alpha$. Oplošje valjka je $2 B + P_{pl}$.

Sfera sa središtem $S(x_S,y_S,z_S)$ i polumjerom $r\gt 0$ u prostoru geometrijsko mjesto točaka $(x,y,z)$ čija udaljenost od $S$ je točno $r$. Kad uzmemo u obzir formulu za udaljenost u 3d prostoru, zaključujemo da je

$$(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2 + (z - z_S)^2 = r^2.$$

Površina sfere radijusa $r$ je $P = 4 r^2 \pi$. To je jednako površini plašta valjka jednakog radijusa i visine $2 r$. O tome možete pogledati zanimljivi video (na engleskom)

• But why is a sphere’s surface area four times its shadow yt

Zatvorena kugla sa središtem $S(x_S,y_S,z_S)$ i polumjerom $r\gt 0$ u 3d prostoru je geometrijsko mjesto točaka $(x,y,z)$ čija udaljenost od $S$ je manja ili jednaka $r$, odnosno koje zadovoljavaju

$$(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2 + (z - z_S)^2 \leq r^2.$$

Pravac koji prolazi kroz zadanu točku $A$ na sferi i središte sfere siječe sferu u još jednoj točki koju zoveom antipodalna točka od $A$.

Presjek kugle i ravnine je ili prazan (ukoliko je udaljenost od ravnine do središta kugle veći od polumjera kugle) ili jednak jednoj točki (ukoliko je udaljenost od ravnine do središta kugle jednak polumjeru kugle) ili je krug (ukoliko je udaljenost od ravnine do središta kugle manji od polumjera kugle). Taj krug ima polumjer koji je manji od polumjera početne kugle osim u slučaju kad ravnina prolazi kroz središte kugle, u kojem slučaju su oba polumjera jednaka. Kružnica koja se dobije kao presječna crta ravnine i sfere je očito rub kruga koji se dobije kao presjek te ravanine i pripadne kugle. Ukoliko je središte te kružnice i središte sfere jedno te isto kažemo da je to glavna kružnica na sferi. Svaka glavna kružnica kroz zadanu točku $A$ na sferi dobijemo tako da uzmemo neku ravninu kojoj pripada os kroz $A$ i središte kružnice; sve te ravnine se mogu dobiti od jedne takve ravnine rotacijom oko te osi. Dakle, sve glavne kružnice koje prolaze izabranom točkom na sferi čine 1-parametarsku familiju (svezak) kružnica. Ako planetu zamišljamo kao kuglu, a sjeverni i južni pol kao dvije međusobno antipodalne točke, tada velike kružnice kroz polove zovemo meridijani. Paralele su male kružnice koje u svakoj točki sijeku meridijane pod pravim kutem, a ekvator je jedina glavna kružnica koja je ujedno paralela koju možemo zvati nulta paralela. Ona dijeli sferu na dva dijela, koje prema uobičajenim nazivima za antipodalne polove zovemo sjevernom i južnom polutkom. Ako izaberemo neki meridijan, paralele čine familiju parametriziranu orijentiranim kutem čiji je jedan krak spojnica središta i presjeka ekvatora i tog meridijana, a drugi krak spojnica središta i neke druge točke na meridijanu. Ukoliko je paralela na istoj polutki, onda je orijentirani kut istog predznaka u ma kojoj fiksiranoj konvenciji u ravnini.

category: zadarmat2, zadarmat3, zadarmat4