Zoran Skoda kvadratna funkcija

Realna funkcija $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ je kvadratna funkcija ako je dana formulom oblika

$$f(x) = a x^2 + b x + c,$$

gdje su $a,b,c\in\mathbf{R}$. Obično pretpostavljamo da je $a\neq 0$, tj. da je gornji izraz polinom stupnja $2$, inače bismo dobili afinu funkciju.

Graf kvadratne funkcije je parabola. Ukoliko je $a\gt 0$, parabola gleda prema gore, a ukoliko je $a\lt 0$, ona gleda prema dolje. Svaka parabola ima tjeme, koje se najlakše odredi ukoliko je kvadratna funkcija napisana u obliku bez srednjeg člana, što postižemo korisnom metodom dopunjavanja do na kvadrat. Najjednostavnije je tu metodu uvesti na slučaju kad je $a = 1$.

Dakle, želimo unarni polinom $x^2 + p x + q$ napisati kao kvadrat pomaknutog $x$-a plus neka konstanta. No, primijetimo da je

$$(x + p/2)^2 = x^2 + p x - \frac{p^2}{4},$$

pa je dakle $x^2 + p x + q = (x+p/2)^2 + q-p^2/4$. To je u obliku kojeg smo željeli, $(x + p/2)^2$ plus konstanta koja je $q - p*p/4$; nema srednjeg (linearnog) člana. Visina tjemena grafa parabole je minimalna kad je kvadrat $(x+p/2)^2$ minimalan, a to je za $x = -p/2$ i tada je $y = q - p^2/4$.

Ako je kvadratni polinom općenitiji, tj. $a\neq 1$, tada taj a izlučimo van i istu proceduru napravimo unutar zagrade. Dakle,

$$a x^2 + b x + c = a \left(x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a \cdot \left[(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4 a^2}\right]$$

Tjeme je dakle kad je kvadratni član nula, dakle za $x_T = -b/(2a)$ (T označava tjeme). Ako u cijeli izraz uvrstimo taj $x$, ostane nam ordinata tjemena

$$y_T = a\cdot\left[0 +c/a - \frac{b^2}{4 a^2}\right] = c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4 a c - b^2}{4 a}.$$

Kvadratna jednadžba je jednadžba

$$a x^2 + b x + c = 0$$

tj. $a \cdot \left[(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4 a^2}\right] = 0$.

i ako je $a\neq 0$, podijelimo s $a$ i dobijemo ekvivalentnu jednadžbu

$$(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4 a^2} = 0.$$

i ako prebacimo zadnja dva sumanda na desnu stranu,

$$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4 ac}{4 a^2}$$

Dakle, $(x + \frac{b}{2a})^2 = \pm \frac{b^2 - 4 a c}{4 a^2}$. To je razlomak, pa možemo korijenovati brojnik i podijeliti s korijenom nazivnika. Kako je $(2 a)^2 = 4 a^2$, dobivamo

$$x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}.$$

Iz toga lako dobijemo

$$x = - \frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}$$

Naravno, ukoliko je $b^2 - 4 a c\lt 0$, tada su nam za rješenje potrebni kompleksni brojevi.

category: zadarmat3