Pretpostavlja se da slušači imaju osnovnu predodžbu o razlici medju skupovima i klasama, o neprebrojivosti, aksiomatskim sustavima i da su bar jednom vidjeli ZFC (Zermelo-Frankelova (ZF) aksiomatika teorije skupova s aksiomom izbora AC).
Sjetimo se da je dobar uredjaj na skupu takav linearni uređaj u kojem svaki podskup ima najmanji element.
Skup je tranzitivan ako implicira (“sa svakim skupom kojeg sadrži kao element, sadrži i sve njegove elemente”). Ordinal je tranzitivni skup koji je dobro uredjen. Za bilo koja dva dobro uređena skupa vrijedi jedna od tri alternative: je izomorfan , je izomorfan početnom segmentu od ili je izomorfan početnom segmentu od .
Granični ordinali su oni ordinali koji nisu neposredni sljedbenik ni jednog drugog ordinala. Neka je partitivni skup skupa . Transfinitnom rekurzijom definiramo skupove gdje je ordinal:
ako je granični ordinal.
Kardinal je ordinal koji nije bijektivan s ni jednim manjim ordinalom. Svaki kardinal je granični ordinal. Klasa ordinala je dobro uredjena s obzirom na relaciju , a isto vrijedi i na potklasu kardinala . Aksiom regularnosti je ekvivalentan tvrdnji da je svaki skup element nekog ; svi oni zajedno čine klasu koja se zove von Neumannov univerzum .
Beskonačni kardinal je regularan ako nije unija skupova kardinalnosti manje od . Kardinal je jako granični ako implicira (tj. ako mu je element onda mu je i partitivni skup element). Nedostižni (ili nedosezljivi, engl. inaccessible) kardinali su neprebrojivi jako granični regularni kardinali.
Ne samo da ZFC ne implicira postojanje nedostižnih kardinala, nego u ZFC ne možemo ni dokazati konzistenciju dodatnog aksioma da nedostižni kardinali postoje. Ukoliko postoji nedostižni kardinal, onda postoji beskonačno puno nedostižnih kardinala koji su veći od njega.
Grothendieckov univerzum je skup oblika gdje je nedosezljivi kardinal. Dakle aksiom o postojanju Grothendieckovih univerzuma kojeg ćemo mi prihvaćati u ovom kolegiju, je ekvivalentan aksiomu da je svaki skup sadržan kao element u nekom nedosezljivom nedosezljivom kardinalu. Bilo koji element Grothendieckovog univerzuma se naziva -malenim skupom.
Alternativno, Grothendieckov univerzum je tranzitivan skup zatvoren s obzirom na formiranje parova, unija familija podskupova indeksiranim bilo kojim svojim elementom i na operaciju partitivnog skupa. S druge strane, svaki Grothendieckov univerzum (ako postoji) je model ZFC.
\nxpoint Veliki graf se sastoji od klase vrhova (objekata) , klase bridova (morfizama, strelica) , te dviju funkcija (domena i kodomena), koje ćemo takodjer označavati i s (izvor i ponor). Ako je , s označavamo sud i . Par preslikavanja , je morfizam velikih grafova ako i . U praksi ćemo često pisati neprecizno ne samo za par nego i za i , npr. ako je , označava zapravo .
Za dva preslikavanja , , s ili, ako podrazumijevamo, s označavamo klasu
S tom klasom prirodno su zadane projekcije , s redom na prvu i drugu komponentu i kao restrikcija projekcija s kartezijevog produkta klasa. Notacija , će uvijek podrazumijevati da je preslikavanje iz u domena ako je slijeva i kodomena ako je zdesna, te identiteta .
\nxpoint Kategorija je veliki graf s dvije funkcije , (kompozicija i jedinica) gdje je u tj. onih za koje je s aksiomima navedenim niže. je klasa kompozabilnih parova morfizama, analogno za -torke.
Zahtijevamo asocijativnost kompozicije
na klasi svih kompozabilnih trojki, aksiom jedinice
te identiteti
Ako je označavamo i zovemo identitetom, ili identičkim morfizmom objekta .
Lokalno mala kategorija je kategorija takva da je za svaka dva objekta klasa skup. U praktičnoj matematici se često podrazumijeva da se razmatraju samo lokalno malene kategorije, no mi ćemo gledati i lokalno velike.
Ako je Grothendieckov univerzum, tada je -malena kategorija bilo koja kategorija čije su klase morfizama i objekata -maleni skupovi. -kategorija je bilo koja kategorija čiji su svi objekti i svi morfizmi u (bez ponavljanja). Npr. kategorija svih -malenih skupova i njihovih preslikavanja je -kategorija, nije -mala ali je lokalno -mala. Ona je -mala za bilo koji Grothendieckov univerzum veći od .
\nxpoint Elementi klasa i nazivaju se objekti i morfizmi. Kažemo da je veliki graf (kategorija) graf (mala kategorija) ako je skup. Izomorfizam ili invertibilni morfizam je morfizam za koji postoji inverz , tj. i . Dva objekta su izomorfni ako postoji izomorfizam . Svaka identiteta je izomorfizam. Groupoid je mala kategorija čiji su svi morfizmi invertibilni.
je epimorfizam (epi) takav da za svaka dva morfizma , implicira (desna skrativost). je monomorfizam (mono) ako za svaka dva morfizma , implicira . is bimorfizam ako je i epi i mono. Svaki izomorfizam je bimorfizam. Kategorija je balansirana ako je i svaki bimorfizam izomorfizam.
\nxsubpoint (Zadatak 0.0) a) Pokaži da je prirodno ulaganje epimorfizam u kategoriji unitalnih prstena i homomorfizama unitalnih prstena.
b) Kategorija skupova i preslikavanja skupova je balansirana.
\nxpoint Ako je kategorija, dualna kategorija je jedinstvena kategorija takva da je , (s oznakama i za i kad su u dualnoj kategoriji) s , gdje je kanonska bijekcija medju klasom kompozabilnih i klasom morfizama .
\nxsubpoint (Zadatak 0.1) Dokaži da je dualna kategorija dobro definirana kategorija.
\nxpoint Objekt je (univerzalni) inicijalni (redom terminalni) objekt ako za svaki postoji jedinstveni morfizam (redom ). Terminalni objekt se naziva takodjer finalnim ili konačnim; je očito terminalni u akko je inicijalni u .
\nxsubpoint (Zadatak 0.2) Inicijalni objekt, ako postoji, je jedinstven do na izomorfizam.
\nxpoint Funktor je morfizam pripadnih velikih grafova koji komutira s kompozicijom, tj. i koji salje identitete u identitete, tj. za svaki objekt vrijedi . Domena i kodomena funktora su, naravno, i respektivno.
Ponekad se govori i “kovarijantni funktor iz u ”. Kontravarijantni funktor iz u označava po definiciji (kovarijantni) funktor . Endofunktor u je funktor .
Funktor je vjeran (pun, ulaganje kategorija) ako je injekcija (redom: surjekcija, bijekcija) za svaki par objekata .
\nxpoint Potkategorija kategorije je uredjeni par kategorije i vjernog funktora . Potkategorija u užem smislu je potkategorija za koju su za , kanonska ulaganja podskupova. Potkategorija je puna ako je ulaganje kategorija, tj. puni i vjeran funktor.
\nxsubpoint (Zadatak 0.3) Za svaku potklasu postoji jedinstvena puna potkategorija u užem smislu, takva da je i . Kažemo da je puna potkategorija kategorije generirana klasom objekata .
\nxpoint Za dva funktora , ** (prirodna) transformacija** je funkcija , gdje je te za svaki morfizam u kategoriji , slijedeći dijagram “prirodnosti” komutira
je -komponenta transformacije . Prirodnu transformaciju čije su sve komponente izomorfizmi zovemo (prirodni) izomorfizam funktora.
\nxpoint Par funkcija čini identični funktor ponekad označen . Funktor je izomorfizam kategorija ako postoji funktor koji mu je striktni inverz, tj. i . Funktor je ekvivalencija kategorija ako postoje funktor i prirodni izomorfizmi funktora i . Dvije kategorije su ekvivalentne ako postoji ekvivalencija . Ekvivalencija malih kategorija je relacija ekvivalencije na klasi svih malih kategorija. Kategorija je skeletalna ako za su bilo koja dva medjusobno izomorfna objekta u jednaka.
\nxsubpoint (Zadatak 0.4) Ukoliko prihvatimo aksiom izbora, tada za svaku kategoriju postoji skeletalna kategorija ekvivalentna kategoriji . Izbor je jedinstven do na izomorfizam kategorija i zovemo ga skeleton kategorije .
\nxsubpoint Funktor je esencijalno surjektivan (na objektima) (kratica e.s.o.) ako za svaki objekt u postoji objekt u i izomorfizam .
\nxsubpoint Teorem. Funktor je ekvivalencija akko je potpun, vjeran i esencijalno surjektivan.
\nxpoint Kategorija . Objekti u su male kategorije. Morfizmi su funktori, a kompozicija je kompozicija funktora dana s gdje su kompozicije s lijeve strane kompozicije funkcija skupova. Bifunktor je funktor čija je domena kartezijev produkt dviju kategorija.
\nxpoint Neka su dvije kategorije. Kartezijev produkt je kategorija zadana s , , , i , za sve . Ova definicija se na očit način poopćava na kartezijev produkt bilo koje (male) familije kategorija.
\nxpoint Dijagram u kategoriji je funktor iz male kategorije u kategoriju . Fiksirajmo malu kategoriju . Konus tipa u kategoriji je prirodna transformacija gdje je konstantni funktor . Objekt je vrh konusa . Kokonus tipa u kategoriji je konus tipa u kategoriji .
Konusi tipa u kategoriji čine klasu objekata . Morfizam konusa je morfizam u gdje je vrh konusa , vrh konusa i za svaki , . Morfizmi konusa tipa čine klasu . Kompozicija morfizama konusa je kompozicija pripadnih morfizama u . Time je definirana kategorija ; analogno se definira kategorija kokonusa . Terminalni objekt kategorije konusa tipa je univerzalni konus ili limes dijagrama ; njegov vrh se označava s ; inicijalni objekt kategorije kokonusa tipa je univerzalni kokonus ili kolimes dijagrama čiji vrh označavamo s . Ponekad se pod limesom (kolimesom) dijagrama neprecizno podrazumijeva njegov vrh.
Prirodnu transformaciju funktora zovemo morfizam dijagrama. Dijagrami i prirodne transformacije čine kategoriju . Ukoliko umjesto dijagrama gledamo velike kategorije, tada analogna kategorija nije dobro definirana.
Ako je morfizam dijagrama i konus nad dijagramom , tada je konus nad dijagramom . Ako je univerzalni konus nad s vrhom tada po univerzalnom svojstvu limesa postoji jedinstveni morfizam koji je ujedno morfizam konusa nad . Taj morfizam označavamo s .
(Zadatak 0.5) Dokaži da je ta korespodencija funktorijalna:\newline je funktor; je funktor.
\nxpoint Kategorija je diskretna ako je jedinica bijekcija. Očito je svaka diskretna kategorija skeletalna, ali ne i obratno. Za svaku klasu postoji kategorija , jedinstvena do na izomorfizam kategorija, čija klasa objekata je (kanonski reprezentant te klase ima i istu klasu morfizama, gdje je jedinica identiteta ). Primijeti da se, sa skupova , korespodencija može proširiti do funktora .
Neka je skup, i (mala) familija objekata (tj. funkcija ). Produkt je limes funktora , ako postoji (ili njegov vrh). Komponente univerzalnog konusa se zovu kanonske projekcije produkta. Koprodukt je kolimes funktora ; vrh univerzalnog konusa se označava s a njegove komponente se zovu kanonske injekcije koprodukta.
\nxsubpoint (Zadatak 0.6) Produkt male familije objekata u je kanonski izomorfan njihovom kartezijevom produktu.
\nxpoint Morfizmi su paralelni ako imaju istu domenu i kodomenu. Dijagram oblika nazivamo vilica ukoliko ; očito vilica nije ništa drugo nego konus nad paralelnim parom . Univerzalna vilica, tj. limes paralelnog para naziva se i ujednačitelj (am. engl. equalizer). Analogno, kolimes univerzalnog para nazivamo koujednačitelj. Kategorija je (ko)zatvorena ako ima (ko)limese svih malih dijagrama . Kategorija je konačno zatvorena ako ima (ko)limese svih konačnih dijagrama (dijagrama s konačno mnogo objekata i konačno mnogo morfizama).
\nxpoint Teorem. Kategorija je (konačno) zatvorena akko ima sve (konačne) produkte i ujednačitelje svih paralelnih parova. Kategorija je (konačno) kozatvorena ako ima sve (ko)načne koprodukte i koujednačitelje.
Dokaz. Po dualnosti je dovoljno pokazati slučaj kolimesa. Netrivijalan smjer je da je postojanje produkata (redom, konačnih produkata) i koujednačitelja dovoljno za postojanje svih limesa. Promatrajmo dakle proizvoljni dijagram . Po pretpostavci postoje produkti i s projekcijama i . Po univerzalnom svojstvu produkta postoje jedinstveni paralelni par takav da i za sve u :
Neka je ujednačitelj tog para. Tvrdnja: je komponenta projekcije limesa u . Najprije provjeravamo da te projekcije zaista čine konus:
Neka su komponente bilo kojeg drugog konusa nad ; dakle for all . Po univerzalnom svojstvu produkta postoji jedinstveni morfizam takav da za sve . Po definiciji i ,
što po univerzalnom svojstvu produkta implicira , tj.
je vilica. Stoga, po univerzalnosti ujednačitelja , postoji jedinstveni morfizam tako da je . No posljednja jednakost je ekvivalentna (po univerzalnom svojstvu produkta ) familiji identiteta gdje ide po . Potonji uvjet se može napisati kao ; stoga je , pri tome jedinstveni, morfizam iz konusa u konus ; dakle je limes početnog dijagrama .
\nxpoint Korolar. Kategorija skupova je zatvorena i kozatvorena kategorija.
Skica dokaza. Dovoljno je pokazati da je (kategorijski) produkt familije skupova njihov Kartezijev produkt s prirodnim projekcijama te da je ujednačitelj dva preslikavanja skup .
\nxpoint Neka je funktor ( sad nije nužno malena kategorija). Par gdje je objekt u i morfizam u , zovemo univerzalna strelica ako za svaki objekt u i svaki postoji jedinstveni morfizam tako da je .
\nxpoint Primjer. Neka je kategorija grupa i homomorfizama grupa, kategorija skupova i za svaki skup neka je slobodna grupa s bazom , te “zaboravni” funktor koji grupi pridružuje njen pripadni skup. Tada je za svaki skup , par skupa i prirodnog ulaganja baze u kao morfizam skupova univerzalna strelica.
\nxpoint (Notacija) Kompoziciju funktora ćemo često označavati konkatenacijom. Za danu transformaciju i funktor s označavamo transformaciju s komponentama . Ako je funktor tada s označavamo transformaciju s komponentama . U praksi često s označavamo .
\nxpoint Neka su i dva funktora. Par prirodnih transformacija , su redom jedinica i kojedinica adjunkcije ako vrijede “trokutni” identiteti , . Tada kažemo da je funktor lijevo adjungiran funktoru ili, ekvivalentno, da je funktor desno adjungiran funktoru i pišemo .
\nxpoint Propozicija. akko postoji (bi)prirodni izomorfizam bifunktora tj. za svaki par objekata iz , iz možemo izabrati bijekciju i te bijekcije su prirodne u oba argumenta.
Dokaz. Pretpostavimo da je dana adjunkcija. Kojedinica adjunkcije inducira preslikavanje formulom , a jedinica njen inverz . Trokutne relacije impliciraju da su te dvije funkcije zaista inverzi. Prirodnost nije teško provjeriti.
Obratno, ako je zadana biprirodni izomorfizam , tada je jedinica adjunkcije dana s , a kojedinica adjunkcije s .
(Zadatak 0.7) Ispuni preostale detalje ovog dokaza.
\nxpoint Propozicija. Neka je ekvivalencija kategorija. Tada postoji adjunkcija čija su jedinica i kojedinica izomorfizmi.
Drugim riječima, svaka ekvivalencija se može zamijeniti adjungiranom ekvivalencijom.
\nxpoint Neka je neka standardna kategorija (npr. kategorija skupova), a kategorija. Tipičan primjer kategorije u tom kontekstu je kategorija otvorenih skupova i ulaganja otvorenih skupova u topološkom prostoru . Funktor se naziva predsnop na s vrijednostima u} je bilo koji kontravarijantni funktor iz u . Reprezentabilan predsnop je predsnop skupova koji je izomorfan predsnopu oblika . Mali predsnop skupova je predsnop koji je izomorfan limesu nekog dijagrama reprezentabilnih predsnopova.
\nxpoint Neka je mala kategorija, a kategorija. Kategorija funktora i prirodnih transformacija se ponekad označava eksponencijalnom notacijom . Ukoliko i mala, tada se s označava kategorija predsnopova skupova na . Ako nije mala, tada ili zamijenimo s , ili gledamo samo male predsnopove.
\nxpoint Definicija. Korespodencija
gdje su , morfizmi u je funktor kojeg nazivamo Yonedino ulaganje.
\nxpoint Teorem. (Yonedina lema, jaka verzija) Neka je bilo koji predsnop skupova. Tada postoji, prirodna u , bijekcija skupova
Koristan savjet čitatelju: pokušajte najprije sami dokazati ovaj teorem.
Dokaz. Neka je prirodna transformacija s komponentama . Tada definiramo sa . Dovoljno je pokazati da preslikavanje ima inverz. Za svaki u definiramo prirodnu transformaciju s komponentama (sjetimo se da je kontravarijantan, dakle ). Tada
Dakle, preslikavanja i su jedan drugome inverzi.
Dijagrame prirodnosti ostavljamo čitatelju za provjeru.
\nxpoint Korolar. (Yonedina lema, slaba verzija) Yonedino ulaganje je potpun i vjeran funktor .
Dokaz. U jakoj Yonedinoj lemi gore stavimo . Tako dobivamo bijekciju za svaki par , tj. funktor je ulaganje kategorija.
\nxpoint Primijetimo da se Yonedino ulaganje prirodno razlaže u kompoziciju gdje je kategorija malih predsnopova, a kanonsko ulaganje. Naime svaki reprezentabilni snop je mali po definiciji.
\nxpoint Kažemo da funktor čuva limese (nekog tipa) ukoliko šalje univerzalne konuse u univerzalne konuse (nad dijagramima danog tipa). Drugim riječima, za svaki dijagram , za koji postoji limes u , postoji i limes dijagrama te (pri čemu potonja jednakost za vrh limesa, podrazumijeva i da projekcije od funktor šalje u odgovarajuće projekcije od ).
Last revised on November 6, 2012 at 18:38:40. See the history of this page for a list of all contributions to it.