Zoran Skoda
lecsCatCh0

Pretpostavlja se da slušači imaju osnovnu predodžbu o razlici medju skupovima i klasama, o neprebrojivosti, aksiomatskim sustavima i da su bar jednom vidjeli ZFC (Zermelo-Frankelova (ZF) aksiomatika teorije skupova s aksiomom izbora AC).

Sjetimo se da je dobar uredjaj na skupu SS takav linearni uređaj u kojem svaki podskup TST\subset S ima najmanji element.

Skup XX je tranzitivan ako ZYXZ\in Y\in X implicira ZXZ\in X (“sa svakim skupom kojeg sadrži kao element, sadrži i sve njegove elemente”). Ordinal je tranzitivni skup koji je dobro uredjen. Za bilo koja dva dobro uređena skupa X,YX,Y vrijedi jedna od tri alternative: XX je izomorfan YY, XX je izomorfan početnom segmentu od YY ili je YY izomorfan početnom segmentu od XX.

Granični ordinali su oni ordinali koji nisu neposredni sljedbenik ni jednog drugog ordinala. Neka je P(A)P(A) partitivni skup skupa AA. Transfinitnom rekurzijom definiramo skupove V αV_\alpha gdje je α\alpha ordinal:

  • V 0=V_0 = \emptyset

  • V α+1=P(V α)V_{\alpha + 1} = P(V_\alpha)

  • V α= β<αV βV_\alpha = \cup_{\beta\lt\alpha} V_\beta ako je α\alpha granični ordinal.

Kardinal je ordinal koji nije bijektivan s ni jednim manjim ordinalom. Svaki kardinal je granični ordinal. Klasa ordinala Ord\mathrm{Ord} je dobro uredjena s obzirom na relaciju αβ\alpha\in\beta, a isto vrijedi i na potklasu kardinala Card\mathrm{Card}. Aksiom regularnosti je ekvivalentan tvrdnji da je svaki skup element nekog V αV_\alpha; svi oni zajedno čine klasu koja se zove von Neumannov univerzum 𝒱\mathcal{V}.

Beskonačni kardinal κ\kappa je regularan ako nije unija <κ\lt\kappa skupova kardinalnosti manje od κ\kappa. Kardinal κ\kappa je jako granični ako λ<κ\lambda\lt\kappa implicira 2 λ<κ2^\lambda \lt\kappa (tj. ako mu je xx element onda mu je i partitivni skup P(x)P(x) element). Nedostižni (ili nedosezljivi, engl. inaccessible) kardinali su neprebrojivi jako granični regularni kardinali.

Ne samo da ZFC ne implicira postojanje nedostižnih kardinala, nego u ZFC ne možemo ni dokazati konzistenciju dodatnog aksioma da nedostižni kardinali postoje. Ukoliko postoji nedostižni kardinal, onda postoji beskonačno puno nedostižnih kardinala koji su veći od njega.

Grothendieckov univerzum 𝒰\mathcal{U} je skup oblika V αV_\alpha gdje je α\alpha nedosezljivi kardinal. Dakle aksiom o postojanju Grothendieckovih univerzuma kojeg ćemo mi prihvaćati u ovom kolegiju, je ekvivalentan aksiomu da je svaki skup sadržan kao element u nekom nedosezljivom nedosezljivom kardinalu. Bilo koji element Grothendieckovog univerzuma 𝒰\mathcal{U} se naziva 𝒰\mathcal{U}-malenim skupom.

Alternativno, Grothendieckov univerzum je tranzitivan skup zatvoren s obzirom na formiranje parova, unija familija podskupova indeksiranim bilo kojim svojim elementom i na operaciju partitivnog skupa. S druge strane, svaki Grothendieckov univerzum (ako postoji) je model ZFC.

\nxpoint Veliki graf 𝒢\mathcal{G} se sastoji od klase vrhova (objekata) Ob𝒢=𝒢 0\Ob\mathcal{G} = \mathcal{G}_0, klase bridova (morfizama, strelica) Mor𝒢=𝒢 1\Mor\mathcal{G}=\mathcal{G}_1, te dviju funkcija dom,cod:Mor𝒢Ob𝒢\dom,\cod:\Mor\mathcal{G}\to\Ob\mathcal{G} (domena i kodomena), koje ćemo takodjer označavati i s s=dom,t=cods = \dom,t=\cod (izvor i ponor). Ako je f𝒢 1f\in \mathcal{G}_1, x,y𝒢x,y\in \mathcal{G} s f:xyf : x\to y označavamo sud (x=domf(x =\dom f i y=codf)y =\cod f). Par f=(f 0,f 1)f = (f_0,f_1) preslikavanja f k:𝒢 k kf_k:\mathcal{G}_k\to\mathcal{H}_k, k=1,2k = 1,2 je morfizam velikih grafova ako cod f 1=f 0cod 𝒢\cod^{\mathcal{H}}\circ f_1 = f_0\circ\cod^{\mathcal{G}} i dom f 1=f 0dom 𝒢\dom^{\mathcal{H}}\circ f_1 = f_0\circ\dom^{\mathcal{G}}. U praksi ćemo često pisati neprecizno ff ne samo za par (f 1,f 2)(f_1,f_2) nego i za f 0f_0 i f 1f_1, npr. ako je COb𝒢C\in\Ob\mathcal{G}, f(C)f(C) označava zapravo f 1(C)f_1(C).

Za dva preslikavanja a:XZa:X\to Z, b:YZb:Y\to Z, s X a× bYX\,{}_a\!\!\!\times_b Y ili, ako a,ba,b podrazumijevamo, s X× ZYX\times_Z Y označavamo klasu

X a× bY:={(x,y)X×Y|a(x)=b(y)}.X \,{}_a\!\!\!\times_b Y:= \lbrace(x,y)\in X\times Y\,|\,a(x)=b(y)\rbrace.

S tom klasom prirodno su zadane projekcije p kp_k, k=1,2k =1,2 s X a× bYX\,{}_a\!\!\!\times_b Y redom na prvu i drugu komponentu XX i YY kao restrikcija projekcija s kartezijevog produkta X×YX\times Y klasa. Notacija 𝒢 1× 𝒢 0𝒢 1\mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1, 𝒢 1× 𝒢 0𝒢 0\mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_0 će uvijek podrazumijevati da je preslikavanje iz 𝒢 1\mathcal{G}_1 u 𝒢 0\mathcal{G}_0 domena ako je slijeva i kodomena ako je zdesna, te identiteta id:𝒢 0𝒢 0\id:\mathcal{G}_0\to\mathcal{G}_0.

\nxpoint Kategorija 𝒞\mathcal{C} je veliki graf s dvije funkcije m:Mor𝒞 dom× codMor𝒞Mor𝒞m:\Mor\mathcal{C}{}_{\mathrm{dom}}\times_{\mathrm{cod}}\Mor\mathcal{C}\to\Mor\mathcal{C}, i:Ob𝒞Mor𝒞i:\Ob\mathcal{C}\to\Mor\mathcal{C} (kompozicija i jedinica) gdje je u (g,f)Mor𝒞×Mor𝒞(g,f)\in\Mor\mathcal{C}\times\Mor\mathcal{C} tj. onih za koje je codf=domg\cod f=\dom g s aksiomima navedenim niže. Mor𝒞 dom× codMor𝒞\Mor\mathcal{C}{}_{\dom{}}\times_{\cod{}}\Mor\mathcal{C} je klasa kompozabilnih parova morfizama, analogno za nn-torke.

Zahtijevamo asocijativnost kompozicije

m(m× 𝒞 0id)=m(id× 𝒞 0m) m\circ(m\times_{\mathcal{C}_0}\id)=m\circ(\id\times_{\mathcal{C}_0} m)

na klasi Mor𝒞 dom× codMor𝒞 dom× codMor𝒞\Mor\mathcal{C}\,{}_\dom\times_\cod\Mor\mathcal{C}{}_\dom\times_\cod\Mor\mathcal{C} svih kompozabilnih trojki, aksiom jedinice

m(i× 𝒞 0id)=m(id× 𝒞 0i)=id:𝒞 1𝒞 0× 𝒞 0𝒞 1𝒞 1× 𝒞 0𝒞 0𝒞 1 m\circ (i\times_{\mathcal{C}_0}\id) = m\circ (\id\times_{\mathcal{C}_0} i)=\id : \mathcal{C}_1\cong\mathcal{C}_0\times_{\mathcal{C}_0}\mathcal{C}_1\cong\mathcal{C}_1\times_{\mathcal{C}_0}\mathcal{C}_0\to\mathcal{C}_1

te identiteti

si=ti=id 𝒞 0, s\circ i = t\circ i = \id_{\mathcal{C}_0},
sm=sp 1,tm=tp 2:𝒞 1× 𝒞 0𝒞 1𝒞 1.s\circ m = s\circ p_1,\,\,t\circ m = t\circ p_2:\mathcal{C}_1\times_{\mathcal{C}_0}\mathcal{C}_1\to\mathcal{C}_1.

Ako je COb𝒞C\in\Ob\mathcal{C} označavamo id C:=i(C):CC\id_C := i(C) : C\to C i zovemo identitetom, ili identičkim morfizmom objekta CC.

Lokalno mala kategorija je kategorija takva da je za svaka dva objekta x,yOb𝒞x,y\in\Ob\mathcal{C} klasa hom(x,y)={z|domz=x,codz=y}\hom(x,y) =\lbrace z|\dom z = x, \cod z = y\rbrace skup. U praktičnoj matematici se često podrazumijeva da se razmatraju samo lokalno malene kategorije, no mi ćemo gledati i lokalno velike.

Ako je 𝒰\mathcal{U} Grothendieckov univerzum, tada je 𝒰\mathcal{U}-malena kategorija bilo koja kategorija čije su klase morfizama i objekata 𝒰\mathcal{U}-maleni skupovi. 𝒰\mathcal{U}-kategorija je bilo koja kategorija čiji su svi objekti i svi morfizmi u 𝒰\mathcal{U} (bez ponavljanja). Npr. kategorija Set 𝒰\Set_{\mathcal{U}} svih 𝒰\mathcal{U}-malenih skupova i njihovih preslikavanja je 𝒰\mathcal{U}-kategorija, nije 𝒰\mathcal{U}-mala ali je lokalno 𝒰\mathcal{U}-mala. Ona je 𝒰\mathcal{U}'-mala za bilo koji Grothendieckov univerzum 𝒰\mathcal{U}' veći od 𝒰\mathcal{U}.

\nxpoint Elementi klasa 𝒞 0\mathcal{C}_0 i 𝒞 1\mathcal{C}_1 nazivaju se objekti i morfizmi. Kažemo da je veliki graf (kategorija) 𝒞\mathcal{C} graf (mala kategorija) ako je 𝒞 0\mathcal{C}_0 skup. Izomorfizam ili invertibilni morfizam f:abf:a\to b je morfizam za koji postoji inverz g:bag:b\to a, tj. fg=id bf\circ g = \id_b i gf=id ag\circ f = \id_a. Dva objekta a,b𝒞 0a,b\in\mathcal{C}_0 su izomorfni ako postoji izomorfizam f:abf:a\to b. Svaka identiteta je izomorfizam. Groupoid je mala kategorija čiji su svi morfizmi invertibilni.

f:ABf:A\to B je epimorfizam (epi) takav da za svaka dva morfizma g,g:BCg,g':B\to C, gf=gfg'\circ f = g\circ f implicira g=gg'=g (desna skrativost). ff je monomorfizam (mono) ako za svaka dva morfizma h,h:DAh,h':D\to A, fh=fhf\circ h = f\circ h' implicira h=hh=h'. ff is bimorfizam ako je i epi i mono. Svaki izomorfizam je bimorfizam. Kategorija je balansirana ako je i svaki bimorfizam izomorfizam.

\nxsubpoint (Zadatak 0.0) a) Pokaži da je prirodno ulaganje ZQ\mathbf{Z}\subset\mathbf{Q} epimorfizam u kategoriji unitalnih prstena i homomorfizama unitalnih prstena.

b) Kategorija skupova i preslikavanja skupova Set\Set je balansirana.

\nxpoint Ako je 𝒞\mathcal{C} kategorija, dualna kategorija 𝒞 0\mathcal{C}^0 je jedinstvena kategorija takva da je (𝒞 0) 0=𝒞 0(\mathcal{C}^0)_0 = \mathcal{C}_0, (𝒞 0) 1=𝒞 1(\mathcal{C}^0)_1 = \mathcal{C}_1 (s oznakama x 0x^0 i f 0f^0 za xx i ff kad su u dualnoj kategoriji) s dom 0=cod,cod 0=dom:(𝒞 0) 1𝒞 0\dom^0=\cod, \cod^0=\dom : (\mathcal{C}^0)_1\to\mathcal{C}_0, m 0=mτm^0 = m\circ \tau gdje je τ:(𝒞 0) 1× (𝒞 0) 0(𝒞 0) 1𝒞 1× 𝒞 0𝒞 1\tau : (\mathcal{C}^0)_1\times_{(\mathcal{C}^0)_0}(\mathcal{C}^0)_1\to \mathcal{C}_1\times_{\mathcal{C}_0}\mathcal{C}_1 kanonska bijekcija medju klasom kompozabilnih i klasom (kompozabilnih) 0(\mathrm{kompozabilnih})^0 morfizama (f,g)(g,f)(f,g)\mapsto (g,f).

\nxsubpoint (Zadatak 0.1) Dokaži da je dualna kategorija dobro definirana kategorija.

\nxpoint Objekt x𝒞 0x\in\mathcal{C}_0 je (univerzalni) inicijalni (redom terminalni) objekt ako za svaki y𝒞 0y\in\mathcal{C}_0 postoji jedinstveni morfizam f:xyf:x\to y (redom f:yxf:y\to x). Terminalni objekt xx se naziva takodjer finalnim ili konačnim; xx je očito terminalni u 𝒞\mathcal{C} akko je x 0x^0 inicijalni u 𝒞 0\mathcal{C}^0.

\nxsubpoint (Zadatak 0.2) Inicijalni objekt, ako postoji, je jedinstven do na izomorfizam.

\nxpoint Funktor je morfizam F=(F 0,F 1):𝒢F = (F_0,F_1):\mathcal{G}\to\mathcal{H} pripadnih velikih grafova koji komutira s kompozicijom, tj. c (F 1×F 1)=F 1c 𝒢:𝒢 1× 𝒢 0𝒢 1c^{\mathcal{H}}\circ(F_1\times F_1) = F_1\circ c^{\mathcal{G}} : \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1 i koji salje identitete u identitete, tj. za svaki objekt gmathG 0g\in \math{G}_0 vrijedi F(id g)=id F(g)F(id_g) = id_{F(g)}. Domena i kodomena funktora FF su, naravno, 𝒢\mathcal{G} i \mathcal{H} respektivno.

Ponekad se govori i “kovarijantni funktor iz 𝒢\mathcal{G} u \mathcal{H}”. Kontravarijantni funktor GG iz 𝒢\mathcal{G} u \mathcal{H} označava po definiciji (kovarijantni) funktor G:𝒢 0G:\mathcal{G}^0\to\mathcal{H}. Endofunktor u 𝒞\mathcal{C} je funktor F:𝒞𝒞F:\mathcal{C}\to\mathcal{C}.

Funktor F:𝒢F :\mathcal{G}\to\mathcal{H} je vjeran (pun, ulaganje kategorija) ako je F 1| Hom(x,y)F_1|_{\Hom(x,y)} injekcija (redom: surjekcija, bijekcija) za svaki par objekata x,y𝒢 0x,y\in\mathcal{G}_0.

\nxpoint Potkategorija (𝒞,j)(\mathcal{C},j) kategorije 𝒟\mathcal{D} je uredjeni par kategorije 𝒞\mathcal{C} i vjernog funktora j:𝒞𝒟j:\mathcal{C}\to\mathcal{D}. Potkategorija u užem smislu je potkategorija za koju su j k:𝒞 k𝒟 kj_k: \mathcal{C}_k\subset\mathcal{D}_k za k=1,2k = 1,2, kanonska ulaganja podskupova. Potkategorija je puna ako je jj ulaganje kategorija, tj. puni i vjeran funktor.

\nxsubpoint (Zadatak 0.3) Za svaku potklasu POb𝒟P\subset\Ob\mathcal{D} postoji jedinstvena puna potkategorija 𝒫\mathcal{P} u užem smislu, takva da je Ob𝒫=P\Ob\mathcal{P} = P i Mor𝒫Mor𝒟\Mor\mathcal{P}\subset\Mor\mathcal{D}. Kažemo da je 𝒫\mathcal{P} puna potkategorija kategorije 𝒟\mathcal{D} generirana klasom objekata PP.

\nxpoint Za dva funktora F,G:𝒞𝒟F,G:\mathcal{C}\to\mathcal{D}, ** (prirodna) transformacija** α:FG\alpha : F\Rightarrow G je funkcija α:Ob𝒞Mor𝒟\alpha : \Ob\mathcal{C}\to\Mor\mathcal{D}, gdje je α C:=α(C):F 0(C)G 0(C)\alpha_C :=\alpha(C) : F_0(C)\to G_0(C) te za svaki morfizam f:CCf:C\to C' u kategoriji 𝒞\mathcal{C}, slijedeći dijagram “prirodnosti” komutira

F 0(C) F 1(f) F 0(D) α C α D G 0(C) G 1(f) G 0(D)\array{F_0(C)&\stackrel{F_1(f)}\to&F_0(D)\\ \alpha_C\downarrow &&\downarrow\alpha_D\\ G_0(C)&\underset{G_1(f)}\to&G_0(D)}

α C\alpha_C je CC-komponenta transformacije α\alpha. Prirodnu transformaciju čije su sve komponente izomorfizmi zovemo (prirodni) izomorfizam funktora.

\nxpoint Par funkcija (id Ob𝒞,id Mor𝒞)(\id_{\Ob\mathcal{C}},\id_{\Mor\mathcal{C}}) čini identični funktor id 𝒞:𝒞𝒞\id_{\mathcal{C}} : \mathcal{C}\to\mathcal{C} ponekad označen 𝒞\mathcal{C}. Funktor F:𝒞𝒟F:\mathcal{C}\to\mathcal{D} je izomorfizam kategorija ako postoji funktor G:𝒟𝒞G:\mathcal{D}\to\mathcal{C} koji mu je striktni inverz, tj. GF=id 𝒞G\circ F=\id_{\mathcal{C}} i FG=id 𝒟F\circ G=\id_{\mathcal{D}}. Funktor F:𝒞𝒟F:\mathcal{C}\to\mathcal{D} je ekvivalencija kategorija ako postoje funktor H:𝒟𝒞H:\mathcal{D}\to\mathcal{C} i prirodni izomorfizmi funktora α:id 𝒞HF\alpha : \id_{\mathcal{C}}\to H\circ F i β:id 𝒟FH\beta:\id_{\mathcal{D}}\to F\circ H. Dvije kategorije 𝒞,𝒟\mathcal{C},\mathcal{D} su ekvivalentne ako postoji ekvivalencija F:𝒞𝒟F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}. Ekvivalencija malih kategorija je relacija ekvivalencije na klasi svih malih kategorija. Kategorija 𝒞\mathcal{C} je skeletalna ako za su bilo koja dva medjusobno izomorfna objekta u 𝒞\mathcal{C} jednaka.

\nxsubpoint (Zadatak 0.4) Ukoliko prihvatimo aksiom izbora, tada za svaku kategoriju 𝒞\mathcal{C} postoji skeletalna kategorija 𝒟\mathcal{D} ekvivalentna kategoriji 𝒞\mathcal{C}. Izbor 𝒟\mathcal{D} je jedinstven do na izomorfizam kategorija i zovemo ga skeleton kategorije 𝒞\mathcal{C}.

\nxsubpoint Funktor F:𝒢F:\mathcal{G}\to\mathcal{H} je esencijalno surjektivan (na objektima) (kratica e.s.o.) ako za svaki objekt HH u \mathcal{H} postoji objekt GG u 𝒢\mathcal{G} i izomorfizam F(G)HF(G)\stackrel{\cong}\to H.

\nxsubpoint Teorem. Funktor je ekvivalencija akko je potpun, vjeran i esencijalno surjektivan.

\nxpoint Kategorija cat\cat. Objekti u cat\cat su male kategorije. Morfizmi su funktori, a kompozicija je kompozicija funktora dana s FG=(F 0,F 1)(G 0,G 1):=(F 0G 0,F 1G 1)F\circ G = (F_0,F_1)\circ(G_0,G_1) := (F_0\circ G_0,F_1\circ G_1) gdje su kompozicije s lijeve strane kompozicije funkcija skupova. Bifunktor je funktor čija je domena kartezijev produkt dviju kategorija.

\nxpoint Neka su 𝒞,𝒟\mathcal{C},\mathcal{D} dvije kategorije. Kartezijev produkt 𝒞×𝒟\mathcal{C}\times\mathcal{D} je kategorija zadana s Ob(𝒞×𝒟)=Ob𝒞×Ob𝒟\Ob(\mathcal{C}\times\mathcal{D}) = \Ob\mathcal{C}\times\Ob\mathcal{D}, Mor(𝒞×𝒟)=Mor𝒞×Mor𝒟\Mor(\mathcal{C}\times\mathcal{D})=\Mor\mathcal{C}\times\Mor\mathcal{D}, s(c,d)=(s 𝒞(c),s 𝒟(d))s(c,d)= (s^\mathcal{C}(c),s^{\mathcal{D}}(d)), t(c,d)=(t 𝒞(c),t 𝒟(d))t(c,d)=(t^{\mathcal{C}}(c),t^{\mathcal{D}}(d)) i (f,g)(f,g)=(f 𝒞f,g 𝒟g)(f,g)\circ (f',g') = (f\circ^{\mathcal{C}} f',g\circ^{\mathcal{D}} g'), za sve cOb𝒞,dOb𝒟,f,fMor𝒞,g,gMor𝒟c\in\Ob\mathcal{C},d\in\Ob\mathcal{D}, f,f'\in\Mor\mathcal{C},g,g'\in\Mor\mathcal{D}. Ova definicija se na očit način poopćava na kartezijev produkt bilo koje (male) familije kategorija.

\nxpoint Dijagram d:𝒟𝒞d:\mathcal{D}\to\mathcal{C} u kategoriji 𝒞\mathcal{C} je funktor iz male kategorije 𝒟\mathcal{D} u kategoriju 𝒞\mathcal{C}. Fiksirajmo malu kategoriju 𝒟\mathcal{D}. Konus tipa dd u kategoriji 𝒞\mathcal{C} je prirodna transformacija γ:const xd\gamma : \mathrm{const}_x\Rightarrow d gdje je const x:𝒟𝒞\mathrm{const}_x :\mathcal{D}\to\mathcal{C} konstantni funktor DxOb𝒞D\mapsto x\in\Ob\mathcal{C}. Objekt xx je vrh konusa γ\gamma. Kokonus tipa dd u kategoriji 𝒞\mathcal{C} je konus tipa 𝒟\mathcal{D} u kategoriji 𝒞 0\mathcal{C}^0.

Konusi tipa dd u kategoriji 𝒞\mathcal{C} čine klasu objekata Obcone(d,𝒞)\Ob\mathrm{cone}(d,\mathcal{C}). Morfizam konusa f:αβf :\alpha\to\beta je morfizam s:xys:x\to y u 𝒞\mathcal{C} gdje je xx vrh konusa α\alpha, yy vrh konusa β\beta i za svaki D𝒟D\in\mathcal{D}, β Ds=α D\beta_D\circ s = \alpha_D. Morfizmi konusa tipa dd čine klasu Morcone(d,𝒞)\Mor\mathrm{cone}(d,\mathcal{C}). Kompozicija morfizama konusa je kompozicija pripadnih morfizama u 𝒞\mathcal{C}. Time je definirana kategorija cone(d,𝒞)\mathrm{cone}(d,\mathcal{C}); analogno se definira kategorija kokonusa cocone(d,𝒞)=cone(d,𝒞 0)\mathrm{cocone}(d,\mathcal{C}) = \mathrm{cone}(d,\mathcal{C}^0). Terminalni objekt kategorije konusa tipa dd je univerzalni konus ili limes dijagrama dd; njegov vrh se označava s limd\lim d; inicijalni objekt kategorije kokonusa tipa dd je univerzalni kokonus ili kolimes dijagrama dd čiji vrh označavamo s colimd\mathrm{colim}\,d. Ponekad se pod limesom (kolimesom) dijagrama neprecizno podrazumijeva njegov vrh.

Prirodnu transformaciju funktora α:dd:𝒟𝒞\alpha:d\Rightarrow d':\mathcal{D}\to\mathcal{C} zovemo morfizam dijagrama. Dijagrami i prirodne transformacije čine kategoriju Nat(𝒟,𝒞)\mathrm{Nat}(\mathcal{D},\mathcal{C}). Ukoliko umjesto dijagrama gledamo velike kategorije, tada analogna kategorija nije dobro definirana.

Ako je α:dd\alpha :d\Rightarrow d' morfizam dijagrama i s:const xds:\mathrm{const}_x\Rightarrow d konus nad dijagramom dd, tada je αs:const xd\alpha\circ s:\mathrm{const}_x\Rightarrow d' konus nad dijagramom dd'. Ako je s=limds'=\lim d' univerzalni konus nad dd' s vrhom xx' tada po univerzalnom svojstvu limesa postoji jedinstveni morfizam xxx\to x' koji je ujedno morfizam konusa nad dd'. Taj morfizam označavamo s limα\lim \alpha.

(Zadatak 0.5) Dokaži da je ta korespodencija funktorijalna:\newline lim:Nat(𝒟,𝒞)𝒞\lim : \mathrm{Nat}(\mathcal{D},\mathcal{C})\to\mathcal{C} je funktor; colim:Nat(𝒟,𝒞) 0𝒞\colim :\mathrm{Nat}(\mathcal{D},\mathcal{C})^0\to\mathcal{C} je funktor.

\nxpoint Kategorija 𝒞\mathcal{C} je diskretna ako je jedinica i:Ob𝒞Mor𝒞i :\Ob\mathcal{C}\to\Mor\mathcal{C} bijekcija. Očito je svaka diskretna kategorija skeletalna, ali ne i obratno. Za svaku klasu SS postoji kategorija Disc(S)\mathrm{Disc}(S), jedinstvena do na izomorfizam kategorija, čija klasa objekata je SS (kanonski reprezentant te klase ima i istu klasu morfizama, gdje je jedinica identiteta id S:SS\id_S : S\to S). Primijeti da se, sa skupova SS, korespodencija SDisc(S)S\mapsto \mathrm{Disc}(S) može proširiti do funktora Setcat\Set\to\cat.

Neka je AA skup, i {s a,aA}\{s_a,a\in A\} (mala) familija objekata s aOb𝒞s_a\in\Ob\mathcal{C} (tj. funkcija s:AOb𝒞s : A\to\Ob\mathcal{C}). Produkt ( aAs a,p)(\prod_{a\in A} s_a,p) je limes funktora Disc(A):Disc(S)𝒞\mathrm{Disc}(A) : \mathrm{Disc} (S)\to \mathcal{C}, ako postoji (ili njegov vrh). Komponente univerzalnog konusa p b: as as bp_b : \prod_a s_a \to s_b se zovu kanonske projekcije produkta. Koprodukt je kolimes funktora Disc(A):Disc(S)𝒞\mathrm{Disc}(A) : \mathrm{Disc} (S)\to \mathcal{C}; vrh univerzalnog konusa se označava s aAs a\coprod_{a\in A} s_a a njegove komponente i b:s b aAs ai_b : s_b\to\coprod_{a\in A} s_a se zovu kanonske injekcije koprodukta.

\nxsubpoint (Zadatak 0.6) Produkt male familije objekata u cat\cat je kanonski izomorfan njihovom kartezijevom produktu.

\nxpoint Morfizmi f,gf,g su paralelni ako imaju istu domenu i kodomenu. Dijagram oblika AhBgfCA\stackrel{h}\to B\overset{f}\underset{g}\rightrightarrows C nazivamo vilica ukoliko fh=ghf\circ h = g\circ h; očito vilica nije ništa drugo nego konus nad paralelnim parom BgfCB\overset{f}\underset{g}\rightrightarrows C. Univerzalna vilica, tj. limes paralelnog para naziva se i ujednačitelj (am. engl. equalizer). Analogno, kolimes univerzalnog para BgfCB\overset{f}\underset{g}\rightrightarrows C nazivamo koujednačitelj. Kategorija 𝒞\mathcal{C} je (ko)zatvorena ako ima (ko)limese svih malih dijagrama d:𝒟𝒞d:\mathcal{D}\to\mathcal{C}. Kategorija je konačno zatvorena ako ima (ko)limese svih konačnih dijagrama (dijagrama s konačno mnogo objekata i konačno mnogo morfizama).

\nxpoint Teorem. Kategorija 𝒞\mathcal{C} je (konačno) zatvorena akko ima sve (konačne) produkte i ujednačitelje svih paralelnih parova. Kategorija je (konačno) kozatvorena ako ima sve (ko)načne koprodukte i koujednačitelje.

Dokaz. Po dualnosti je dovoljno pokazati slučaj kolimesa. Netrivijalan smjer je da je postojanje produkata (redom, konačnih produkata) i koujednačitelja dovoljno za postojanje svih limesa. Promatrajmo dakle proizvoljni dijagram d:𝒟𝒞d:\mathcal{D}\to\mathcal{C}. Po pretpostavci postoje produkti P= D𝒟 0d(D)P =\prod_{D\in\mathcal{D}_0} d(D) i Q= (f:DD)𝒟 1d(D)Q = \prod_{(f:D\to D')\in\mathcal{D}_1} d(D') s projekcijama p D:Pd()p_D: P\to d() i q f:Qd(codf)q_f : Q\to d(\cod f). Po univerzalnom svojstvu produkta QQ postoje jedinstveni paralelni par F,G:PQF,G : P\to Q takav da p codf=q fFp_{\cod f} = q_f\circ F i fp domf=q fGf\circ p_{\dom f} = q_f\circ G za sve ff u 𝒟(D,D)\mathcal{D}(D,D'):

P F Q P G Q p D q f p D q f D D f D\array{ P&\overset{F}\to&Q&\,&&P&\overset{G}\to& Q\\ &\searrow p_{D'}&\downarrow q_f&\,&&p_D \downarrow &&\downarrow q_f\\ && D'&\,&&D&\underset{f}\to&D' }

Neka je u:APu: A\to P ujednačitelj tog para. Tvrdnja: p Du:Ad(D)p_D\circ u : A\to d(D) je komponenta projekcije limesa limd\lim d u DD. Najprije provjeravamo da te projekcije zaista čine konus:

fp domfu=q fGu=q fFu=p codfu:Ad(codf). f\circ p_{\dom f} \circ u = q_f\circ G\circ u = q_f\circ F\circ u = p_{\cod f}\circ u : A\to d(\cod f).

Neka su w D:Bd(D)w_D:B\to d(D) komponente bilo kojeg drugog konusa nad dd; dakle fw domf=w codff\circ w_{\dom f} = w_{\cod f} for all fMor𝒟f\in\Mor\mathcal{D}. Po univerzalnom svojstvu produkta PP postoji jedinstveni morfizam v:BPv : B\to P takav da p Dv=w Dp_D\circ v = w_D za sve DOb𝒟D\in\Ob\mathcal{D}. Po definiciji FF i GG,

(eq:qfcalc)q fFv=p Dv=w D=fw D=fp Dv=q fGv,(?)\,\,\,\,\,\,\, q_f\circ F\circ v = p_{D'}\circ v = w_{D'}= f\circ w_D = f\circ p_{D}\circ v = q_f\circ G \circ v,

što po univerzalnom svojstvu produkta QQ implicira Fv=GvF\circ v = G\circ v, tj.

BvPGFQB\stackrel{v}\to P\underset{F} \overset{G}\rightrightarrows Q

je vilica. Stoga, po univerzalnosti ujednačitelja (A,u)(A,u), postoji jedinstveni morfizam z:BAz: B\to A tako da je uz=v:BPu\circ z = v : B\to P. No posljednja jednakost je ekvivalentna (po univerzalnom svojstvu produkta PP) familiji identiteta p Duz=p Dvp_D\circ u\circ z = p_D\circ v gdje DD ide po 𝒟 0\mathcal{D}_0. Potonji uvjet se može napisati kao (p Du)z=w D(p_D\circ u)\circ z = w_D; stoga je zz, pri tome jedinstveni, morfizam iz konusa (B,w D)(B,w_D) u konus (A,p Du)(A,p_D\circ u); dakle (A,p Du)(A,p_D\circ u) je limes početnog dijagrama dd.

\nxpoint Korolar. Kategorija skupova Set\Set je zatvorena i kozatvorena kategorija.

Skica dokaza. Dovoljno je pokazati da je (kategorijski) produkt familije skupova A iA_i njihov Kartezijev produkt s prirodnim projekcijama p i:× jA jA ip_i : \times_j A_j\to A_i te da je ujednačitelj dva preslikavanja f,g:ABf,g: A\to B skup {ainA|f(a)=g(a)} \{ a in A | f(a) = g(a)\} .

\nxpoint Neka je G:𝒟𝒞G:\mathcal{D}\to\mathcal{C} funktor (𝒟\mathcal{D} sad nije nužno malena kategorija). Par (r,u)(r,u) gdje je rr objekt u 𝒟\mathcal{D} i u:cSru:c\to Sr morfizam u 𝒞\mathcal{C}, zovemo univerzalna strelica ako za svaki objekt dd u 𝒟\mathcal{D} i svaki f:cGdf:c\to Gd postoji jedinstveni morfizam f:rdf':r\to d tako da je Gfu=fG f'\circ u = f.

\nxpoint Primjer. Neka je Grp\Grp kategorija grupa i homomorfizama grupa, Set\Set kategorija skupova i za svaki skup SS neka je FSF S slobodna grupa s bazom SS, te U:GrpSetU:\Grp\to\Set “zaboravni” funktor koji grupi pridružuje njen pripadni skup. Tada je za svaki skup SS, par skupa SS i prirodnog ulaganja baze SS u FSF S kao morfizam skupova univerzalna strelica.

\nxpoint (Notacija) Kompoziciju funktora ćemo često označavati konkatenacijom. Za danu transformaciju α:FG:𝒞𝒟\alpha : F\Rightarrow G :\mathcal{C}\to\mathcal{D} i funktor H:𝒜𝒞H:\mathcal{A}\to\mathcal{C} s αH=α H:FHGH:𝒜𝒟\alpha H = \alpha_H:F H\Rightarrow G H:\mathcal{A}\to\mathcal{D} označavamo transformaciju s komponentama (α H) A:=α H(A)(\alpha_H)_A := \alpha_{H(A)}. Ako je L:𝒟𝒢L:\mathcal{D}\to\mathcal{G} funktor tada s Lα=L(α):LFLG:𝒞𝒢L\alpha = L(\alpha):L F\Rightarrow L G:\mathcal{C}\to\mathcal{G} označavamo transformaciju s komponentama (Lα) C:=L(α C)(L\alpha)_C := L(\alpha_C). U praksi često s 𝒞(C,C)\mathcal{C}(C,C') označavamo Hom 𝒞(C,C)\Hom_{\mathcal{C}}(C,C').

\nxpoint Neka su F:𝒞𝒟F:\mathcal{C}\to\mathcal{D} i U:𝒟𝒞U:\mathcal{D}\to\mathcal{C} dva funktora. Par prirodnih transformacija η:idUF\eta : \id\Rightarrow U F, ϵ:FUid\epsilon:F U\Rightarrow\id su redom jedinica i kojedinica adjunkcije ako vrijede “trokutni” identiteti U(ϵ)η U=id UU(\epsilon)\circ\eta_U = \id_U, ϵ FF(η)=id F\epsilon_F\circ F(\eta)= \id_F. Tada kažemo da je funktor FF lijevo adjungiran funktoru UU ili, ekvivalentno, da je funktor UU desno adjungiran funktoru FF i pišemo FUF\dashv U.

\nxpoint Propozicija. FUF\dashv U akko postoji (bi)prirodni izomorfizam bifunktora b:Hom 𝒞(Id,U)Hom 𝒟(F,Id):𝒞×𝒟Setb:\Hom_{\mathcal{C}}(\Id,U)\cong\Hom_{\mathcal{D}}(F,\Id):\mathcal{C}\times\mathcal{D}\to\Set tj. za svaki par objekata CC iz 𝒞\mathcal{C}, DD iz 𝒟\mathcal{D} možemo izabrati bijekciju b C,D:𝒞(C,UD)𝒟(FC,D)b_{C,D}:\mathcal{C}(C,U D)\cong\mathcal{D}(F C,D) i te bijekcije su prirodne u oba argumenta.

Dokaz. Pretpostavimo da je dana adjunkcija. Kojedinica adjunkcije η\eta inducira preslikavanje b C,Db_{C,D} formulom b C,D(f)=ϵ DFfb_{C,D}(f) = \epsilon_D\circ Ff, a jedinica njen inverz gUgη Cg\mapsto U g\circ\eta_C. Trokutne relacije impliciraju da su te dvije funkcije zaista inverzi. Prirodnost nije teško provjeriti.

Obratno, ako je zadana biprirodni izomorfizam bb, tada je jedinica adjunkcije dana s η C=b C,FC 1(id FC):CUFC\eta_C= b_{C,F C}^{-1}(\id_{F C}) : C\to U F C, a kojedinica adjunkcije s ϵ D=b UD,Did UD:FUDD\epsilon_D = b_{U D,D}\circ \id_{U D}: F U D\to D.

(Zadatak 0.7) Ispuni preostale detalje ovog dokaza.

\nxpoint Propozicija. Neka je F:𝒞𝒟F:\mathcal{C}\to\mathcal{D} ekvivalencija kategorija. Tada postoji adjunkcija FGF\dashv G čija su jedinica i kojedinica izomorfizmi.

Drugim riječima, svaka ekvivalencija se može zamijeniti adjungiranom ekvivalencijom.

\nxpoint Neka je 𝒮\mathcal{S} neka standardna kategorija (npr. kategorija skupova), a 𝒞\mathcal{C} kategorija. Tipičan primjer kategorije 𝒞\mathcal{C} u tom kontekstu je kategorija Ouv(X,τ)\mathrm{Ouv}(X,\tau) otvorenih skupova i ulaganja otvorenih skupova u topološkom prostoru (X,τ)(X,\tau). Funktor 𝒞 0𝒮\mathcal{C}^0\to\mathcal{S} se naziva predsnop na 𝒞\mathcal{C} s vrijednostima u} 𝒮\mathcal{S} je bilo koji kontravarijantni funktor iz 𝒞\mathcal{C} u 𝒮\mathcal{S}. Reprezentabilan predsnop je predsnop skupova koji je izomorfan predsnopu oblika h C=Hom 𝒞(Id,C)h_C = \Hom_{\mathcal{C}}(\Id,C). Mali predsnop skupova je predsnop koji je izomorfan limesu nekog dijagrama reprezentabilnih predsnopova.

\nxpoint Neka je 𝒟\mathcal{D} mala kategorija, a 𝒞\mathcal{C} kategorija. Kategorija funktora i prirodnih transformacija Nat(𝒟,𝒞)\mathrm{Nat}(\mathcal{D},\mathcal{C}) se ponekad označava eksponencijalnom notacijom 𝒞 𝒟\mathcal{C}^{\mathcal{D}}. Ukoliko 𝒞=Set\mathcal{C} = \Set i 𝒟\mathcal{D} mala, tada se s 𝒟^:=Set 𝒟 0\hat\mathcal{D}:=\Set^{\mathcal{D}^0} označava kategorija predsnopova skupova na 𝒟\mathcal{D}. Ako 𝒟\mathcal{D} nije mala, tada ili Set\Set zamijenimo s Set 𝒰\Set_{\mathcal{U}}, ili gledamo samo male predsnopove.

\nxpoint Definicija. Korespodencija

h:Dh D:=Hom 𝒟(,D),DOb𝒟,h(f)(g)=fg:CE,h:D\mapsto h_D:=\Hom_\mathcal{D}(-,D), \,\,\,D\in\Ob\mathcal{D},\,\,\,\,h(f)(g)=f\circ g : C\to E,

gdje su f:DEf:D\to E, g:CEg: C\to E morfizmi u 𝒟\mathcal{D} je funktor h:𝒟𝒟^h:\mathcal{D}\to\hat{\mathcal{D}} kojeg nazivamo Yonedino ulaganje.

\nxpoint Teorem. (Yonedina lema, jaka verzija) Neka je P:𝒟SetP:\mathcal{D}\to\Set bilo koji predsnop skupova. Tada postoji, prirodna u DD, bijekcija skupova

Nat(h D,P)P(D). \mathrm{Nat}(h_D,P)\cong P(D).

Koristan savjet čitatelju: pokušajte najprije sami dokazati ovaj teorem.

Dokaz. Neka je α:h DP\alpha : h_D\Rightarrow P prirodna transformacija s komponentama α C:Hom 𝒟(C,D)P(D)\alpha_C : \Hom_{\mathcal{D}}(C,D)\to P(D). Tada definiramo X αP(D)X_\alpha\in P(D) sa X α=α D(id D)X_\alpha = \alpha_D(\id_D). Dovoljno je pokazati da preslikavanje X:αX αX : \alpha \mapsto X_\alpha Nat(h D,P)P(D)\mathrm{Nat}(h_D,P)\stackrel\cong\to P(D) ima inverz. Za svaki yy u P(D)P(D) definiramo prirodnu transformaciju e(y):h DPe(y):h_D\Rightarrow P s komponentama e(y) C:(fh D(C))(P(f)(y)P(C))e(y)_C: (f\in h_D(C))\mapsto (P(f)(y)\in P(C)) (sjetimo se da je PP kontravarijantan, dakle P(f):P(D)P(C)P(f):P(D)\to P(C)). Tada

e(X α) C(f)=P(f)(α D(id D))=α CP(f)(id D)=α Cid C=α C, e(X_\alpha)_C(f) = P(f)(\alpha_D(\id_D)) =\alpha_C \circ P(f)(\id_D) = \alpha_C\circ\id_C=\alpha_C,
X e(y)=(e(y) D)(id D)=P(id D)(y)=y.X_{e(y)} = (e(y)_D)(\id_D)= P(\id_D)(y) = y.

Dakle, preslikavanja ye(y)y\mapsto e(y) i αX α\alpha\mapsto X_\alpha su jedan drugome inverzi.

Dijagrame prirodnosti ostavljamo čitatelju za provjeru.

\nxpoint Korolar. (Yonedina lema, slaba verzija) Yonedino ulaganje h:Dh Dh: D\mapsto h_D je potpun i vjeran funktor h:𝒟𝒟^h:\mathcal{D}\to\hat\mathcal{D}.

Dokaz. U jakoj Yonedinoj lemi gore stavimo P=h CP = h_C. Tako dobivamo bijekciju Nat(h D,h C)𝒟(D,C)\mathrm{Nat}(h_D,h_C)\cong \mathcal{D}(D,C) za svaki par C,DC,D, tj. funktor Dh DD\mapsto h_D je ulaganje kategorija.

\nxpoint Primijetimo da se Yonedino ulaganje prirodno razlaže u kompoziciju 𝒟h sm𝒟^ sm𝒟^\mathcal{D}\stackrel{h^{\mathrm{sm}}}\longrightarrow\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}}\hookrightarrow \hat\mathcal{D} gdje je 𝒟^ sm\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}} kategorija malih predsnopova, a 𝒟^ sm𝒟^\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}}\hookrightarrow \hat\mathcal{D} kanonsko ulaganje. Naime svaki reprezentabilni snop je mali po definiciji.

\nxpoint Kažemo da funktor F:𝒞𝒟F:\mathcal{C}\to\mathcal{D} čuva limese (nekog tipa) ukoliko šalje univerzalne konuse u univerzalne konuse (nad dijagramima danog tipa). Drugim riječima, za svaki dijagram d:𝒟𝒞d:\mathcal{D}\to \mathcal{C}, za koji postoji limes u 𝒞\mathcal{C}, postoji i limes dijagrama FdF\circ d te lim(Fd)=F(limd)\lim(F\circ d) = F(\lim d) (pri čemu potonja jednakost za vrh limesa, podrazumijeva i da projekcije od limd\lim d funktor FF šalje u odgovarajuće projekcije od lim(Fd)\lim (F\circ d)).

Last revised on November 6, 2012 at 18:38:40. See the history of this page for a list of all contributions to it.