Zoran Skoda lecsCatCh0

Pretpostavlja se da slušači imaju osnovnu predodžbu o razlici medju skupovima i klasama, o neprebrojivosti, aksiomatskim sustavima i da su bar jednom vidjeli ZFC (Zermelo-Frankelova (ZF) aksiomatika teorije skupova s aksiomom izbora AC).

Sjetimo se da je dobar uredjaj na skupu $S$ takav linearni uređaj u kojem svaki podskup $T\subset S$ ima najmanji element.

Skup $X$ je tranzitivan ako $Z\in Y\in X$ implicira $Z\in X$ (“sa svakim skupom kojeg sadrži kao element, sadrži i sve njegove elemente”). Ordinal je tranzitivni skup koji je dobro uredjen. Za bilo koja dva dobro uređena skupa $X,Y$ vrijedi jedna od tri alternative: $X$ je izomorfan $Y$, $X$ je izomorfan početnom segmentu od $Y$ ili je $Y$ izomorfan početnom segmentu od $X$.

Granični ordinali su oni ordinali koji nisu neposredni sljedbenik ni jednog drugog ordinala. Neka je $P(A)$ partitivni skup skupa $A$. Transfinitnom rekurzijom definiramo skupove $V_\alpha$ gdje je $\alpha$ ordinal:

• $V_0 = \emptyset$

• $V_{\alpha + 1} = P(V_\alpha)$

• $V_\alpha = \cup_{\beta\lt\alpha} V_\beta$ ako je $\alpha$ granični ordinal.

Kardinal je ordinal koji nije bijektivan s ni jednim manjim ordinalom. Svaki kardinal je granični ordinal. Klasa ordinala $\mathrm{Ord}$ je dobro uredjena s obzirom na relaciju $\alpha\in\beta$, a isto vrijedi i na potklasu kardinala $\mathrm{Card}$. Aksiom regularnosti je ekvivalentan tvrdnji da je svaki skup element nekog $V_\alpha$; svi oni zajedno čine klasu koja se zove von Neumannov univerzum $\mathcal{V}$.

Beskonačni kardinal $\kappa$ je regularan ako nije unija $\lt\kappa$ skupova kardinalnosti manje od $\kappa$. Kardinal $\kappa$ je jako granični ako $\lambda\lt\kappa$ implicira $2^\lambda \lt\kappa$ (tj. ako mu je $x$ element onda mu je i partitivni skup $P(x)$ element). Nedostižni (ili nedosezljivi, engl. inaccessible) kardinali su neprebrojivi jako granični regularni kardinali.

Ne samo da ZFC ne implicira postojanje nedostižnih kardinala, nego u ZFC ne možemo ni dokazati konzistenciju dodatnog aksioma da nedostižni kardinali postoje. Ukoliko postoji nedostižni kardinal, onda postoji beskonačno puno nedostižnih kardinala koji su veći od njega.

Grothendieckov univerzum $\mathcal{U}$ je skup oblika $V_\alpha$ gdje je $\alpha$ nedosezljivi kardinal. Dakle aksiom o postojanju Grothendieckovih univerzuma kojeg ćemo mi prihvaćati u ovom kolegiju, je ekvivalentan aksiomu da je svaki skup sadržan kao element u nekom nedosezljivom nedosezljivom kardinalu. Bilo koji element Grothendieckovog univerzuma $\mathcal{U}$ se naziva $\mathcal{U}$-malenim skupom.

Alternativno, Grothendieckov univerzum je tranzitivan skup zatvoren s obzirom na formiranje parova, unija familija podskupova indeksiranim bilo kojim svojim elementom i na operaciju partitivnog skupa. S druge strane, svaki Grothendieckov univerzum (ako postoji) je model ZFC.

\nxpoint Veliki graf $\mathcal{G}$ se sastoji od klase vrhova (objekata) $\Ob\mathcal{G} = \mathcal{G}_0$, klase bridova (morfizama, strelica) $\Mor\mathcal{G}=\mathcal{G}_1$, te dviju funkcija $\dom,\cod:\Mor\mathcal{G}\to\Ob\mathcal{G}$ (domena i kodomena), koje ćemo takodjer označavati i s $s = \dom,t=\cod$ (izvor i ponor). Ako je $f\in \mathcal{G}_1$, $x,y\in \mathcal{G}$ s $f : x\to y$ označavamo sud $(x =\dom f$ i $y =\cod f)$. Par $f = (f_0,f_1)$ preslikavanja $f_k:\mathcal{G}_k\to\mathcal{H}_k$, $k = 1,2$ je morfizam velikih grafova ako $\cod^{\mathcal{H}}\circ f_1 = f_0\circ\cod^{\mathcal{G}}$ i $\dom^{\mathcal{H}}\circ f_1 = f_0\circ\dom^{\mathcal{G}}$. U praksi ćemo često pisati neprecizno $f$ ne samo za par $(f_1,f_2)$ nego i za $f_0$ i $f_1$, npr. ako je $C\in\Ob\mathcal{G}$, $f(C)$ označava zapravo $f_1(C)$.

Za dva preslikavanja $a:X\to Z$, $b:Y\to Z$, s $X\,{}_a\!\!\!\times_b Y$ ili, ako $a,b$ podrazumijevamo, s $X\times_Z Y$ označavamo klasu

$$X \,{}_a\!\!\!\times_b Y:= \lbrace(x,y)\in X\times Y\,|\,a(x)=b(y)\rbrace.$$

S tom klasom prirodno su zadane projekcije $p_k$, $k =1,2$ s $X\,{}_a\!\!\!\times_b Y$ redom na prvu i drugu komponentu $X$ i $Y$ kao restrikcija projekcija s kartezijevog produkta $X\times Y$ klasa. Notacija $\mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1$, $\mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_0$ će uvijek podrazumijevati da je preslikavanje iz $\mathcal{G}_1$ u $\mathcal{G}_0$ domena ako je slijeva i kodomena ako je zdesna, te identiteta $\id:\mathcal{G}_0\to\mathcal{G}_0$.

\nxpoint Kategorija $\mathcal{C}$ je veliki graf s dvije funkcije $m:\Mor\mathcal{C}{}_{\mathrm{dom}}\times_{\mathrm{cod}}\Mor\mathcal{C}\to\Mor\mathcal{C}$, $i:\Ob\mathcal{C}\to\Mor\mathcal{C}$ (kompozicija i jedinica) gdje je u $(g,f)\in\Mor\mathcal{C}\times\Mor\mathcal{C}$ tj. onih za koje je $\cod f=\dom g$ s aksiomima navedenim niže. $\Mor\mathcal{C}{}_{\dom{}}\times_{\cod{}}\Mor\mathcal{C}$ je klasa kompozabilnih parova morfizama, analogno za $n$-torke.

Zahtijevamo asocijativnost kompozicije

$$m\circ(m\times_{\mathcal{C}_0}\id)=m\circ(\id\times_{\mathcal{C}_0} m)$$

na klasi $\Mor\mathcal{C}\,{}_\dom\times_\cod\Mor\mathcal{C}{}_\dom\times_\cod\Mor\mathcal{C}$ svih kompozabilnih trojki, aksiom jedinice

$$m\circ (i\times_{\mathcal{C}_0}\id) = m\circ (\id\times_{\mathcal{C}_0} i)=\id : \mathcal{C}_1\cong\mathcal{C}_0\times_{\mathcal{C}_0}\mathcal{C}_1\cong\mathcal{C}_1\times_{\mathcal{C}_0}\mathcal{C}_0\to\mathcal{C}_1$$

te identiteti

$$s\circ i = t\circ i = \id_{\mathcal{C}_0},$$

$$s\circ m = s\circ p_1,\,\,t\circ m = t\circ p_2:\mathcal{C}_1\times_{\mathcal{C}_0}\mathcal{C}_1\to\mathcal{C}_1.$$

Ako je $C\in\Ob\mathcal{C}$ označavamo $\id_C := i(C) : C\to C$ i zovemo identitetom, ili identičkim morfizmom objekta $C$.

Lokalno mala kategorija je kategorija takva da je za svaka dva objekta $x,y\in\Ob\mathcal{C}$ klasa $\hom(x,y) =\lbrace z|\dom z = x, \cod z = y\rbrace$ skup. U praktičnoj matematici se često podrazumijeva da se razmatraju samo lokalno malene kategorije, no mi ćemo gledati i lokalno velike.

Ako je $\mathcal{U}$ Grothendieckov univerzum, tada je $\mathcal{U}$-malena kategorija bilo koja kategorija čije su klase morfizama i objekata $\mathcal{U}$-maleni skupovi. $\mathcal{U}$-kategorija je bilo koja kategorija čiji su svi objekti i svi morfizmi u $\mathcal{U}$ (bez ponavljanja). Npr. kategorija $\Set_{\mathcal{U}}$ svih $\mathcal{U}$-malenih skupova i njihovih preslikavanja je $\mathcal{U}$-kategorija, nije $\mathcal{U}$-mala ali je lokalno $\mathcal{U}$-mala. Ona je $\mathcal{U}'$-mala za bilo koji Grothendieckov univerzum $\mathcal{U}'$ veći od $\mathcal{U}$.

\nxpoint Elementi klasa $\mathcal{C}_0$ i $\mathcal{C}_1$ nazivaju se objekti i morfizmi. Kažemo da je veliki graf (kategorija) $\mathcal{C}$ graf (mala kategorija) ako je $\mathcal{C}_0$ skup. Izomorfizam ili invertibilni morfizam $f:a\to b$ je morfizam za koji postoji inverz $g:b\to a$, tj. $f\circ g = \id_b$ i $g\circ f = \id_a$. Dva objekta $a,b\in\mathcal{C}_0$ su izomorfni ako postoji izomorfizam $f:a\to b$. Svaka identiteta je izomorfizam. Groupoid je mala kategorija čiji su svi morfizmi invertibilni.

$f:A\to B$ je epimorfizam (epi) takav da za svaka dva morfizma $g,g':B\to C$, $g'\circ f = g\circ f$ implicira $g'=g$ (desna skrativost). $f$ je monomorfizam (mono) ako za svaka dva morfizma $h,h':D\to A$, $f\circ h = f\circ h'$ implicira $h=h'$. $f$ is bimorfizam ako je i epi i mono. Svaki izomorfizam je bimorfizam. Kategorija je balansirana ako je i svaki bimorfizam izomorfizam.

\nxsubpoint (Zadatak 0.0) a) Pokaži da je prirodno ulaganje $\mathbf{Z}\subset\mathbf{Q}$ epimorfizam u kategoriji unitalnih prstena i homomorfizama unitalnih prstena.

b) Kategorija skupova i preslikavanja skupova $\Set$ je balansirana.

\nxpoint Ako je $\mathcal{C}$ kategorija, dualna kategorija $\mathcal{C}^0$ je jedinstvena kategorija takva da je $(\mathcal{C}^0)_0 = \mathcal{C}_0$, $(\mathcal{C}^0)_1 = \mathcal{C}_1$ (s oznakama $x^0$ i $f^0$ za $x$ i $f$ kad su u dualnoj kategoriji) s $\dom^0=\cod, \cod^0=\dom : (\mathcal{C}^0)_1\to\mathcal{C}_0$, $m^0 = m\circ \tau$ gdje je $\tau : (\mathcal{C}^0)_1\times_{(\mathcal{C}^0)_0}(\mathcal{C}^0)_1\to \mathcal{C}_1\times_{\mathcal{C}_0}\mathcal{C}_1$ kanonska bijekcija medju klasom kompozabilnih i klasom $(\mathrm{kompozabilnih})^0$ morfizama $(f,g)\mapsto (g,f)$.

\nxsubpoint (Zadatak 0.1) Dokaži da je dualna kategorija dobro definirana kategorija.

\nxpoint Objekt $x\in\mathcal{C}_0$ je (univerzalni) inicijalni (redom terminalni) objekt ako za svaki $y\in\mathcal{C}_0$ postoji jedinstveni morfizam $f:x\to y$ (redom $f:y\to x$). Terminalni objekt $x$ se naziva takodjer finalnim ili konačnim; $x$ je očito terminalni u $\mathcal{C}$ akko je $x^0$ inicijalni u $\mathcal{C}^0$.

\nxsubpoint (Zadatak 0.2) Inicijalni objekt, ako postoji, je jedinstven do na izomorfizam.

\nxpoint Funktor je morfizam $F = (F_0,F_1):\mathcal{G}\to\mathcal{H}$ pripadnih velikih grafova koji komutira s kompozicijom, tj. $c^{\mathcal{H}}\circ(F_1\times F_1) = F_1\circ c^{\mathcal{G}} : \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1$ i koji salje identitete u identitete, tj. za svaki objekt $g\in \math{G}_0$ vrijedi $F(id_g) = id_{F(g)}$. Domena i kodomena funktora $F$ su, naravno, $\mathcal{G}$ i $\mathcal{H}$ respektivno.

Ponekad se govori i “kovarijantni funktor iz $\mathcal{G}$ u $\mathcal{H}$”. Kontravarijantni funktor $G$ iz $\mathcal{G}$ u $\mathcal{H}$ označava po definiciji (kovarijantni) funktor $G:\mathcal{G}^0\to\mathcal{H}$. Endofunktor u $\mathcal{C}$ je funktor $F:\mathcal{C}\to\mathcal{C}$.

Funktor $F :\mathcal{G}\to\mathcal{H}$ je vjeran (pun, ulaganje kategorija) ako je $F_1|_{\Hom(x,y)}$ injekcija (redom: surjekcija, bijekcija) za svaki par objekata $x,y\in\mathcal{G}_0$.

\nxpoint Potkategorija $(\mathcal{C},j)$ kategorije $\mathcal{D}$ je uredjeni par kategorije $\mathcal{C}$ i vjernog funktora $j:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$. Potkategorija u užem smislu je potkategorija za koju su $j_k: \mathcal{C}_k\subset\mathcal{D}_k$ za $k = 1,2$, kanonska ulaganja podskupova. Potkategorija je puna ako je $j$ ulaganje kategorija, tj. puni i vjeran funktor.

\nxsubpoint (Zadatak 0.3) Za svaku potklasu $P\subset\Ob\mathcal{D}$ postoji jedinstvena puna potkategorija $\mathcal{P}$ u užem smislu, takva da je $\Ob\mathcal{P} = P$ i $\Mor\mathcal{P}\subset\Mor\mathcal{D}$. Kažemo da je $\mathcal{P}$ puna potkategorija kategorije $\mathcal{D}$ generirana klasom objekata $P$.

\nxpoint Za dva funktora $F,G:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$, ** (prirodna) transformacija** $\alpha : F\Rightarrow G$ je funkcija $\alpha : \Ob\mathcal{C}\to\Mor\mathcal{D}$, gdje je $\alpha_C :=\alpha(C) : F_0(C)\to G_0(C)$ te za svaki morfizam $f:C\to C'$ u kategoriji $\mathcal{C}$, slijedeći dijagram “prirodnosti” komutira

$$\array{F_0(C)&\stackrel{F_1(f)}\to&F_0(D)\\ \alpha_C\downarrow &&\downarrow\alpha_D\\ G_0(C)&\underset{G_1(f)}\to&G_0(D)}$$

$\alpha_C$ je $C$-komponenta transformacije $\alpha$. Prirodnu transformaciju čije su sve komponente izomorfizmi zovemo (prirodni) izomorfizam funktora.

\nxpoint Par funkcija $(\id_{\Ob\mathcal{C}},\id_{\Mor\mathcal{C}})$ čini identični funktor $\id_{\mathcal{C}} : \mathcal{C}\to\mathcal{C}$ ponekad označen $\mathcal{C}$. Funktor $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ je izomorfizam kategorija ako postoji funktor $G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ koji mu je striktni inverz, tj. $G\circ F=\id_{\mathcal{C}}$ i $F\circ G=\id_{\mathcal{D}}$. Funktor $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ je ekvivalencija kategorija ako postoje funktor $H:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ i prirodni izomorfizmi funktora $\alpha : \id_{\mathcal{C}}\to H\circ F$ i $\beta:\id_{\mathcal{D}}\to F\circ H$. Dvije kategorije $\mathcal{C},\mathcal{D}$ su ekvivalentne ako postoji ekvivalencija $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$. Ekvivalencija malih kategorija je relacija ekvivalencije na klasi svih malih kategorija. Kategorija $\mathcal{C}$ je skeletalna ako za su bilo koja dva medjusobno izomorfna objekta u $\mathcal{C}$ jednaka.

\nxsubpoint (Zadatak 0.4) Ukoliko prihvatimo aksiom izbora, tada za svaku kategoriju $\mathcal{C}$ postoji skeletalna kategorija $\mathcal{D}$ ekvivalentna kategoriji $\mathcal{C}$. Izbor $\mathcal{D}$ je jedinstven do na izomorfizam kategorija i zovemo ga skeleton kategorije $\mathcal{C}$.

\nxsubpoint Funktor $F:\mathcal{G}\to\mathcal{H}$ je esencijalno surjektivan (na objektima) (kratica e.s.o.) ako za svaki objekt $H$ u $\mathcal{H}$ postoji objekt $G$ u $\mathcal{G}$ i izomorfizam $F(G)\stackrel{\cong}\to H$.

\nxsubpoint Teorem. Funktor je ekvivalencija akko je potpun, vjeran i esencijalno surjektivan.

\nxpoint Kategorija $\cat$. Objekti u $\cat$ su male kategorije. Morfizmi su funktori, a kompozicija je kompozicija funktora dana s $F\circ G = (F_0,F_1)\circ(G_0,G_1) := (F_0\circ G_0,F_1\circ G_1)$ gdje su kompozicije s lijeve strane kompozicije funkcija skupova. Bifunktor je funktor čija je domena kartezijev produkt dviju kategorija.

\nxpoint Neka su $\mathcal{C},\mathcal{D}$ dvije kategorije. Kartezijev produkt $\mathcal{C}\times\mathcal{D}$ je kategorija zadana s $\Ob(\mathcal{C}\times\mathcal{D}) = \Ob\mathcal{C}\times\Ob\mathcal{D}$, $\Mor(\mathcal{C}\times\mathcal{D})=\Mor\mathcal{C}\times\Mor\mathcal{D}$, $s(c,d)= (s^\mathcal{C}(c),s^{\mathcal{D}}(d))$, $t(c,d)=(t^{\mathcal{C}}(c),t^{\mathcal{D}}(d))$ i $(f,g)\circ (f',g') = (f\circ^{\mathcal{C}} f',g\circ^{\mathcal{D}} g')$, za sve $c\in\Ob\mathcal{C},d\in\Ob\mathcal{D}, f,f'\in\Mor\mathcal{C},g,g'\in\Mor\mathcal{D}$. Ova definicija se na očit način poopćava na kartezijev produkt bilo koje (male) familije kategorija.

\nxpoint Dijagram $d:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ u kategoriji $\mathcal{C}$ je funktor iz male kategorije $\mathcal{D}$ u kategoriju $\mathcal{C}$. Fiksirajmo malu kategoriju $\mathcal{D}$. Konus tipa $d$ u kategoriji $\mathcal{C}$ je prirodna transformacija $\gamma : \mathrm{const}_x\Rightarrow d$ gdje je $\mathrm{const}_x :\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ konstantni funktor $D\mapsto x\in\Ob\mathcal{C}$. Objekt $x$ je vrh konusa $\gamma$. Kokonus tipa $d$ u kategoriji $\mathcal{C}$ je konus tipa $\mathcal{D}$ u kategoriji $\mathcal{C}^0$.

Konusi tipa $d$ u kategoriji $\mathcal{C}$ čine klasu objekata $\Ob\mathrm{cone}(d,\mathcal{C})$. Morfizam konusa $f :\alpha\to\beta$ je morfizam $s:x\to y$ u $\mathcal{C}$ gdje je $x$ vrh konusa $\alpha$, $y$ vrh konusa $\beta$ i za svaki $D\in\mathcal{D}$, $\beta_D\circ s = \alpha_D$. Morfizmi konusa tipa $d$ čine klasu $\Mor\mathrm{cone}(d,\mathcal{C})$. Kompozicija morfizama konusa je kompozicija pripadnih morfizama u $\mathcal{C}$. Time je definirana kategorija $\mathrm{cone}(d,\mathcal{C})$; analogno se definira kategorija kokonusa $\mathrm{cocone}(d,\mathcal{C}) = \mathrm{cone}(d,\mathcal{C}^0)$. Terminalni objekt kategorije konusa tipa $d$ je univerzalni konus ili limes dijagrama $d$; njegov vrh se označava s $\lim d$; inicijalni objekt kategorije kokonusa tipa $d$ je univerzalni kokonus ili kolimes dijagrama $d$ čiji vrh označavamo s $\mathrm{colim}\,d$. Ponekad se pod limesom (kolimesom) dijagrama neprecizno podrazumijeva njegov vrh.

Prirodnu transformaciju funktora $\alpha:d\Rightarrow d':\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ zovemo morfizam dijagrama. Dijagrami i prirodne transformacije čine kategoriju $\mathrm{Nat}(\mathcal{D},\mathcal{C})$. Ukoliko umjesto dijagrama gledamo velike kategorije, tada analogna kategorija nije dobro definirana.

Ako je $\alpha :d\Rightarrow d'$ morfizam dijagrama i $s:\mathrm{const}_x\Rightarrow d$ konus nad dijagramom $d$, tada je $\alpha\circ s:\mathrm{const}_x\Rightarrow d'$ konus nad dijagramom $d'$. Ako je $s'=\lim d'$ univerzalni konus nad $d'$ s vrhom $x'$ tada po univerzalnom svojstvu limesa postoji jedinstveni morfizam $x\to x'$ koji je ujedno morfizam konusa nad $d'$. Taj morfizam označavamo s $\lim \alpha$.

(Zadatak 0.5) Dokaži da je ta korespodencija funktorijalna:\newline $\lim : \mathrm{Nat}(\mathcal{D},\mathcal{C})\to\mathcal{C}$ je funktor; $\colim :\mathrm{Nat}(\mathcal{D},\mathcal{C})^0\to\mathcal{C}$ je funktor.

\nxpoint Kategorija $\mathcal{C}$ je diskretna ako je jedinica $i :\Ob\mathcal{C}\to\Mor\mathcal{C}$ bijekcija. Očito je svaka diskretna kategorija skeletalna, ali ne i obratno. Za svaku klasu $S$ postoji kategorija $\mathrm{Disc}(S)$, jedinstvena do na izomorfizam kategorija, čija klasa objekata je $S$ (kanonski reprezentant te klase ima i istu klasu morfizama, gdje je jedinica identiteta $\id_S : S\to S$). Primijeti da se, sa skupova $S$, korespodencija $S\mapsto \mathrm{Disc}(S)$ može proširiti do funktora $\Set\to\cat$.

Neka je $A$ skup, i $\{s_a,a\in A\}$ (mala) familija objekata $s_a\in\Ob\mathcal{C}$ (tj. funkcija $s : A\to\Ob\mathcal{C}$). Produkt $(\prod_{a\in A} s_a,p)$ je limes funktora $\mathrm{Disc}(A) : \mathrm{Disc} (S)\to \mathcal{C}$, ako postoji (ili njegov vrh). Komponente univerzalnog konusa $p_b : \prod_a s_a \to s_b$ se zovu kanonske projekcije produkta. Koprodukt je kolimes funktora $\mathrm{Disc}(A) : \mathrm{Disc} (S)\to \mathcal{C}$; vrh univerzalnog konusa se označava s $\coprod_{a\in A} s_a$ a njegove komponente $i_b : s_b\to\coprod_{a\in A} s_a$ se zovu kanonske injekcije koprodukta.

\nxsubpoint (Zadatak 0.6) Produkt male familije objekata u $\cat$ je kanonski izomorfan njihovom kartezijevom produktu.

\nxpoint Morfizmi $f,g$ su paralelni ako imaju istu domenu i kodomenu. Dijagram oblika $A\stackrel{h}\to B\overset{f}\underset{g}\rightrightarrows C$ nazivamo vilica ukoliko $f\circ h = g\circ h$; očito vilica nije ništa drugo nego konus nad paralelnim parom $B\overset{f}\underset{g}\rightrightarrows C$. Univerzalna vilica, tj. limes paralelnog para naziva se i ujednačitelj (am. engl. equalizer). Analogno, kolimes univerzalnog para $B\overset{f}\underset{g}\rightrightarrows C$ nazivamo koujednačitelj. Kategorija $\mathcal{C}$ je (ko)zatvorena ako ima (ko)limese svih malih dijagrama $d:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$. Kategorija je konačno zatvorena ako ima (ko)limese svih konačnih dijagrama (dijagrama s konačno mnogo objekata i konačno mnogo morfizama).

\nxpoint Teorem. Kategorija $\mathcal{C}$ je (konačno) zatvorena akko ima sve (konačne) produkte i ujednačitelje svih paralelnih parova. Kategorija je (konačno) kozatvorena ako ima sve (ko)načne koprodukte i koujednačitelje.

Dokaz. Po dualnosti je dovoljno pokazati slučaj kolimesa. Netrivijalan smjer je da je postojanje produkata (redom, konačnih produkata) i koujednačitelja dovoljno za postojanje svih limesa. Promatrajmo dakle proizvoljni dijagram $d:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$. Po pretpostavci postoje produkti $P =\prod_{D\in\mathcal{D}_0} d(D)$ i $Q = \prod_{(f:D\to D')\in\mathcal{D}_1} d(D')$ s projekcijama $p_D: P\to d()$ i $q_f : Q\to d(\cod f)$. Po univerzalnom svojstvu produkta $Q$ postoje jedinstveni paralelni par $F,G : P\to Q$ takav da $p_{\cod f} = q_f\circ F$ i $f\circ p_{\dom f} = q_f\circ G$ za sve $f$ u $\mathcal{D}(D,D')$:

$$\array{ P&\overset{F}\to&Q&\,&&P&\overset{G}\to& Q\\ &\searrow p_{D'}&\downarrow q_f&\,&&p_D \downarrow &&\downarrow q_f\\ && D'&\,&&D&\underset{f}\to&D' }$$

Neka je $u: A\to P$ ujednačitelj tog para. Tvrdnja: $p_D\circ u : A\to d(D)$ je komponenta projekcije limesa $\lim d$ u $D$. Najprije provjeravamo da te projekcije zaista čine konus:

$$f\circ p_{\dom f} \circ u = q_f\circ G\circ u = q_f\circ F\circ u = p_{\cod f}\circ u : A\to d(\cod f).$$

Neka su $w_D:B\to d(D)$ komponente bilo kojeg drugog konusa nad $d$; dakle $f\circ w_{\dom f} = w_{\cod f}$ for all $f\in\Mor\mathcal{D}$. Po univerzalnom svojstvu produkta $P$ postoji jedinstveni morfizam $v : B\to P$ takav da $p_D\circ v = w_D$ za sve $D\in\Ob\mathcal{D}$. Po definiciji $F$ i $G$,

$$(?)\,\,\,\,\,\,\, q_f\circ F\circ v = p_{D'}\circ v = w_{D'}= f\circ w_D = f\circ p_{D}\circ v = q_f\circ G \circ v,$$

što po univerzalnom svojstvu produkta $Q$ implicira $F\circ v = G\circ v$, tj.

$$B\stackrel{v}\to P\underset{F} \overset{G}\rightrightarrows Q$$

je vilica. Stoga, po univerzalnosti ujednačitelja $(A,u)$, postoji jedinstveni morfizam $z: B\to A$ tako da je $u\circ z = v : B\to P$. No posljednja jednakost je ekvivalentna (po univerzalnom svojstvu produkta $P$) familiji identiteta $p_D\circ u\circ z = p_D\circ v$ gdje $D$ ide po $\mathcal{D}_0$. Potonji uvjet se može napisati kao $(p_D\circ u)\circ z = w_D$; stoga je $z$, pri tome jedinstveni, morfizam iz konusa $(B,w_D)$ u konus $(A,p_D\circ u)$; dakle $(A,p_D\circ u)$ je limes početnog dijagrama $d$.

\nxpoint Korolar. Kategorija skupova $\Set$ je zatvorena i kozatvorena kategorija.

Skica dokaza. Dovoljno je pokazati da je (kategorijski) produkt familije skupova $A_i$ njihov Kartezijev produkt s prirodnim projekcijama $p_i : \times_j A_j\to A_i$ te da je ujednačitelj dva preslikavanja $f,g: A\to B$ skup $\{ a in A | f(a) = g(a)\}$.

\nxpoint Neka je $G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ funktor ($\mathcal{D}$ sad nije nužno malena kategorija). Par $(r,u)$ gdje je $r$ objekt u $\mathcal{D}$ i $u:c\to Sr$ morfizam u $\mathcal{C}$, zovemo univerzalna strelica ako za svaki objekt $d$ u $\mathcal{D}$ i svaki $f:c\to Gd$ postoji jedinstveni morfizam $f':r\to d$ tako da je $G f'\circ u = f$.

\nxpoint Primjer. Neka je $\Grp$ kategorija grupa i homomorfizama grupa, $\Set$ kategorija skupova i za svaki skup $S$ neka je $F S$ slobodna grupa s bazom $S$, te $U:\Grp\to\Set$ “zaboravni” funktor koji grupi pridružuje njen pripadni skup. Tada je za svaki skup $S$, par skupa $S$ i prirodnog ulaganja baze $S$ u $F S$ kao morfizam skupova univerzalna strelica.

\nxpoint (Notacija) Kompoziciju funktora ćemo često označavati konkatenacijom. Za danu transformaciju $\alpha : F\Rightarrow G :\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ i funktor $H:\mathcal{A}\to\mathcal{C}$ s $\alpha H = \alpha_H:F H\Rightarrow G H:\mathcal{A}\to\mathcal{D}$ označavamo transformaciju s komponentama $(\alpha_H)_A := \alpha_{H(A)}$. Ako je $L:\mathcal{D}\to\mathcal{G}$ funktor tada s $L\alpha = L(\alpha):L F\Rightarrow L G:\mathcal{C}\to\mathcal{G}$ označavamo transformaciju s komponentama $(L\alpha)_C := L(\alpha_C)$. U praksi često s $\mathcal{C}(C,C')$ označavamo $\Hom_{\mathcal{C}}(C,C')$.

\nxpoint Neka su $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ i $U:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ dva funktora. Par prirodnih transformacija $\eta : \id\Rightarrow U F$, $\epsilon:F U\Rightarrow\id$ su redom jedinica i kojedinica adjunkcije ako vrijede “trokutni” identiteti $U(\epsilon)\circ\eta_U = \id_U$, $\epsilon_F\circ F(\eta)= \id_F$. Tada kažemo da je funktor $F$ lijevo adjungiran funktoru $U$ ili, ekvivalentno, da je funktor $U$ desno adjungiran funktoru $F$ i pišemo $F\dashv U$.

\nxpoint Propozicija. $F\dashv U$ akko postoji (bi)prirodni izomorfizam bifunktora $b:\Hom_{\mathcal{C}}(\Id,U)\cong\Hom_{\mathcal{D}}(F,\Id):\mathcal{C}\times\mathcal{D}\to\Set$ tj. za svaki par objekata $C$ iz $\mathcal{C}$, $D$ iz $\mathcal{D}$ možemo izabrati bijekciju $b_{C,D}:\mathcal{C}(C,U D)\cong\mathcal{D}(F C,D)$ i te bijekcije su prirodne u oba argumenta.

Dokaz. Pretpostavimo da je dana adjunkcija. Kojedinica adjunkcije $\eta$ inducira preslikavanje $b_{C,D}$ formulom $b_{C,D}(f) = \epsilon_D\circ Ff$, a jedinica njen inverz $g\mapsto U g\circ\eta_C$. Trokutne relacije impliciraju da su te dvije funkcije zaista inverzi. Prirodnost nije teško provjeriti.

Obratno, ako je zadana biprirodni izomorfizam $b$, tada je jedinica adjunkcije dana s $\eta_C= b_{C,F C}^{-1}(\id_{F C}) : C\to U F C$, a kojedinica adjunkcije s $\epsilon_D = b_{U D,D}\circ \id_{U D}: F U D\to D$.

(Zadatak 0.7) Ispuni preostale detalje ovog dokaza.

\nxpoint Propozicija. Neka je $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ ekvivalencija kategorija. Tada postoji adjunkcija $F\dashv G$ čija su jedinica i kojedinica izomorfizmi.

Drugim riječima, svaka ekvivalencija se može zamijeniti adjungiranom ekvivalencijom.

\nxpoint Neka je $\mathcal{S}$ neka standardna kategorija (npr. kategorija skupova), a $\mathcal{C}$ kategorija. Tipičan primjer kategorije $\mathcal{C}$ u tom kontekstu je kategorija $\mathrm{Ouv}(X,\tau)$ otvorenih skupova i ulaganja otvorenih skupova u topološkom prostoru $(X,\tau)$. Funktor $\mathcal{C}^0\to\mathcal{S}$ se naziva predsnop na $\mathcal{C}$ s vrijednostima u} $\mathcal{S}$ je bilo koji kontravarijantni funktor iz $\mathcal{C}$ u $\mathcal{S}$. Reprezentabilan predsnop je predsnop skupova koji je izomorfan predsnopu oblika $h_C = \Hom_{\mathcal{C}}(\Id,C)$. Mali predsnop skupova je predsnop koji je izomorfan limesu nekog dijagrama reprezentabilnih predsnopova.

\nxpoint Neka je $\mathcal{D}$ mala kategorija, a $\mathcal{C}$ kategorija. Kategorija funktora i prirodnih transformacija $\mathrm{Nat}(\mathcal{D},\mathcal{C})$ se ponekad označava eksponencijalnom notacijom $\mathcal{C}^{\mathcal{D}}$. Ukoliko $\mathcal{C} = \Set$ i $\mathcal{D}$ mala, tada se s $\hat\mathcal{D}:=\Set^{\mathcal{D}^0}$ označava kategorija predsnopova skupova na $\mathcal{D}$. Ako $\mathcal{D}$ nije mala, tada ili $\Set$ zamijenimo s $\Set_{\mathcal{U}}$, ili gledamo samo male predsnopove.

\nxpoint Definicija. Korespodencija

$$h:D\mapsto h_D:=\Hom_\mathcal{D}(-,D), \,\,\,D\in\Ob\mathcal{D},\,\,\,\,h(f)(g)=f\circ g : C\to E,$$

gdje su $f:D\to E$, $g: C\to E$ morfizmi u $\mathcal{D}$ je funktor $h:\mathcal{D}\to\hat{\mathcal{D}}$ kojeg nazivamo Yonedino ulaganje.

\nxpoint Teorem. (Yonedina lema, jaka verzija) Neka je $P:\mathcal{D}\to\Set$ bilo koji predsnop skupova. Tada postoji, prirodna u $D$, bijekcija skupova

$$\mathrm{Nat}(h_D,P)\cong P(D).$$

Koristan savjet čitatelju: pokušajte najprije sami dokazati ovaj teorem.

Dokaz. Neka je $\alpha : h_D\Rightarrow P$ prirodna transformacija s komponentama $\alpha_C : \Hom_{\mathcal{D}}(C,D)\to P(D)$. Tada definiramo $X_\alpha\in P(D)$ sa $X_\alpha = \alpha_D(\id_D)$. Dovoljno je pokazati da preslikavanje $X : \alpha \mapsto X_\alpha$ $\mathrm{Nat}(h_D,P)\stackrel\cong\to P(D)$ ima inverz. Za svaki $y$ u $P(D)$ definiramo prirodnu transformaciju $e(y):h_D\Rightarrow P$ s komponentama $e(y)_C: (f\in h_D(C))\mapsto (P(f)(y)\in P(C))$ (sjetimo se da je $P$ kontravarijantan, dakle $P(f):P(D)\to P(C)$). Tada

$$e(X_\alpha)_C(f) = P(f)(\alpha_D(\id_D)) =\alpha_C \circ P(f)(\id_D) = \alpha_C\circ\id_C=\alpha_C,$$

$$X_{e(y)} = (e(y)_D)(\id_D)= P(\id_D)(y) = y.$$

Dakle, preslikavanja $y\mapsto e(y)$ i $\alpha\mapsto X_\alpha$ su jedan drugome inverzi.

Dijagrame prirodnosti ostavljamo čitatelju za provjeru.

\nxpoint Korolar. (Yonedina lema, slaba verzija) Yonedino ulaganje $h: D\mapsto h_D$ je potpun i vjeran funktor $h:\mathcal{D}\to\hat\mathcal{D}$.

Dokaz. U jakoj Yonedinoj lemi gore stavimo $P = h_C$. Tako dobivamo bijekciju $\mathrm{Nat}(h_D,h_C)\cong \mathcal{D}(D,C)$ za svaki par $C,D$, tj. funktor $D\mapsto h_D$ je ulaganje kategorija.

\nxpoint Primijetimo da se Yonedino ulaganje prirodno razlaže u kompoziciju $\mathcal{D}\stackrel{h^{\mathrm{sm}}}\longrightarrow\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}}\hookrightarrow \hat\mathcal{D}$ gdje je $\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}}$ kategorija malih predsnopova, a $\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}}\hookrightarrow \hat\mathcal{D}$ kanonsko ulaganje. Naime svaki reprezentabilni snop je mali po definiciji.

\nxpoint Kažemo da funktor $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ čuva limese (nekog tipa) ukoliko šalje univerzalne konuse u univerzalne konuse (nad dijagramima danog tipa). Drugim riječima, za svaki dijagram $d:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$, za koji postoji limes u $\mathcal{C}$, postoji i limes dijagrama $F\circ d$ te $\lim(F\circ d) = F(\lim d)$ (pri čemu potonja jednakost za vrh limesa, podrazumijeva i da projekcije od $\lim d$ funktor $F$ šalje u odgovarajuće projekcije od $\lim (F\circ d)$).