Zoran Skoda
ekvivalencija

Par preslikavanja klasa objekata i morfizama (id Obπ’ž,id Morπ’ž)(\id_{\Ob\mathcal{C}},\id_{\Mor\mathcal{C}}) čini identični funktor id π’ž:π’žβ†’π’ž\id_{\mathcal{C}} : \mathcal{C}\to\mathcal{C} ponekad označen π’ž\mathcal{C}. Funktor F:π’žβ†’π’ŸF:\mathcal{C}\to\mathcal{D} je izomorfizam kategorija ako postoji funktor G:π’Ÿβ†’π’žG:\mathcal{D}\to\mathcal{C} koji mu je striktni inverz, tj. G∘F=id π’žG\circ F=\id_{\mathcal{C}} i F∘G=id π’ŸF\circ G=\id_{\mathcal{D}}. Funktor F:π’žβ†’π’ŸF:\mathcal{C}\to\mathcal{D} je ekvivalencija kategorija ako postoji njegov kvaziinverz, tj. postoje funktor H:π’Ÿβ†’π’žH:\mathcal{D}\to\mathcal{C} i prirodni izomorfizmi (tj. invertibilne prirodne transformacije) funktora Ξ±:id π’žβ†’H∘F\alpha : \id_{\mathcal{C}}\to H\circ F i Ξ²:id π’Ÿβ†’F∘H\beta:\id_{\mathcal{D}}\to F\circ H. Dvije kategorije π’ž,π’Ÿ\mathcal{C},\mathcal{D} su ekvivalentne ako postoji ekvivalencija F:π’žβ†’π’ŸF:\mathcal{C}\to\mathcal{D}. Ekvivalencija malih kategorija je relacija ekvivalencije na klasi svih malih kategorija. Kategorija π’ž\mathcal{C} je skeletalna (kosturna) ako za su bilo koja dva medjusobno izomorfna objekta u π’ž\mathcal{C} jednaka. Kategorija je dakle kosturna ako svaka klasa izomorfnih objekata ima točno jedan element. Ukoliko prihvatimo aksiom izbora, tada za svaku kategoriju π’ž\mathcal{C} postoji skeletalna kategorija π’Ÿ\mathcal{D} ekvivalentna kategoriji π’ž\mathcal{C}. Izbor π’Ÿ\mathcal{D} je jedinstven do na izomorfizam kategorija i zovemo ga kostur (skeleton) kategorije π’ž\mathcal{C}.

Funktor F:C→DF:C\to D je ekvivalencija kategorija ako ima tzv. kvaziinverz, tj. ako postoji funktor G:D→CG:D\to C i prirodni izomorfizmi (tj. invertibilne prirodne transformacije) funktora α:GF→Id C\alpha:G F\to Id_C i β:FG→Id D\beta:F G\to Id_D.

Funktor F:𝒒→ℋF:\mathcal{G}\to\mathcal{H} je esencijalno surjektivan (na objektima) (kratica e.s.o.) ako za svaki objekt HH u β„‹\mathcal{H} postoji objekt GG u 𝒒\mathcal{G} i isomorfizam F(G)β†’β‰…HF(G)\stackrel{\cong}\to H.

Teorem. Funktor je ekvivalencija akko je potpun, vjeran i esencijalno surjektivan. (Za β€œako” smjer je potreban aksiom izbora).

Dokaz ovog teorema je koristan zadatak.

Vidi i wikipedia.

Ekvivalencija je adjungirana ekvivalencija ako su FF i GG u adjunkciji. Ako je F:Cβ†’DF:C\to D ekvivalencija kategorija, onda se moΕΎe GG predefinirati na način da se dobije adjungirana ekvivalencija.

Ekvivalenciju kategorija uveo je Grothendieck u Tohoku, no njegova definicija je definicija adjungirane ekvivalencije. To je bilo prije uvoΔ‘enja adjungiranih funktora u Kanovom članku.

Last revised on March 2, 2012 at 18:36:05. See the history of this page for a list of all contributions to it.