Zoran Skoda ekvivalencija

Par preslikavanja klasa objekata i morfizama $(\id_{\Ob\mathcal{C}},\id_{\Mor\mathcal{C}})$ čini identični funktor $\id_{\mathcal{C}} : \mathcal{C}\to\mathcal{C}$ ponekad označen $\mathcal{C}$. Funktor $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ je izomorfizam kategorija ako postoji funktor $G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ koji mu je striktni inverz, tj. $G\circ F=\id_{\mathcal{C}}$ i $F\circ G=\id_{\mathcal{D}}$. Funktor $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ je ekvivalencija kategorija ako postoji njegov kvaziinverz, tj. postoje funktor $H:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ i prirodni izomorfizmi (tj. invertibilne prirodne transformacije) funktora $\alpha : \id_{\mathcal{C}}\to H\circ F$ i $\beta:\id_{\mathcal{D}}\to F\circ H$. Dvije kategorije $\mathcal{C},\mathcal{D}$ su ekvivalentne ako postoji ekvivalencija $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$. Ekvivalencija malih kategorija je relacija ekvivalencije na klasi svih malih kategorija. Kategorija $\mathcal{C}$ je skeletalna (kosturna) ako za su bilo koja dva medjusobno izomorfna objekta u $\mathcal{C}$ jednaka. Kategorija je dakle kosturna ako svaka klasa izomorfnih objekata ima točno jedan element. Ukoliko prihvatimo aksiom izbora, tada za svaku kategoriju $\mathcal{C}$ postoji skeletalna kategorija $\mathcal{D}$ ekvivalentna kategoriji $\mathcal{C}$. Izbor $\mathcal{D}$ je jedinstven do na izomorfizam kategorija i zovemo ga kostur (skeleton) kategorije $\mathcal{C}$.

Funktor $F:C\to D$ je ekvivalencija kategorija ako ima tzv. kvaziinverz, tj. ako postoji funktor $G:D\to C$ i prirodni izomorfizmi (tj. invertibilne prirodne transformacije) funktora $\alpha:G F\to Id_C$ i $\beta:F G\to Id_D$.

Funktor $F:\mathcal{G}\to\mathcal{H}$ je esencijalno surjektivan (na objektima) (kratica e.s.o.) ako za svaki objekt $H$ u $\mathcal{H}$ postoji objekt $G$ u $\mathcal{G}$ i isomorfizam $F(G)\stackrel{\cong}\to H$.

Teorem. Funktor je ekvivalencija akko je potpun, vjeran i esencijalno surjektivan. (Za “ako” smjer je potreban aksiom izbora).

Dokaz ovog teorema je koristan zadatak.

Vidi i wikipedia.

Ekvivalencija je adjungirana ekvivalencija ako su $F$ i $G$ u adjunkciji. Ako je $F:C\to D$ ekvivalencija kategorija, onda se može $G$ predefinirati na način da se dobije adjungirana ekvivalencija.

Ekvivalenciju kategorija uveo je Grothendieck u Tohoku, no njegova definicija je definicija adjungirane ekvivalencije. To je bilo prije uvođenja adjungiranih funktora u Kanovom članku.